甘肃省张掖市高台一中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科)_144

甘肃省张掖市高台一中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（文科）

一、选择题（共16小题，每小题4分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请选出．）

2

1．集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x﹣3x＞0}，则A∩B=（ ） A． {3，4，5} B． {4，5，6} C． {x|3＜x≤6} D． {x|3≤x＜6}

2．已知i是虚数单位，则 A． ﹣i

3．曲线的参数方程为 A． 线段

4．函数f（x）=

（t是参数），则曲线是（ ）

B． 双曲线的一支

C． 圆

D． 射线

B． i

等于（ ）

C．

D．

+lg（3x+1）的定义域是（ ）

A． （﹣，+∞） B． （﹣，1） C． （﹣，） D． （﹣∞，﹣）

5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A． y=x|x|

B． y=﹣x

2

C． y=x+1 D． y=﹣

6．下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位kg）的数据， 身高 170 171 166 178 160 体重 75 80 70 85 65 若两个量间的回归直线方程为=1.16x+a，则a的值为（ ） A． ﹣122.2

x

3

B． ﹣121.04 C． ﹣91 D． ﹣92.3

7．函数f（x）=2+x的零点所在区间为（ ） A． （0，1） B． （﹣1，0） C． （1，2） D． （﹣2，﹣l）

8．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（ ）

第1页（共18页）

A． 性别与喜欢理科无关

B． 女生中喜欢理科的比为80%

C． 男生比女生喜欢理科的可能性大些 D． 男生不喜欢理科的比为60%

9．设f（x）= A． 0

B． 1

，则f（f（2））的值为（ ）

C． 2

D． 3

10．已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体

积为（ ）

A． ∀=（s1+s2+s3+s4）R C． ∀=（s1+s2+s3+s4）R

11．函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（ ）

B． ∀=（s1+s2+s3+s4）R D． ∀=（s1+s2+s3+s4）R

A． B． C．

D．

12．已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（ ）

第2页（共18页）

A． （﹣1，0）∪（0，1） 1） D． （﹣1，0）∪（1，3）

13．已知双曲线C：

B． （﹣1，1） C． （﹣3，﹣1）∪（0，

的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）

A． B． C． D． y=±x

14．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ） A．

（x≠0）

B．

（x≠0）

C．

（x≠0） D． （x≠0）

15．已知函数f（x）=x﹣3x，若过点A（0，16）且与曲线y=f（x）相切的切线方程为y=ax+16，则实数a的值是（ ） A． ﹣3 B． 3 C． 6 D． 9 16．椭圆

上的点到直线2x﹣y=7距离最近的点的坐标为（ ）

B． （，﹣）

C． （﹣，

）

D． （，﹣

）

3

A． （﹣，）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

17．如果直线2x﹣y﹣1=0和y=kx+1互相垂直，则实数k的值为 ．

18．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值是 ．

19．{an}为等比数列，若a3和a7是方程x+7x+9=0的两个根，则a5= ．

20．y=x﹣2x+3的单调递减区间是 ．

三、解答题（21-27题，要写出必要的解题过程，共70分）

第3页（共18页）

3

2

2

21．围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．

（Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

22．在数列{an}中，a1=1，

；

2

（1）设

．证明：数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

23．若双曲线与椭圆

24．已知函数f（x）=x﹣3x， （1）求函数f（x）在

上的最大值和最小值．

3

有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线方程．

（2）求曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程．

25．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，﹣1），且其右焦点到直线的距离为3．

（1）求椭圆方程； （2）设直线l过定点的方程．

26．已知函数f（x）=x+ax+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1． （1）若函数y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）表达式；

（2）若函数y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

3

2

，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l

第4页（共18页）

甘肃省张掖市高台一中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（共16小题，每小题4分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请选出．）

2

1．集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x﹣3x＞0}，则A∩B=（ ） A． {3，4，5} B． {4，5，6} C． {x|3＜x≤6} D． {x|3≤x＜6}

考点： 交集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集． 解答： 解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，

2

B={x∈R|x﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3} ∴A∩B={4，5，6}． 故选B． 点评： 本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是解题的关键．

2．已知i是虚数单位，则 A． ﹣i

B． i

等于（ ）

C．

D．

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 将解答： 解：∵∴

=﹣i．

的分子与分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可．

=

=

=﹣i．

故选A． 点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，分母实数化是关键，属于基础题．

3．曲线的参数方程为

（t是参数），则曲线是（ ）

C． 圆

D． 射线

A． 线段 B． 双曲线的一支

考点： 直线的参数方程． 专题： 计算题；数形结合．

第5页（共18页）

分析： 判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形式判断此曲线的类型，由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程 解答： 解：由题意

2

由（2）得t=y+1代入（1）得x=3（y+1）+2，即x﹣3y﹣5=0，其对应的图形是一条直线 又由曲线的参数方程知y≥﹣1，x≥2， 所以此曲线是一条射线 故选D 点评： 本题考查直线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元，本题易因为忘记判断出x，y的取值范围而误判此曲线为直线，好在选项中没有这样的干扰项，使得本题的出错率大大降低．

4．函数f（x）=

+lg（3x+1）的定义域是（ ）

A． （﹣，+∞） B． （﹣，1） C． （﹣，） D． （﹣∞，﹣）

考点： 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法． 专题： 计算题． 分析： 依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围． 解答： 解：要使函数有意义需

，

解得﹣＜x＜1．

故选B． 点评： 本题主要考查了对数函数的定义域．属基础题．

5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A． y=x|x|

B． y=﹣x

2

C． y=x+1 D． y=﹣

考点： 函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据奇偶性及单调性的定义逐项判断即可． 解答： 解：y=x|x|=

，作出其图象，如下图所示：

第6页（共18页）

由图象知y=x|x|在R上为增函数， 又﹣x|﹣x|=﹣x|x|， 所以y=x|x|为奇函数． 故选A． 点评： 本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．

6．下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位kg）的数据， 身高 170 171 166 178 160 体重 75 80 70 85 65 若两个量间的回归直线方程为=1.16x+a，则a的值为（ ） A． ﹣122.2 B． ﹣121.04 C． ﹣91

考点： 线性回归方程． 专题： 概率与统计． 分析： 利用回归直线经过样本中心，通过方程求解即可． 解答： 解：由题意可得：==

=75．

=169．

D． ﹣92.3

因为回归直线经过样本中心． 所以：75=1.16×169+a， 解得a=﹣121.04． 故选：B． 点评： 本题考查回归直线方程的应用，注意回归直线经过样本中心是解题的关键，考查计算能力．

7．函数f（x）=2+x的零点所在区间为（ ） A． （0，1） B． （﹣1，0） C． （1，2） D． （﹣2，﹣l）

考点： 二分法求方程的近似解． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

x3

分析： 由函数的解析式求得f（﹣1）•f（0）＜0，根据函数零点的判定定理，可得f（x）=2+x的零点所在区间．

x

3

第7页（共18页）

x

3

解答： 解：∵连续函数f（x）=2+x，f（﹣1）=﹣1=﹣，f（0）=1+0=1， ∴f（﹣1）•f（0）=﹣×1＜0，

根据函数零点的判定定理，f（x）=2+x的零点所在区间为（﹣1，0）， 故选：B． 点评： 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，连续函数只有在某区间的端点处函数值异号，才能推出此函数在此区间内存在零点，属于基础题．

8．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（ ）

x

3

A． 性别与喜欢理科无关

B． 女生中喜欢理科的比为80%

C． 男生比女生喜欢理科的可能性大些 D． 男生不喜欢理科的比为60%

考点： 频率分布直方图． 专题： 常规题型． 分析： 本题为对等高条形图，题目较简单，注意阴影部分位于上半部分即可．

解答： 解：由图可知，女生喜欢理科的占20%，男生喜欢理科的占60%，显然性别与喜欢理科有关，

故选为C． 点评： 本题考查频率分布直方图的相关知识，属于简单题．

9．设f（x）=

，则f（f（2））的值为（ ）

D． 3

A． 0 B． 1 C． 2

考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题： 计算题．

2

分析： 考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（2﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e=2．

﹣211

解答： 解：f（f（2））=f（log3（2﹣1））=f（1）=2e=2，故选C． 点评： 此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．

第8页（共18页）

1﹣1

10．已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）

A． ∀=（s1+s2+s3+s4）R C． ∀=（s1+s2+s3+s4）R

B． ∀=（s1+s2+s3+s4）R D． ∀=（s1+s2+s3+s4）R

考点： 类比推理． 专题： 规律型． 分析： 根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，进行猜想． 解答： 解：根据几何体和平面图形的类比关系，

三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比： ∴△ABC的面积为s=（a+b+c）r，

对应于四面体的体积为V=（s1+s2+s3+s4）R．

故选B． 点评： 本题考查了立体几何和平面几何的类比推理，一般平面图形的边、面积分别于几何体中的面和体积进行类比，从而得到结论．

11．函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（ ）

A． B． C．

D．

考点： 函数的图象． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 由x﹣＞0，可求得函数f（x）=ln（x﹣）的定义域，可排除A，再从奇偶性上排除D，再利用函数在（1，+∞）的递增性质可排除C，从而可得答案． 解答： 解：∵f（x）=ln（x﹣），

第9页（共18页）

∴x﹣＞0，即=＞0，

∴x（x+1）（x﹣1）＞0， 解得﹣1＜x＜0或x＞1，

∴函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故可排除A，D；

又f′（x）=＞0，

∴f（x）在（﹣1，0），（1+∞）上单调递增，可排除C， 故选B． 点评： 本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题．

12．已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（ ）

A． （﹣1，0）∪（0，1） B． （﹣1，1） C． （﹣3，﹣1）∪（0，1） D． （﹣1，0）∪（1，3）

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由f（﹣x）•x＞0，得f（x）•x＜0，由图象知，当x∈（0，3）时不等式的解，根据奇函数性质可得x∈（﹣3，0]时不等式的解．

解答： 解：f（﹣x）•x＞0即﹣f（x）•x＞0，所以f（x）•x＜0， 由图象知，当x∈（0，3）时，可得0＜x＜1，

由奇函数性质得，当x∈（﹣3，0]时，可得﹣1＜x＜0，

综上，不等式f（﹣x）•x＞0的解集是（﹣1，0）∪（0，1）， 故选A． 点评： 本题考查函数奇偶性的应用，考查数形结合思想，属基础题．

13．已知双曲线C：

的离心率为

，则C的渐近线方程为（ ）

A． B． C． D． y=±x

考点： 双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

第10页（共18页）

分析： 由题意可得=，由此求得 =，从而求得双曲线的渐近线方程．

解答： 解：已知双曲线C：的离心率为，故有=，

∴=，解得 =．

故C的渐近线方程为 ，

故选C． 点评： 本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．

14．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ） A．

（x≠0）

B．

（x≠0）

C． （x≠0） D． （x≠0）

考点： 椭圆的定义． 专题： 计算题． 分析： 根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 解答： 解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8

∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4 ∴b=20， ∴椭圆的方程是

2

故选B． 点评： 本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．

15．已知函数f（x）=x﹣3x，若过点A（0，16）且与曲线y=f（x）相切的切线方程为y=ax+16，则实数a的值是（ ） A． ﹣3 B． 3 C． 6 D． 9

第11页（共18页）

3

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 设出切点，求导函数可得切线方程，将A坐标代入，求得切线方程，从而可求实数a的值．

3

解答： 解：设切点为P（x0，x0﹣3x0）

32

∵f（x）=x﹣3x，∴f′（x）=3x﹣3，

3332

∴f（x）=x﹣3x在点P（x0，x0﹣3x0）处的切线方程为y﹣x0+3x0=（3x0﹣3）（x﹣x0），

32

把点A（0，16）代入，得16﹣x0+3x0=（3x0﹣3）（0﹣x0）， 解得x0=﹣2．

∴过点A（0，16）的切线方程为y=9x+16， ∴a=9． 故选D． 点评： 本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查导数的几何意义，正确确定切线方程是关键． 16．椭圆

上的点到直线2x﹣y=7距离最近的点的坐标为（ ）

B． （，﹣）

C． （﹣，

）

D． （，﹣

）

A． （﹣，）

考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设与直线2x﹣y=7平行且与椭圆

相切的直线l的方程为：2x﹣y=t，与椭圆的方程

联立化为关于x的一元二次方程，令△=0，进而解出点的坐标． 解答： 解：设与直线2x﹣y=7平行且与椭圆

相切的直线l的方程为：2x﹣y=t，

联立

2

，化为9x﹣8tx+2t﹣2=0．（*）

2

2

22

∴△=t﹣36（2t﹣2）=0，化为t=9，解得t=±3． 取t=3，代入（*）可得：9x﹣24x+16=0，解得∴椭圆

2

，∴y==﹣．

．

上的点到直线2x﹣y=7距离最近的点的坐标为

故选B． 点评： 本题考查了直线与椭圆相切问题转化为方程联立得到△=0、相互平行的直线之间的斜率公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

17．如果直线2x﹣y﹣1=0和y=kx+1互相垂直，则实数k的值为 ﹣ ．

考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆．

第12页（共18页）

分析： 利用直线与直线垂直的性质求解．

解答： 解：∵直线2x﹣y﹣1=0和y=kx+1互相垂直， ∴2k=﹣1， 解得k=﹣． 故答案为：﹣．

点评： 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．

18．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值是 4 ．

考点： 基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 把+转化为（+）（x+y）展开后利用基本不等式求得答案． 解答： 解：∵x+y=1，

∴+=（+）（x+y）=1+++1=2++≤2+2=4，当且仅当x=y=时等号成立， 故答案为：4．

点评： 本题主要考查了基本不等式的应用．解题的关键是凑出+的形式．

19．{an}为等比数列，若a3和a7是方程x+7x+9=0的两个根，则a5= ±3 ．

考点： 等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 求出方程的根，利用等比数列通项的性质，可得结论．

2

解答： 解：∵a3和a7是方程x+7x+9=0的两个根， ∴a3+a7=﹣7，a3a7=9， ∴

=a3a7=9，

2

∴a5=±3．

故答案为：±3． 点评： 本题考查等比数列通项的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

20．y=x﹣2x+3的单调递减区间是 （0，） ．

考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求出函数的导函数，令导函数小于0，求出x的范围，写成区间的形式即为函数的单调递减区间．

第13页（共18页）

3

2

解答： 解：因为y′=3x﹣4x=x（3x﹣4）， 令y′=x（3x﹣4）＜0， 解得

3

2

2

所以函数y=x﹣2x+x+a（a为常数）的单调递减区间故答案为：

．

．

点评： 本题考查根据导函数的符号与函数单调性的关系，求函数的单调区间，属于基础题．

三、解答题（21-27题，要写出必要的解题过程，共70分）

2

21．围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．

（Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

考点： 函数模型的选择与应用；函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 计算题；应用题． 分析： （I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m，易得

2

，此

时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；

（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值． 解答： 解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am， 则y=45x+180（x﹣2）+180•2a=225x+360a﹣360． 由已知ax=360，得 所以

（II）因为x＞0，所以 所以

，当且仅当

，

．

，

时，等号成立．

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

点评： 函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．

第14页（共18页）

22．在数列{an}中，a1=1，

；

（1）设

．证明：数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

考点： 数列递推式；等比关系的确定． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）由于

，可得

．由于

，于是得到bn+1=bn+1，

因此数列{bn}是等差数列．

（2）由（1）利用等差数列的通项公式可得：bn，进而得到an． 解答： 解：（1）∵

，∴

．

∵

，∴bn+1=bn+1，

∴数列{bn}是以

=1为首项，1为公差的等差数列．

（2）由（1）可知：bn=1+（n﹣1）×1=n． ∴

，∴

．

点评： 本题考查了可化为等差数列的数列的通项公式的求法、等差数列的通项公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

23．若双曲线与椭圆

有相同的焦点，与双曲线

有相同渐近线，求双曲线方程．

考点： 双曲线的标准方程；双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设出双曲线的方程，利用双曲线与椭圆

有相同的焦点，求出参数，即可得出结论．

解答： 解：依题意可设所求的双曲线的方程为…（3分）

即…（5分）

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又∵双曲线与椭圆

∴λ+2λ=25﹣16=9…（9分） 解得λ=3…（11分） ∴双曲线的方程为

有相同的焦点

…（13分）

点评： 本题考查双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，属于中档题．

24．已知函数f（x）=x﹣3x， （1）求函数f（x）在

上的最大值和最小值．

3

（2）求曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用． 分析： （1）先求函数的导数，然后利用研究函数f（x）在

上单调性，从而求出函数的

最值；

（2）利用导数先求f′（2），即切线的斜率k=f′（2），代入点斜式方程，即可求出对应的切线方程． 解答： 解：（1）f′（x）=3x﹣3=3（x﹣1）（x+1），f'（x）=0即x=﹣1，或x=1 都在[﹣3，]，且f（1）=﹣2，f（﹣1）=2，又f（﹣3）=（﹣3）﹣3×（﹣3）=﹣18，

，从而f（﹣1）最大，f（﹣3）最小．

∴函数f（x）在

2

3

2

上的最大值是2，最小值是﹣18．

2

（2）因为f′（x）=3x﹣3，f'（2）=3×2﹣3=9

即切线的斜率k=f′（2）=9，又f（2）=2，运用点斜式方程得： y﹣2=9（x﹣2）即9x﹣y﹣16=0

所以曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程是9x﹣y﹣16=0 点评： 本题主要考查导数的计算，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数的几何意义求切线方程．属于中档题．

25．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，﹣1），且其右焦点到直线的距离为3．

（1）求椭圆方程； （2）设直线l过定点

，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l

的方程．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

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专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）设椭圆方程为

2

2

2

，易知b=1，设右焦点F（c，0），由条件得

，可求得c值，根据a=b+c，可得a值；

（2）易判断直线l斜率不存在时不合题意，可设直线l：

，与椭圆方程联立消掉

y得x的二次方程，则△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，所以

=﹣，由韦达定理及中点坐标公式可得关于k的方程，解出k后验

证是否满足△＞0，从而可得直线l的方程； 解答： 解 （1）设椭圆方程为

，则b=1．

设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得则a=b+c=3， ∴椭圆方程为

．

2

2

2

，得．

（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件； 故可设直线l：由

，与椭圆

，得

联立，消去y得：．

．

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0）， 由韦达定理得

，而

．

则

由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，，

可求得，检验

或

，所以k=．

，

所以直线l的方程为

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点评： 本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查分类讨论思想，判别式、韦达定理是解决该类题目常用知识，要熟练掌握，属中档题．

26．已知函数f（x）=x+ax+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1． （1）若函数y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）表达式；

（2）若函数y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求实数b的取值范围．

考点： 函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系．

分析： （1）求出导函数，令导函数在1处的值为3，在﹣2处的值为0，函数在1处的值为4，列出方程组求出a，b，c的值．

（2）令导函数大于等于0在[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3x+2ax+b ∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1． ∴

即

2

3

2

∵函数y=f（x）在x=﹣2时有极值 ∴f′（﹣2）=0即﹣4a+b=﹣12

∴

解得a=2，b=﹣4，c=5

∴f（x）=x+2x﹣4x+5 （2）由（1）知，2a+b=0

2

∴f′（x）=3x﹣bx+b

∵函数y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增

2

∴f′（x）≥0即3x﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立

f′（x）的最小值为f′（1）=1﹣b+b≥0∴b≥6

f′（﹣2）=12+2b+b≥0∴b∈∅

3

2

，f′（x）的最小值为

∴0≤b≤6

总之b的取值范围是b≥0． 点评： 本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是切线的斜率；考查函数单调递增对应的导函数大于等于0恒成立，．

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