中学数学 值域 练习题(含答案)

一 ． 直接法（观察法）： 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 1 ．求函数 【解析】 ∵ 【练习】

1 ． 求下列函数的值域： ① ③

；

； ② ； ②

， ； ③

；

。

；

。

，∴

的值域。

，∴函数

的值域为

。

【参】 ①

二 ． 配方法 ： 适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2 ．求函数 【解析】 ∵

，∴ 。

∴函数 例 3 ．求函数

（

）的值域为

的值域。

。

，∴ （

。

， ∴

，∴

）的值域。

【解析】 本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

配方得：

关知识得

，从而得出：

。

利用二次函数的相

说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的，本题为：

。

例 4 ．若 ，试求 的最大值。 在直线 ，

上滑动时函数

【分析与解】 本题可看成第一象限内动点

的最大值。利用两点

确定一条直线，作出图象易得：

， y=1 时，

取最大值

【练习】

。

2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域： ①

； ②

； ③

；

④ ； ， ； 。

【参】①

；② ；③ ；④ ； ；

三 ． 反函数法 ： 反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例 5 ．求函数 的值域。

分析与解： 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出 ，从而便于求出反函数。

反解得

【练习】

，故函数的值域为 。

1 ．求函数 的值域。

2 ． 求函数 ， 的值域。

【参】 1 ． 四 ． 分离变量法 ：

； 。

适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例 6 ：求函数 的值域。

解：∵ ，

∵ ，∴ (

，∴函数 常数 ) 的形式。

的值域为 。

适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为

例 7 ：求函数 的值域。

项，可利用分离变量法；则有

分析与解 ： 观察分子、分母中均含有

。

不妨令： 从而 。

注意：在本题中若出现应排除

。

，因为 作为分母 . 所以 故

另解 ：观察知道本题中分子较为简单，可令 进而可得到 的值域。 【练习】

，求出 的值域，

1 ． 求 函数 的值 域。

【参】 1 ．

五、换元法 ： 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型 特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用 代数换元 ；当根式里是二次式时，用 三角换元 。 例 8 ：求函数

的值域。

解：令 （ ），则 ，∴ 。

∵当 ，即 。

时， ，无最小值。∴函数 的值域为

例 9 ：求函数 解 ：因 故可令

。

，即

， ∴

的值域。 。

∵ ，

，

故所求函数的值域为 。

例 10 . 求函数 的值域。

解：原函数可变形为：

可令 X= ，则有

当

时，

当 而此时

时， 有意义。

故所求函数的值域为

例 11. 求函数 解：

令

，则

， 的值域。

由

且

可得：

∴当 时， ，当 时，

故所求函数的值域为 例 12. 求函数 解：由 故可令

，可得

。 的值域。

∵

当 当

时， 时，

；通过方程有实数根，（ 、

不同时为

故所求函数的值域为：

六、判别式法 ： 把函数转化成关于 的二次方程 判别式 ，从而求得原函数的值域，形如 零）的函数的值域，常用此方法求解。

例 13 ：求函数 的值域。

解：由 当 当

变形得

时，此方程无解； 时，∵

，∴

，

，

解得 ，又 ，∴

∴函数 的值域为

七、函数的单调性法 ： 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例 14 ：求函数 解：∵当 增大时，

的值域。 随 的增大而减少，

随 的增大而增大，

∴函数 在定义域 上是增函数。

∴ ∴函数 例 15. 求函数

， 的值域为

。 的值域。

解：原函数可化为： 令 所以

在

，显然

在

上为无上界的增函数

上也为无上界的增函数

所以当 x=1 时， 显然

有最小值

，原函数有最大值

，故原函数的值域为

适用类型 2 ：用于求复合函数的值域或最值。 （ 原理：同增异减 ） 例 16 ：求函数

的值域。

分析与解： 由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：

。

配方得：

由复合函数的单调性（同增异减）知：

八、利用有界性 ： 一般用于三角函数型，即利用 等。

例 17 ：求函数 解：由原函数式可得：

的值域。

，可化为：

即 ∵ ∴

即

解得：

故函数的值域为

注 ：该题还可以使用数形结合法。 ，利用直线的斜率解题。

例 18 ：求函数 的值域。

解：由 解得 ，

∵ ，∴ ，∴

∴函数 的值域为 。

九、图像法（数形 结合法） ： 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例 19 ：求函数 的值域。

解：∵ ∴

由图像知：函数 例 20 . 求函数

的图像如图所示，

的值域为

，

的值域。

解：原函数可化简得：

间的距离之和。

上式可以看成数轴上点 P （ x ）到定点 A （ 2 ）， 由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时，

当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例 21. 求函数 解：原函数可变形为：

的值域。

上式可看成 x 轴上的点 到两定点 的距离之和，

，

由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， 故所求函数的值域为

例 22. 求函数 解：将函数变形为：

的值域。

到点

上式可看成定点 A （ 3 ， 2 ）到点 P （ x ， 0 ）的距离与定点 的距离之差。 即：

由图可知：（ 1 ）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 ，则构成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（ 2 ）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为：

例 23 、：求函数

的值域 .

分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式

，将原函数视为定点 (2 ， 3) 到动点

的斜率，又知动点

满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（ 2 ， 3 ）到单位圆连线

的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：

点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。 例 24 ．求函数 分析与解答：令

，

的值域。

，则

， 在直角坐标系

， 的第一象限有

，

原问题转化为 ：当直线 与圆 公共点时，求直线的截距的取值范围。 由图 1 知：当 当直线与圆相切时， 所以：值域为

经过点

时，

； 。

十：不等式法 ： 利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例 25. 求函数 解：原函数变形为：

的值域。

当且仅当

即当 时 ，等号成立

的值域。

故原函数的值域为： 例 26. 求函数 解：

当且仅当

，即当

时，等号成立。

由 可得：

故原函数的值域为：

＊ 十一、 多种方法综合运用 ：

例 27. 求函数 解：令

的值域。 ，则

（ 1 ）当

时， ，当且仅当 t=1 ，即 时取等号，所以

（ 2 ）当 t=0 时， y=0 。

综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法

例 28. 求函数 的值域。

解：

令 ，则

∴当 当

时， 时，

此时 都存在，故函数的值域为

的有界性。

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法， 然后才考虑用其他各种特殊方法。