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两点间的距离公式

来源：客趣旅游网



5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

●知识梳理

1.设A（x1，y1），B（x2，y2），

.

则

AB

=（x2－x1，y2－y1）.

∴|

AB

|=

（x

2

x 1）2

（y

2

y 1）2

2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不

同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段

P 1P 2

所成的比，即P1→P，P→P2


x

x 1

x

2

，

的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式





1

（λ≠－1）.

y

y 1

y

2






1

3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，

x

x

h，

y

y

k

.

特别提示


1.定比分点的定义：点P 为

P 1P 2

所成的比为λ，用数学符号表达即为

P 1 P

=λPP 2

.当λ

＞0 时，P 为内分点；λ＜0 时，P 为外分点.
2.定比分点的向量表达式：

P 点分

P 1P 2

成的比为λ，则

OP

=

1

OP 1

+

OP 2

（O 为平面内任一点）.

1

1

3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题.

●点击双基
1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为
A.y=f（x+1）－2 B.y=f（x－1）－2
C.y=f（x－1）+2 D.y=f（x+1）+2
解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x－1）+2.

答案：C
2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为

A.（－1，2）
C.（－4，2）
解析：设a=（h，k），由平移公式得

B.（1，－2）
D.（4，－2）



x

x

h



x

x

h，

y

y

k

y

y

k，




代入y2=4x得

（

y

－k）2=4（

x

－h），

y

2－2k

y

=4

x

－4h－k2，

即y2－2ky=4x－4h－k2，
∴k=2，h=－1.

∴a=（－1，2）.

答案：A
思考讨论

本题不用平移公式代入配方可以吗?

提示：由y2－4y=4x，配方得
（y－2）2=4（x+1），
∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）


3.设A、B、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分


所得的比为

BC

A.

3

B.

8

8

3



C.－

3

D.－

8

8

3



解析：设A 点分

所得的比为λ，则由2=

510

，得λ=－



3

.

BC


8





答案：C

重心坐标为____________.

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），


x 1

x

2

2，















y 1

2

y

2










1，




x 1

2

x

3










3，

则



y 1

2

y

3

∴



x 1

x

2

x

3

2

4，

y 1

y

2

y

3

4




x

2

2

x

3










1，




y

2

2

y

3











1 .



2













4.若点P 分

AB

所成的比是λ（λ≠0），则点A 分

BP

所成的比是____________.

解析：∵

AP

=λPB

，∴

AP

=λ（－

AP + AB

）.∴（1+λ）

AP

=λAB

.

∴

AB

=

1

AP

.∴

BA

=－

1

AP

.






答案：－

1

5.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的







∴重心坐标为（－

2

，

4

）.

3


3

答案：（－

2

，

4

）

3


3

（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7 与线段M1M2 的交点M 分有向

线段

M 1M 2

的比为3∶2，则m 的值为____________.

解析：设M（x，y），则x=

6

3




2

7

3







2

=

15

=3，y=





2

=

4

21

=5，即M（3，5），代入

1

3


5



1

3



5





2







2






y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.

答案：4

●典例剖析

【例1】已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使|AP|=1AB |.

3

剖析：|AP|=1AB |，则AP=1AB或AP=1BA .设出P（x，y），向量转化为坐标运算

33 3

即可.

解：设P 的坐标为（x，y），若

AP

=

1 AB 3

，则由（x+1，y－6）=

1

（4，－6），得


3






x

1

4

，
解得





x

1

，

3

3



y

6

2 .

y

4 .

此时P 点坐标为（

1

，4）.

3



若


=－

1 AB 3

，则由（x+1，y－6）=－

1

（4，－6）得

AP

3







x

1

4

，
解得





x

7

，

3

3



y

6

2 .

y

8 .

∴P（－

7

，8）.综上所述，P（

1

，4）或（－

7

，8）.

3

3

3




深化拓展

本题亦可转化为定比分点处理.由

AP

=

1 AB 3

，得

AP

=

1 PB 2

，则P 为

AB

的定比分点，λ

=

1

，代入公式即可；若

AP

=－

1 AB 3

，则

AP

=－

1 PB 4

，则P 为

AB

的定比分点，λ=

2

－

1

.

P

A

B

4

A

P

B

由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.

【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD

是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.



剖析：∵A、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分

AC

所成的

比即可.

解：∵|BC|=2

5

，|AB|=

10

，∴D 分

AC

所成的比λ=

AD

AB


2

.















DC

BC



2



由定比分点坐标公式，得

x


4

2

（

1）

9

5

2，

2




D


1


1

2


2





y

D

2

2

.


1

2

2

∴D 点坐标为（9－5

2

，

2

）.

∴|BD|=

（9

5

2

3）2

（

2

4）2

=

104

68

2

.

评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解

出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化. 深化拓展

本题也可用如下解法：设D（x，y），∵BD 是∠ABC 的平分线，

①

②

∴〈

BA

，

BD

〉=〈

BC

，

BD

〉.

∴

|

BA

BD

|

BC

BD

|

，

BA

||

BD

| BC

|

|

BD

即

BA

BD

=

BC

BD

.

| BA

|

| BC

|

又

BA

=（1，－3），

BD

=（x－3，y－4），

BC

=（－4，－2），

∴

x

3

3

y

12

=

4

x

12

2

y

8

.

10

20

∴（4+

2

）x+（2－3

2

）y+9

2

－20=0.

又A、D、C 三点共线，∴

AD

，

AC

共线.

又

AD

=（x－4，y－1），

AC

=（x+1，y－2），

∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.

由①②可解得





x

9

5

2，

y

2

.





∴D 点坐标为（9－5

2

，

2

），|BD|=

104

68

2

.


思考讨论

若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读

者思考.


【例3】已知在□ABCD 中，点A（1，1），B（2，3），CD 的中点为E（4，1），将

□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.

（1）求向量a；
（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.

解：（1）由□ABCD 可得

AB

=

DC

，



设C（x3，y3），D（x4，y4），

则



x

3

x

4

1，

①

2 .

②

y

3

y

4

又CD 的中点为E（4，1），

则



x

3

x

4

4，

③

y

3

2

y

4



1 .

④

2



由①－④得





x

3

9 ， 2

2，

x


7

，



4

2



y

3

y

4

0，

即C（

9

，2），D（

7

，0）.

2

2



∴a=（－

9

，－2）.

2

5

，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.

（2）由平移公式得A′（－

7

，－1），B′（－

2

2


●闯关训练

夯实基础

1.（2004 年福州质量检查题）将函数y=sinx 按向量a=（－

π

，3）平移后的函数解析


4


式为

A.y=sin（x－

π

）+3

4


C.y=sin（x+

π

）+3


4




B.y=sin（x－

π

）－3

4


D.y=sin（x+

π

）－3


4





解析：由

x

x

h，

得

k，

x

x

π

，



x



x

x

4


y

y

y

y

3 .

∴

y

－3=sin（

x

+

π

）.



4










∴

y

=sin（

x

+

π

）+3，




4


即y=sin（x+

π

）+3.

4

答案：C

2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin

（2x+

π

）+1 的图象，则a 等于

B.（－






3

π

，1）



A.（－

π

，1）

3

6




C.（

π

，－1）

D.（

π

，1）

3

6

π

，1）.

解析：由y=2sin（2x+

π

）+1 得y=2sin2（x+

π

）+1，∴a=（－

3


6

6


答案：B

3.（2004年东城区模拟题）已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，－1），

若点M分PA所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是

____________.


解析：设P（x0，y0），M（x，y）.







x

x

0


2


x

0



x，

代入y0=2x02+1 得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，x2=

2，



1




3


3

1

y+



y

y

0


y

0

3

y

6


18

=

1



3







（y+

1

），∴p=

1

，焦点坐标为（0，－

7

）.


6

3

12

24

答案：x2=

1

（y+

1

）（0，－

7

）



6

3

24

4.把函数y=2x2－4x+5 的图象按向量a 平移后，得到y=2x2的图象，且a⊥b，c=（1，－1），

b·c=4，则b=____________.

解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x，y），由题意得



x

3 y0，

4，

x

3，

x

y

y

1，

则b=（3，－1）.

答案：（3，－1）

5.已知向量

OA

=（3，1），

OB

=（－1，2），

OC⊥OB

，

BC∥OA

.试求满足

OD + OA

=


OC

的

OD

的坐标.

解：设

OD

=（x，y），则

OC

=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），

BC = OC

－

OB

=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），




则

（x

（

x

3）

（y

1）

0，


=

1 AB 3

，

AD

=3


=－

1 AB 4

，求

4）

（y

1）

0 .

所以



x

11，

OD

6，

=（11，6）.

y

6.已知A（2，3），B（－1，5），且满足

AC

AB

，

AE

C、D、E的坐标.

解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1，

11

），D（－7，9），

E（

3


11

，

5

）.


4


2




培养能力

7.（2004 年福建，17）设函数f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，

3

sin2x），

x∈R.

（1）若f（x）=1－

3

，且x∈［－

π

，

π

］，求x；




3


3

（2）若y=2sin2x 的图象按向量c=（m，n）（|m|＜

π

）平移后得到函数y=f（x）的图象，

2


求实数m、n的值.

解：（1）依题设f（x）=2cos2x+


3

sin2x=1+2sin（2x+

π

），




6


由1+2sin（2x+

π

）=1－

3

，得

6






sin（2x+

π

）=－

3

.

6

2

.





∵|x|≤

π

，∴－

π

≤2x+

π

≤

5π

3

2

6

6






∴2x+

π

=－

π

，即x=－

π

.


6

3

4






（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x－m）+n的图

象，即y=f（x）的图象.由（1）得f（x）=2sin2（x+

π

）+1.又|m|＜

π

，∴m=－

π

，n=1.


12


2


12


8.有点难度哟！

（2004年广州综合测试）已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲

线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，

设

DM

=λMN

，求实数λ的取值范围.

解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C为x2+2y2=2，



即

x

2

+y2=1.


x 1

2



y 1

2


2，

2





（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则







x 1

x

2 ，

.

由于点M、N 在椭圆x2+2y2=2 上，则

1





2

y 1

2

y

2

x

2

2

2

y

2

2

2，

1








即

（


1


x 2


）2

x 2 22 y 2 2

（2

2

y

2

）2

2，

1











2 .

消去x22得，2λ2+8λy2+8=2λ2+4λ+2，

即y=

2

3

.

2

4

∵－1≤y2≤1，∴－1≤

2

3

≤1.

4

又∵λ＞0，故解得λ≥

1

.

2

故λ的取值范围为［

1

，+∞）.

2

思考讨论

本题若设出直线l 的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2 联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.

探究创新

9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15

2

n mile/h，在甲

船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40n mile处的B岛出发，朝北偏东θ（θ

=arctan

1

）的方向作匀速直线航行，速度为10

5

n mile/h.（如下图所示）


2




A

北

东



B

（1）求出发后3h两船相距多少海里?

（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?

解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.

y北

P

A

Q

x

东


B

设在t 时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1），Q（x2，y2），




则





x 1

15

2 t

cos

45

15 t，

y 1

x 1

15 t

.

由θ=arctan

1

，可得cosθ=

2


5

，sinθ=

5

，

2

5

5

x2=10

5

tsinθ=10t，

y2=10

5

tcosθ－40=20t－40.

（1）令t=3，P、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.

|PQ|=

（45

30）2

（45－20）2

=

850

=5

34

，

即两船出发后3 h 时，两船相距5

34

n mile.

（2）由（1）的解法过程易知

|PQ|=（x2x12）（y2y1）2

=（10t15t）2（20t4015t）2

= 502400t1600

= 50（t）2800≥20 2.

∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为20 2，

即两船出发4h时，相距20 2n mile为两船最近距离.

●思悟小结

1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：

（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；

（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地

把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义

P 1 P

=λPP 2

获解.

2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.

3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清

新旧函数解析式.

4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.

1.线段的定比分点公式

P 1 P

=λPP 2

，该式中已知P1、P2 及λ可求分点P 的坐标，并且

还要注意公式的变式在P1、P2、P、λ中知三可求第四个量.

2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体

现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.

3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.



拓展题例

【例1】（2004 年豫南三市联考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B－

3

sin2A－

cos2B+2.

（1）设△ABC的三内角为A、B、C，求f（A，B）取得最小值时，C的值；

（2）当A+B=

π

且A、B∈R 时，y=f（A，B）的图象按向量p 平移后得到函数y=2cos2A


2


的图象，求满足上述条件的一个向量p.

解：（1）f（A，B）=（sin2A－

3

）2+（cos2B－

1

）2+1，



2

2




由题意


sin


cos

2

A

3
，

2得

1
，

2

A

π

或A

π

，




6

3



2

B

B

π

.




6




∴C=

2π

或C=

π

.

3

2



（2）∵A+B=

π

，∴2B=π－2A，cos2B=－cos2A.

2

π

）+3.

∴f（A，B）=cos2A－

3

sin2A+3=2cos（2A+

π

）+3=2cos2（A+

3

6


从而p=（

π

，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）.

6




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