2008,2007年预赛题

一．选择题

1．已知0x24正整数）．则abc= ( )

,sinxcosx.若tanx1a可以表示成的形式（a,b,c是ctanxbA． 8 B．32 C．48 D．50

2．己知一个正三棱柱的底面边长为1, 且两个侧面的异面对角线互相垂直．则它的侧棱长为（ ）

23 C．2 D． 223．在直角坐标平面 xoy 中有点A(5,0) .对于某个正实数k,存在函数f(x)ax2(a0)，使得QOA2POA，其中，P(1,f(1)),Q(k,f(k))．则k的取值范围为（ ）

A．(2,) B．(3,) C．[4,) D．[8,)

A．2 B．

4．方程|x23x2||x22x3|11的实数解的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4 5．己知函数f(x)满足对所有的实数x,y，都有

f(x)f(2xy)5xyf(3xy)2x21，则f(10)的值为（ ）

A．-49 B．-l C．0 D．25 6．己知实数a使得只有一个实数x满足关于x的不等式|x22ax3a|2则满足条件的所有的实数a的个数是（ ）

A．l B．2 C．3 D．无穷多

二．填空题

3x2y27．若双曲线221(a0,b0)上横坐标为a的点到右焦点的距离大于它到左准

2ab线的距离，则该双曲线两条渐近线所夹锐角的取值范围是 ．

8．设多项式P(x)x152008x142008x132008x122008x112008x32008x22008x， 则P(2007)= ．

xsiny2008,(0y).则 xy= ．

2x2008cosy200710．在平面真角坐标系中，设点A(0,4) 、B(3,8) .若点P(x,0)使得∠APB最大，则x= ．

l1．质数p,q,r满足pqr，且(rp)(qp)27p是一个完全平方数．则满足条件的所有三元数组（p,q,r）= ．

12．正整数n500，具有性质：从集合{1,2,…,50}中任取一个元素m，使得m|n的概

1率是,则n的最大值是 ．

100

9．实数x,y满足三．解答题

13．己知抛物线C：yax2(a0)，直线yx2交抛物线于点A、B，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点 N ． （1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行．

（2）是否存在实数a使得NANB0? 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．

14．如图l, 已知锐角△ABC的外接圆半径R=l，∠BAC=60 °，△ABC的垂心、外心分别为H、O,联结OH与BC的延长线交于点 P．求： （1）凹四边形ABHC的面积； （2）POOH的值．

15．求最小的正实数k，使得不等式abbccak( 1a11)9对所有的正实数bca,b,c都成立．

16．设x1,x2,是不同的正实数．证明：x1,x2,是一个等比数列的充分必要条件是对

22xnx12x1n1xn所有整数n(n2)，都有22．

x2k1xkxk1x2x1

2007年福建省高中数学竞赛预赛试题

一．选择题

1．一个直角三角形的两条直角边长为a,b满足不等式

a26a219b24b3163，则这个直角三角形的斜边长为（ ）

A．5 B．30 C．6 D．40

2．数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的，但是数字1至7不是从小到大排列的．这样的九位数共有（ ）个． A．336 B．360 C．432 D．504

3．一个三角形的最短边长度是1，三个角的正切值都是整数，则该三角形的最长边的长度为（ ）

A．

21035 B． 55 C．3 D．2

4．正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8，则这个正三棱锥的体积的最大

值为（ ） A．18 B．36 C．72 D．144 5．对每一个正整数k，设ak111，则(3a15a299a49)2500a49 2k等于（ ）

A．－1025 B．－1225 C．－1500 D．－2525 6．集合S1,2,3,4,5,6,7的五元子集共有21个，每个子集的数从小到大排好后，取出中间的数，则所有这些数之和是 （ ）

A．80 B．84 C．100 D．168

二．填空题

7．函数f(x)x22x3，若f(x)a＜2恒成立的充分条件是1x2，则实数a

的取值范围是 ．

8．在直角坐标平面上，正方形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（12，19）、（3，22），则顶点B、D的坐标分别为 ．（A、B、C、D依逆时针顺序排列）

x2y221（0＜b＜3＝的左、右焦点．若在椭圆的右准9．已知F1、F2分别是椭圆

9b线上存在一点P，使得线段PF则b的取值范围是 ． 1的垂直平分线过点F2，

10．方程100x3y1003的正整数解(x,y)有 组．

11x11lg11．设f(x)，则不等式fx(x)＜的解集为 ．

2x51x2512．设函数f(x)12x3x1，如果方程f(x)a恰有两个不同的实数根u,v，

满足2uv10，则实数a的取值范围是 ．

三．解答题

13．已知f(x)sin2x2sinx，g(x)3x1，若对任意x1,x2(0,)恒有4xf(x1)g(x2)m，试求m的最大值．

y21的左、右焦点，过F1斜率为k的直线l1交双14．已知F1、F2分别是双曲线x3曲线的左、右两支分别于A、C两点，过F2且与l1垂直的直线l2交双曲线的左、右两支

2分别于D、B两点．

（1）求k的取值范围；（2）设点P（x0,y0)是直线l1、l2的交点，求证：x022y04＞；

33（3）求四边形ABCD面积的最小值．

15．如图，在锐角三角形ABC中，AA1，BB1是两条角平分线，I，O，H分别是ABC的内心，外心，垂心，连接HO，分别交AC，BC于点P，Q．已知C，A1，I，B1四点共圆．

（1）求证：C60；（2）求证：PQAPBQ． C

A1

B1 Q O H I P

A B

16．已知两个整数数列a0,a1,a2,和b0,b1,b2,满足： （1）对任意非负整数n，有an2an2； （2）对任意非负整数m,n,有amanbm2n2 证明：数列a0,a1,a2,中最多只有6个不同的数．