(完整版)利用导数求参数的取值范围方法归纳

利用导数求参数的取值范围

一．已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上 例１．

设函数f(x)2x3(a1)x6ax8其中aR．

32(1)若f(x)在x3处得极值,求常数a的值.(2)若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围

二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上

例3.已知f(x)xaxbxc在x与x1时都取得极值 （1）求ａ、ｂ的值及函数f(x)的单调区间．

（2）若对x[1,2],不等式f(x)c恒成立，求ｃ的取值范围．

23223x23.已知函数f(x)x2x5,若对任意x[1,2]都有f(x)m则实数m的取值范围是__________

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类型2．参数放在区间上

例４．已知三次函数f(x)ax5xcxd图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值. （1）求f(x)的解析式.（2）当x(0,m)时, f(x)>0恒成立,求实数m的取值范围. 分析:(1)f(x)x5x3x9

3232(2).f'(x)3x210x3(3x1)(x3)11由f‘(x)0得x1,x23当x(0,)时f'(x)0,f(x)单调递增，所以f(x)f(0)9331当x(,3)时f'(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)f(3)0

3所以当m3时f(x)0在(0,m)内不恒成立，当且仅当m(0,3]时f(x)0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3]

基础训练：

4.若不等式x44x32a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是___________.

三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．

例5.已知函数f(x)axbx3x在x1,x1处取得极值 (1) 求函数f(x)的解析式.

(2) 若过点A(1,m)(m2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.

3略解(1)求得f(x)x3x

3'2(2)设切点为M(x0,x03x0),因为f(x)3x3

2所以切线方程为ym(3x03)(x1),又切线过点M32所以x03x0m(3x03)(x01)32即2x03x0m3032因为过点A可作曲线的三条切线,所以关于x0的方程有三个不同的实数根322设g(x0)2x03x0m3则g'(x0)6x06x0由g'(x0)0得x00或x01所以g(x0)在(,0),(1,)上单调递增,在(0,1)上单调递减,故函数g(x0)的极值点为x00,x01 g(0)0所以关于x0的方程有三个不同实根的充要条件是解得3m2g(1)0所求的实数m的取值范围是(3,2)

总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x轴交点个数

.基础训练：

5.设a为实数,函数f(x)x3x2xa(1)求f(x)的极值

变式2：若函数f(x)axxx5在(,)上单调递增，求a的取值范围。 变式3：已知函数f(x)2ax

变式4：已知函数f(x)xaxx1，aR． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

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(2)当a在什么范围内取值时,曲线yf(x)与x轴仅有一个交点321,x(0,1]，若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围。 2x内是减函数，求a的取值范围． （Ⅱ）设函数f(x)在区间，

2313

变式1：已知f(x)x

★高考真题演练

(2017年理21)已知函数f(x)ae（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围。

(2017年文21)已知函数f(x)e(ea)ax （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)0，求a的取值范围。

（2017年文科14）曲线yx

（2016年文、理21） 已知函数f(x)(x2)ea(x1) （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若错误!未找到引用源。f(x)有两个零点，求a的取值范围.

x2xx22x312x2x5,x[1,2],f(x)m恒成立，求实数m的取值范围 2(a2)exx

21在点(1,2)处的切线方程为 。 x

（2014年文科21） 设函数fxalnx（1）求b;

（2）若存在x01,使得fx0

1a2xbxa1，曲线yfx在点1，f1处的切线斜率为0 2a，求a的取值范围。 a1bex1（2014年理科21）设函数f(x0aelnx，曲线yf(x)在点（1，f(1)处的切线为ye(x1)2. (Ⅰ)求a,b；

xx（Ⅱ）证明：f(x)1.

（2013年理科21）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2 （Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kgf(x)，求k的取值范围。