江北区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

江北区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ） A．10

B．9

C．8

D．5

C．

2． A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ） A．

B．

D．

3． 函数 y=x2﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是（ ） A．[1，6] 4． 实数a=0.2

B．[﹣3，1] ，b=log

0.2，c=

C．[﹣3，6]

D．[﹣3，+∞）

的大小关系正确的是（ ） C．b＜a＜c

D．b＜c＜a

A．a＜c＜b B．a＜b＜c

5． 下列命题中正确的是（ ） B．任何复数都不能比较大小 C．若

=

，则z1=z2

D．若|z1|=|z2|，则z1=z2或z1=

A．复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d

6． 已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有

成立，下列结论中错误的是（ ）

A．f（3）=0

B．直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴 C．函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点

D．函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数

7． 奇函数f（x）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则f（6）+f（﹣3）的值为（ ） A．10

B．﹣10 C．9

D．15

D．0M

8． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A．{0}∈M B．{0}M C．0∈M

9． 如果对定义在R上的函数f(x)，对任意mn，均有mf(m)nf(n)mf(n)nf(m)0成立，则称

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函数f(x)为“H函数”.给出下列函数： ①

f(x)ln2x5；②f(x)x34x3；③f(x)22x2(sinxcosx)；④

ln|x|,x0．其中函数是“H函数”的个数为（ ） f(x)0,x0A．1 B．2 C．3 D． 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 10．双曲线：A．

的渐近线方程和离心率分别是（ ） B．

C．

D．

11．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ） A．1

B．

C．2

D．4

12．已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的范围是（ ） A．[3，+∞）

B．（3，+∞）

C．[﹣∞，3]

D．[﹣∞，3）

二、填空题

13．若(mxy)6展开式中x3y3的系数为160，则m__________．

【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想． 14．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1； ③若实数x，y满足x2+y2=1，则

的最大值为

；

④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．

⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且

•

=5，则△ABC的形状是直角三角形．

15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是 ． 16．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是 ．

17．如图，在三棱锥PABC中，PAPBPC，PAPB，PAPC，△PBC为等边三角形，则PC 与平面ABC所成角的正弦值为______________.

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【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力． 18．

= ．

三、解答题

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA﹣sinC（cosB+（1）求角C的大小； （2）若c=2，且△ABC的面积为

20．（本小题满分13分）

，求a，b的值．

sinB）=0．

x2y2M，椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F直线l:xmy1经过点F1、F2，1与椭圆C交于点

ab2点M在x轴的上方．当m0时，|MF1|．

2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

SMF1F2（Ⅱ）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点， MF1//NF2，且3，求直线l的方程．

SNF1F2

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21．已知数列{an}的前项和公式为Sn2n230n. （1）求数列{an}的通项公式an； （2）求Sn的最小值及对应的值.

22．（本小题满分13分） 已知函数f(x)ax33x21， （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)．

23．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；

（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表： 18 19 20 21 22 周需求量n 频数 1 2 3 3 1 12第 4 页，共 15 页

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X表示当周的利润以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，（单位：元），求X的分布列及数学期望．

24．在等比数列{an}中，a2=3，a5=81． （Ⅰ）求an；

（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．

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江北区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

2222

【解析】解：∵23cosA+cos2A=23cosA+2cosA﹣1=0，即cosA=

，A为锐角，

∴cosA=， 又a=7，c=6，

2222

根据余弦定理得：a=b+c﹣2bc•cosA，即49=b+36﹣

b，

解得：b=5或b=﹣则b=5．

（舍去），

故选D

2． 【答案】B

【解析】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R， 则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，

其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为2πR， 则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=故选B．

=．

【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．

3． 【答案】C

22

【解析】解：y=x﹣4x+1=（x﹣2）﹣3 ∴当x=2时，函数取最小值﹣3 当x=5时，函数取最大值6 故选C

关系，仔细作答

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2

∴函数 y=x﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是[﹣3，6]

【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置

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4． 【答案】C

【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log 即0＜a＜1，b＜0，c＞1， ∴b＜a＜c． 故选：C．

0.2＜0，0＜0.2

＜1，

，

【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键． 5． 【答案】C

【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R． B．实数是复数，实数能比较大小． C．∵

=

，则z1=z2，正确；

D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确． 故选：C．

6． 【答案】D

【解析】解：对于A：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3）， ∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3）， ∴f（3）=0，故A正确；

对于B：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数， ∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x）， ∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），

∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即B正确；

对于C：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0， ∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数， ∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9）， ∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C正确； 对于D：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有

∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，

∴y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数， ∴y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D错误．

，

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综上所述，命题中正确的有A、B、C． 故选：D．

【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．

7． 【答案】C

【解析】解：由于f（x）在[3，6]上为增函数，

f（x）的最大值为f（6）=8，f（x）的最小值为f（3）=﹣1，

f（x）为奇函数，故f（﹣3）=﹣f（3）=1，∴f（6）+f（﹣3）=8+1=9． 故选：C．

8． 【答案】C

【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确； 对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．

对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确． 故选C

【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用

9． 【答案】B

第

10．【答案】D

【解析】解：双曲线：

的a=1，b=2，c=

=

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∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选 D

11．【答案】B

【解析】解：设圆柱的高为h，则 V圆柱=π×12×h=h，V球=∴h=

．

=

，

故选：B．

12．【答案】B

【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}， 若A⊆B，则a＞3， 故选：B．

【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．

二、填空题

13．【答案】2

33【解析】由题意，得C6m160，即m8，所以m2．

314．【答案】 ：①②③

3

【解析】解：对于①函数y=2x﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确； 对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；

22

对于③若实数x，y满足x+y=1，则

=

22

，可以看作是圆x+y=1上的点与点（﹣2，0）连线

的斜率，其最大值为，③正确；

对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角， 即π﹣A﹣B＜则cosB＜cos（

，即A+B＞﹣A），

，B＞

﹣A，

即cosB＜sinA，故④不正确．

对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，

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取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD， ∵由则即则又BC=5 则有

由余弦定理可得cosC＜0， 即有C为钝角．

则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确． 故答案为：①②③

15．【答案】 ．

2

【解析】解：∵抛物线C方程为y=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1）， 由

，消去x得

．

=

，

|，

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，

2

∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y2=﹣4， 2

消去y2得k=3，解之得k=±

．

故答案为：．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．

16．【答案】 [1，）∪（9，25] ．

【解析】解：∵集合

2

得 （ax﹣5）（x﹣a）＜0，

，

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当a=0时，显然不成立， 当a＞0时，原不等式可化为

，

若

时，只需满足 ，

解得若

；

，只需满足 ，

解得 9＜a≤25， 综上，

当a＜0时，不符合条件， 故答案为[1，）∪（9，25]．

【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．

17．【答案】

【

21 7解

析

】

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18．【答案】 2 ． 【解析】解：故答案为：2．

=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C）， ∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣即sinB（cosC﹣∵sinB≠0，

sinC）=0，

sinBsinC=0，…（2分）

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∴tanC=，故C=

=

．…（6分） ，

（2）∵ab×∴ab=4，①

又c=2，…（8分）

22

∴a+b﹣2ab×=4，

∴a2+b2=8．②

∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由直线l:xmy1经过点F1得c1，

b22当m0时，直线l与x轴垂直，|MF1|， a2c1x2a222Cy1． （4分） 由b解得，∴椭圆的方程为22b12aSMF1F2|MF1|y1（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，y10,y20，由MF1//NF2知3.

SNF1F2|NF2|y2xmy1m2(m21)222联立方程x，消去x得(m2)y2my10，解得y 22m2y12m2(m21)m2(m21)∴y1，同样可求得y2， （11分） 22m2m2m2(m21)m2(m21)y1

由，解得m1， 3得y13y2，∴3y2m22m22直线l的方程为xy10． （13分）

21．【答案】（1）an4n32；（2）当n7或时，Sn最小，且最小值为S7S8112. 【解析】

试题分析：（1）根据数列的项an和数列的和Sn之间的关系，即可求解数列{an}的通项公式an；（2）由（1）中的通项公式，可得a1a2a70，a80，当n9时，an0，即可得出结论．1

试题解析：（1）∵Sn2n230n，

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∴当n1时，a1S128.

当n2时，anSnSn1(2n230n)[2(n1)230(n1)]4n32. ∴an4n32，nN. （2）∵an4n32， ∴a1a2a70，a80，

当n9时，an0.

∴当n7或8时，Sn最小，且最小值为S7S8112. 考点：等差数列的通项公式及其应用． 22．【答案】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)3ax26x3x(ax2)， （1分）

22或x0，解f(x)0得0x， aa22∴f(x)的递增区间为(,0)和(,)，f(x)的递减区间为(0,)． （4分）

aa②当a0时，f(x)的递增区间为(,0)，递减区间为(0,)． （5分）

22③当a0时，解f(x)0得x0，解f(x)0得x0或x

aa22∴f(x)的递增区间为(,0)，f(x)的递减区间为(,)和(0,)． （7分）

aa22（Ⅱ）当a2时，由（Ⅰ）知(,)上递减，在(,0)上递增，在(0,)上递减．

aa22a4∵f0，∴f(x)在(,0)没有零点． （9分） 2aa11∵f010，f(a2)0，f(x)在(0,)上递减，

281∴在(0,)上，存在唯一的x0，使得fx00．且x0(0,) （12分）

21综上所述，当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)． （13分）

2①当a0时，解f(x)0得x23．【答案】

【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000， 当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000， ∴

．

（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，

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∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1， X的分布列为

X 8800 9400 10000 10200 P 0.1 0.2 0.3 0.3 ∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q， 由a2=3，a5=81，得

，解得

∴（Ⅱ）∵∴

；

，bn=log3an，

． ．

10400 0.1 则数列{bn}的首项为b1=0，

由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2）， 可知数列{bn}是以1为公差的等差数列． ∴

．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．

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