四川省中考数学专题突破复习：题型专项(五)反比例函数综合题

题型专项(五） 反比例函数的综合题

类型１ 一次函数与反比例函数综合

1.（2０16·成都大邑县一诊)如图,直线l1：y=x与反比例函数ｙ=＼f(k,x）的图象相交于点Ａ(２，a)，将直线l1向上平移3个单位长度得到l２，直线l2与c相交于Ｂ，C两点(点B在第一象限），交ｙ轴于点Ｄ. （1）求反比例函数的解析式并写出图象为l2的一次函数的解析式; (2)求B，Ｃ两点的坐标并求△BOD的面积.

解：（1)∵点A(2,a)在ｙ=ｘ上, ∴a＝２.∴Ａ(2,2)．

∵点A(2，2)在ｙ＝错误!上,

∴k=2×２＝4.

∴反比例函数的解析式是y=错误!． 将y=x向上平移3个单位得l2：y=x＋3. (2)联立方程组错误! 解得错误!或错误! ∴B(1,4),C(－4,－1)．

当ｘ＝0时,ｙ=x＋3＝3，则D(0,３), ∴Ｓ△ＢＯD＝错误!×3×1=错误!.

２．(２015·南充)反比例函数y＝＼ｆ(ｋ,x)(k≠0)与一次函数y＝mx+b(m≠0)交于点A(1，2k－１). (1)求反比例函数的解析式；

（2)若一次函数与ｘ轴交于点B，且△ＡＯB的面积为3，求一次函数的解析式． 解:（1)把点Ａ(１，2k-1）代入y＝＼f(k,x),得2k－１＝ｋ． ∴k＝1．

1

∴反比例函数的解析式为y=.

x(2)由(1)得ｋ=1, ∴A(１，1). 设B(a,0)，

1

∴S△ＡOB=·|a|×１=３．

2

∴a=±6．

∴B(-６,0)或(6，0)．

把A(1，1),B(－６,0)代入y=ｍx+ｂ，得错误!解得错误! ６

∴一次函数的解析式为y＝＼ｆ(１，7）ｘ+．

7把Ａ(1，1）,B(6，0）代入y＝ｍx＋b,得

错误!解得错误!

∴一次函数的解析式为y＝-错误!ｘ+错误!.

∴符合条件的一次函数解析式为ｙ=-错误!x＋错误!或y=错误!x＋错误!.

--

--

3.（201６·南充模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBＣ是矩形，且D(０,4)，Ｂ(6，0)．若反比例函数y＝

ｋ1

(x>0)的图象经过线段OＣ的中点A，交DC于点E，交ＢC于点F．设直线EＦ的解析式为y＝k２x＋b. x

(１)求反比例函数和直线EF的解析式; (2)求△OEF的面积;

(3)请结合图象直接写出不等式k2x＋b－＼f（k1，x)>0的解集．

解：（1)∵四边形DOBC是矩形,且D(０，4)，B（6,0)，∴C点坐标为(6,4). ∵点Ａ为线段OC的中点,∴Ａ点坐标为(３,2)． ∴k１=３×2=6.

6

∴反比例函数解析式为y=.

x

把x＝６代入y=错误!，得ｘ＝1,∴F(6,1).

把y=4代入y=＼f(6,x)，得x＝错误!，∴Ｅ(错误!,4)．

把F（6,1)，Ｅ（＼f（3，２),4)代入ｙ＝k２ｘ＋b，得错误!解得错误!

∴直线ＥF的解析式为ｙ=－错误!ｘ＋5.

(2)S△ＯEＦ=Ｓ矩形BCDO－S△OＤＥ－S△OBF－Ｓ△CEF＝4×6－错误!－错误!×6×4×错误!－错误!×（6-错误!)×(4－1)＝＼f（45,4).

(3)不等式ｋ2x＋b-错误!>0的解集为错误!<ｘ<6.

4.(201６·成都新都区一诊)如图，直线OA：y=＼f(１,2)x的图象与反比例函数y＝点,过A点作x轴的垂线,垂足为M，已知△ＯAM的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点Ｂ与点A不重合）,且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA＋ＰB最小．

ｋ

(k≠0)在第一象限的图象交于Ax

k

解:(1)设A点的坐标为(a,b）,则ｂ＝，∴ab＝k.

a∵错误!ab＝１，∴错误!k＝１,∴ｋ＝2．

∴反比例函数的解析式为y=＼f（２,ｘ). （2)联立错误!解得错误! ∴A(2，1)．

设A点关于x轴的对称点为C，则Ｃ点的坐标为（2,-１），由对称知识可得BＣ与x轴的交点P即为所求. 设直线BC的解析式为y=mx+n. 由题意可得：Ｂ点的坐标为(1,2). ∴错误!解得错误!

∴ＢC的解析式为y=－3x＋5. 5

当y=0时，x=，

3

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５

∴P点坐标为(，0).

３

5.（2０15·泸州)如图,一次函数y=kｘ+b(k<０)的图象经过点C(３，０），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3. (1)求该一次函数的解析式；

(2)若反比例函数ｙ＝错误!的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A,Ｂ两点,且AＣ＝2ＢC,求m的值.

解:(１)∵一次函数ｙ=kx+ｂ(k＜0)的图象经过点C（３,０), ∴3ｋ+ｂ＝0①，点C到ｙ轴的距离是３.

∵一次函数y=kx+ｂ的图象与y轴的交点是（0,ｂ）， ∴＼f(１,2)×3×ｂ=3.解得b=２. 2将b=2代入①，解得k=－.

3

则函数的解析式是y=－错误!x＋2.

(2)过点Ａ作AD⊥x轴于点D,过点B作ＢＥ⊥ｘ轴于点E，则AD∥ＢE. ∵ＡＤ∥BE，∴△ACＤ∽△BＣE． ∴＼f(AD，BＥ)=错误!＝２.∴AD=2BＥ. 设B点纵坐标为-ｎ,则A点纵坐标为2n. ∵直线AB的解析式为y＝-＼ｆ(2,3)x+2, ∴A(3－3n，2ｎ),B(３＋＼ｆ(3,2)n，－n)． m

∵反比例函数y=的图象经过Ａ,B两点，

x∴(3-３n）·２ｎ＝（3+错误!n)·（－n). 解得ｎ1＝2，n2=0(不合题意,舍去)． ∴m＝(3－3n)·2ｎ＝－3×4=－12.

6．(2016·绵阳)如图,直线ｙ＝k1ｘ＋７(k１<０)与ｘ轴交于点A，与ｙ轴交于点B,与反比例函数y=错误!(k２>0)的图象在第一象限交于C,D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为错误!,点Ｃ横坐标为1.

(1)求反比例函数的解析式；

（２)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”.请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．

7

解：(1)由题意得A(－，０),Ｂ(0,7),

k1

∴S△AOB＝错误!|OＡ|·|ＯB|＝错误!×(－错误!)×７=错误!.

--

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解得k1=-1.

故直线方程为y＝－ｘ+7.

当x=1时,ｙ=６,故点C坐标为(1，6), 将点Ｃ(１，6)代入ｙ=错误!,解得ｋ2＝6.

∴反比例函数的解析式为y＝＼ｆ(6，x）.

6

(2)由直线y=-x+7和反比例函数ｙ＝在第一象限图象的对称性可知点Ｄ与点C关于直线y=x对称,故点D坐标为

ｘ(６,1).

当ｘ＝2时，反比例函数图象上的点为(2，3)，直线上的点为(2，5)，此时可得整点(2,4); 当ｘ＝３时,反比例函数图象上的点为(3，2),直线上的点为(３,4)，此时可得整点(3，３）; 当x＝４时，反比例函数图象上的点为(4，错误!)，直线上的点为(4,3),此时可得整点(4,2）; 6

当x＝5时,反比例函数图象上的点为(５，)，直线上的点为(５,2),此时无整点可取．

5综上可知，阴影部分(不含边界)所包含的整点有(２，４），（3，3),(4,2). (方法二：联立直线和反比例函数解析式，求点Ｄ坐标,请酌情评分．)

类型2 反比例函数与几何图形综合

7.(2016·绵阳涪城区模拟）如图，Ｏ为坐标原点,点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形,∠AOＣ=45°，k

OＡ=2,反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点D.

x（1)求反比例函数的解析式;

（2)若点D的纵坐标为错误!,求直线AD的解析式.

解：(1)过点A作ＡH⊥ｘ轴于点H. ∵ＯA=２,∠ＡOＨ＝４5°，

∴OH=AH＝OA·ｓiｎ45°=２×＼f(２，2)=错误!． ∴Ａ(错误!,错误!）．

又点Ａ在y＝错误!图象上，

∴k＝２×错误!＝２.

∴反比例函数的解析式是y＝＼f(2,x).

(2）∵点D纵坐标是错误!,∴点D横坐标是2错误!. ∴Ｄ（22，错误!)，A(错误!，错误!)． 设直线AD的解析式为ｙ=ax+ｂ，则 错误!解得错误!

∴直线AD的解析式为y=－

8．(２01６·成都高新区一诊)如图1,在△OＡＢ中，A(0，２),B(4，0)，将△AOB向右平移m个单位,得到△O′A′B′．

(１)当ｍ=4时,如图2,若反比例函数y＝错误!的图象经过点A′，一次函数ｙ=ax＋ｂ的图象经过Ａ′,B′两点.求反比

1

x＋＼f（3＼r(2)，2)． ２

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--

例函数及一次函数的解析式；

(2)若反比例函数y=错误!的图象经过点A′及A′B′的中点Ｍ,求m的值.

解：(1)∵A′(４,2),B′(８，０), ∴k=４×2=8. ∴y=＼ｆ（8,ｘ). 把(4,2)，（8,0)代入y=aｘ+b,得

错误!解得错误!

∴经过A′，Ｂ′两点的一次函数解析式为y＝-错误!x+4．

(２)当△AOＢ向右平移m个单位时，Ａ′点的坐标为(m,2）,B′点的坐标为(m+４,0)， 则A′B′的中点M的坐标为(错误!,1).

∵反比例函数y＝＼f（k,x）的图象经过点A′及Ｍ, ∴2m=错误!×1，解得m＝2．

∴当ｍ=2时,反比例函数y=错误!的图象经过点A′及A′B′的中点M.

m

9．(2０1４·内江)如图,一次函数ｙ＝ｋx+b的图象与反比例函数y＝(x＞0）的图象交于点P(n,2),与x轴交于点Ａ(－

x4,0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点Ｂ,且AC=ＢＣ.

(1)求一次函数、反比例函数的解析式;

(2）反比例函数图象上是否存在点D,使四边形ＢCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在,说明理由．

解:(1)∵AＣ=BＣ,CO⊥ＡＢ,A(-4,0)， ∴O为AB的中点,即OＡ=OB＝4. ∴Ｐ(4,2),B（4，0）． 将A(-4,0），Ｐ（4，2)代入y=kx＋b,得 错误!解得错误!

１

∴一次函数解析式为ｙ=ｘ+１.

４

将Ｐ（4，2)代入反比例函数解析式得ｍ＝８. ∴反比例函数解析式为y=

８. ｘ

(2）存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形, 对于一次函数ｙ＝错误!ｘ+1,令ｘ＝0,则y＝1, ∴C(0，1).

0-11

∴直线BＣ的斜率为＝－．

4４-0设过点P,且与ＢＣ平行的直线解析式为

ｙ-２=-错误!(ｘ-4)，即ｙ＝错误!， 联立错误!解得错误!错误!

--

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∴Ｄ(8，1).

此时PD=错误!=错误!，

ＢＣ=＼r(（4－0)2＋(0－1)2)＝错误!，即ＰD=BC． ∵PD∥BＣ,

∴四边形BCPＤ为平行四边形.

∵PC=（4－02＋(2－１）2)＝＼r(17),即PC=BC，

∴四边形BCPD为菱形,满足题意，

∴反比例函数图象上存在点D，使四边形BＣPＤ为菱形,此时D点坐标为(8，1)．

10．(2016·德阳中江模拟)如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第二象限，顶点A，Ｂ分别落在反比例函数y＝错误!图象的两支上,且ＰB⊥y轴于点C，ＰA⊥ｘ轴于点D,ＡB分别与ｘ轴,y轴相交于点E，Ｆ.已知Ｂ(1，3）．

（1）k＝3；

(2）试说明AE＝BF;

(3）当四边形ABCＤ的面积为4时，直接写出点P的坐标．

解：（2)设点P坐标为P(m,３)，则D（m,０),C(０，3)，Ａ(m,错误!), ∵

PC-m3m

=＝＼ｆ（ｍ,m-1)，＼f(PＤ，ＰA)＝＝, ＰＢ１－m3-＼f(3，ｍ)m-１

∴＼f(PＣ,PB）=错误!. 又∵∠P=∠P，

∴△PDC∽△PAB. ∴∠PDＣ=∠ＰAB. ∴DC∥AB．

又∵AＤ∥CF,DＥ∥ＣＢ，

∴四边形ADCF和四边形DEBC都是平行四边形. ∴AＦ=ＤＣ，DC＝BＥ. ∴AF＝BE. ∴AＥ＝ＢF.

(3)S四边形ABＣＤ＝S△AＰＢ－Ｓ△ＰCD 1＝PA·ＰB－错误!PC·PD 2

＝错误!(3-错误!)(1－m)-错误!×3（－m) ＝4.

解得m＝-＼f(3,２）. ３

则P(－,3)．

2

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