蓰 ｆ Ｆ 霭 、预热高考 一 由曩 四 届国日 一 （，文／江苏省赣榆县赣马高级中学王怀学 进人课改以来的首届新高考已经在沉稳中悄然结束，课改后第二：膳新高芍的 帷幕即将拉开．２Ｏ１０年高考是湖南省实施新课改以来的圩ＩＪ Ｊ之怍，数学试卷严格遵 循考试说明，选材紧扣教材而又高于教材，既重视考查数学基础知识和基本技能． 又能够考查考生继续学习所必需的数学素养和潜能．试题总体难度适中。试题灵活 性增强，区分度加大，在准确把握新课改精神，吸收新课改理念．积极反映新踝改 的最新成果，在创新意识、数学应用意识、计算和空问想象、逻辑推理能力等方面 着力于创新意识和实践能力人才的选拔，充分体现“体现理念，突出特色．平稳过 渡”的新课改高考命题的基本原则，初步体现考试由知识立意向能力素质立意的转 变．２Ｏ¨年高考在即，回顾剖析２０１０年高考．希望能对今年高考冲刺复习起到一定 的指导作用． １．２０１０年高考试题题型结构分析．Ｉ ２０１０年的数学试卷仍然采用“８十７＋６”结卡勾，试卷主、客观题各占７５分，其中 选择题８道４Ｏ分，填空题７道３５分，解答题６道共计７５分．试题难度与２０Ｏ８、 ２００９年基本一致，在题目和答案设置方面陷阱甚少，考查的知识点、题型、题量保 持一贯的稳定性，试题几乎全部由易到难排列，填空题一直到１ ３题，都是较容易 题，ｌ４题运算量大点、１５题较难，解答题前三题主要考金ｊ角函数、概率统计、立 体几何，较简单，后三题即ｌ ９、２０、２１题难度上升，分别是圆锥曲线、数列、函数 题，虽有难度，综合性较强，但坡度合理，其他题没有出现偏题怪题，突出考查常 规方法和通性通法，淡化特殊技巧，计算量也比较小，没有繁琐的运算和公式变 形，有利于考生临场正常发挥，这在一定程度上减轻＿ｒ学生的计算负担，也有利于 摆脱题海作战．这种平稳过渡现象，和江苏省新课改的首届高考２００９年的考卷卡ｆｊ似 （注：２Ｏ１０年江苏卷灵活性较强，难度超出预期）． ２．文科与理科差异分析．． 文科与理科两套试卷的２ｌ道试题中，完全相同的选择填空题仅３道，题干棚 同数据不同的题２道，解答题中也只有互角函数的一道小题设问一致．这突显时 预热高考． 蠹 文、理科考生的不同数学要求，文科强凋数学的工具性，理科重视思维的抽象性． 分科设卷更有利于高校选拔优秀人才，同时体现了中学文、理科数学有区别的教学 要求 皿 （２０１０湖南１６）（文科）已知函数／（ ）一ｓｉｎ ２．ｒ－－２ｓｉｎ。ｊ， （Ｉ）求函数厂（ ）的最小正周期；（ＩＩ）求函数厂（ ）的最大值及ｌ厂（ ）取最大值 时 的集合． （理科）已知函数厂（ ）＝√３ ｓｉｎ ２Ｊ’一２ｓｉｎ ．ｒ （Ｉ）求函数ｌ厂（ ）的最大值；（ＩＩ）求函数 （ ）的零点的集合． 命题意图：考查二倍角公式、正弦的和角公式、三角函数周期、最值、简单三角 方程等正弦型函数的性质，以及集合的表示、零点的概念等相关知识． 誓 （文科）ｆ（ａ）一ｓｉｎ ２Ｔ一２ｓｉｎ ３２一ｓｉｎ ２ 一（１～ＣＯＳ ２：ｒ）：ｓｉｎ ２ ＋ＣＯＳ ２ ～ １一 ｓｉｎ（２ ｛）一１ （Ｉ）函数，（ ）的最小正周期是 ＝７ｃ； （Ⅱ）当ｓｉｎ（２Ｊｃ＋｛）一１时，函数／（ ｒ）的最大值是￣／ 一１，此时，２ｘ＋－－Ｋ４： ２ ７【＋ ， ∈ｚ， 即 ｋ 一詈， ∈Ｚ，取最大值时ｒ的集合是｛ｚ ：ｋ 一— ， ∈ｚ）． （理科），（＿，）一 ｓｉｎ ２ 一２ｓｉｎ７．ｒ—ｖ￣ｓｉｎ ２ｚ一（１一ＣＯＳ ２ｘ）一￣ｑ３－ ｓｉｎ ２ ＋（．Ｏｓ ２．ｒ一 １—２ｓ （２ａｏ＋音） （Ｔ）当ｓｉｎ（２ ｒ＋詈）时，函数／（ ）的最大值为ｌ； 、 （Ⅱ）由 （ ）一０得２√ ｉｎ ３＂ＣＯ８ ｏｆ＂一＿２ｓｉｎ！“于是ｓｉｎ ｒ＝０．或、， ＯＳ ｚ：＝ｓｉｎ ． 即ｔａｎ 一 ．由ｓｉｎ ３；－－￣０可知ｒ一 ，由ｔａｎ ｒ＝ 可知 －二女 ＋要，ｋ∈ｚ． 故函数／（ ｒ）的零点的集合为 ｆ ｒ－＿－ｋ ７【．或 －二 ７ｃ十要， ∈ｚ｝． ‘ 三角函数题往往是高考试卷大题的第一道题，肩负着承Ｌ启下的作 用，试题形式设计上一般不多于两问，常见类型有：在三角形的背景下，主要考查 正弦定理和余弦定理的应用；在平面向量的背景下，主要考查ｊ三角恒等变换；在一 般函数的背景下．主要考查三角函数图像变化．本题就是第三种题型．很明显．本题 在命题时，同样作为承上肩下基础题，文理科的要求就大不相同．本题文理科的条 件均作了技术调整．文科给出的函数显然要比理科的简单，选择一个最简单的正弦 和角公式的逆用，即辅助角公式，计算ｓｉｎ ２ｘ＋ＣＯＳ ２ｚ一 ｓ ｎ（２ 十詈）是何等 Ｆ． 容易． ．预热高考 本题首先要观察三角式的特点。考虑到次数差异采取降幂策略较妥；其次．将 三角式化为一个角的三角函数式子，便可顺利地研究周期、最值等．泣意理科第二 问，直接根据零点概念，由原函数式令ｌ，（ ）：０，要比将（１）的结果设为零，既方便 又安全，体现了对考生思维层次的考查．另外，文科题考查了集合表示，要注意集 合的规范写法．为了防止忘记写ｋ∈Ｚ，最后建议同学们在表示任意角的时候，最后 随时附上ｋ∈Ｚ．就像利用均值定理求最值，一定要缀上“当且仅当……”一样． ３．在“知识网络交汇点”命题分析● 随着新课程改革不断深入，知识网络的交汇点正在不断丰富，函数导数方程与 不等式、平面向量与三角函数．解析几何与平面向量、解析几何与平面几何、概率 统ｉ ｒ与ｉｔ 数原理，已毫无争议地成了新的知识网络交汇点．因而理所当然地成了高 考命题的新热点．今年高考试题注重知识之间的交叉、渗透和综合，以检验考生能 否 成一个有序的网络化知识体系．必将越来越受到命题专家们的重视和青睐．因 此，高三复习要善于挖掘新的知识网络交汇点。善于捕捉高考命题新热点． 圆 （２０１０湖南理６文７）在△ＡＢ（、中，角Ａ，１１，Ｃ所对的边长分别为“．ｂ， （ “＝＝＝ Ｔ）．“ 的大小关系不能确定 持／／（、一ｌ２（）。一一、／２“，则 Ａ．“＞６ ｌ３．“ ６ ） 命题意图：考查正余珐定理、解■角彤以及大小荚系判断等．考查知识迁移能 力和划归转化能力． 若 ［ 一１ ２（）。“一 ２ 以ｃ ＾．选Ａ． ．’ｆ？一“ ｂ 一２ａｂｃｏｓ（ ．． ．“ 一ｂ。＋２“６＞ ， 翩本题就是常见懈三角形问题，杆３据给定的条件，很容易判断首选方 法足余弦定理；水题创新之处在于命题者将三角问题与不等式交汇在一起．对于迅 速划归转化思想具有一定的层次性要求，具有一定的灵活性． 圆 （２０１０湖南理孝｝２０）已知 数ｆｃ ）＝ ＋６ ＋（（６。ｃ∈Ｒ）对任意的 ∈ Ｒ．恒有， （＿ ）≤，（ ’）． （Ｉ）证明：当。≥０时．，（ ）≤（ ４－（） ： （Ⅱ）苦对满足题设条件的任意 “，不等式 （Ｃ）一，（ｂ）≤Ｍ（ｃ！一 ）恒成立． 求Ｍ的最小值． 命题意图：考奄二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数思想等． （Ｉ）易知／ （。）一２。 ．由题设，对任意的。∈Ｒ．２。＋６≤ ！一６－ 一 ＾： ．即 ｒ 十（ —２）』＋ｃ一６≥０恒成直，所以（６—２）！一４（ｒ一６）≤０．叭而ｆ≥ －４－１． ｔ 于是（≥１．且（≥２＾／ 、ｌ一 ６ ｆ．因此２ｃ－－６一（＋（Ｃ－－６） ｏ． ｒ 一～ 预热高考， 故当 ≥Ｏ时，有（ｒ＋ｆ） 一 ，（ ）＝（２ｃ－－ｂＬｒ＋ｃ（￣、～１）≥０． 即当 ≥０时，ｌ厂（ ）≤（ ＋ｒ）！． 藩 （Ⅱ ≥｛６｛，有Ｍ≥ 一一 ｃ＋２ｂ恒痿立，令 一＿ｂ， ∈［一１，ｌ ， ｝ 一２一 ｌ＿，函数ｇ（ ）一２一 在 ∈［一１，１ ｊ上单调递增． （ｆ）≤ （１）一÷・ 从而／（ｃ．）～／（６）≤昔（ｆ！一６１）恒成立． 综上所述，Ｍ的最小值为 ． ｒ潮本题融三个二次、不等式大小比较、分式函数最值等问题于一身． 不等式与函数思想的交汇，综合性、灵活性强，对考生的迁移能力考查达到较高的 层次．在去年试卷中，１ ９题冰川融化考查中最后一问涉及构造数列，将解析几何－ｂ 数列联系到一起，理科２１题将导数与数列交汇都是去年高考的一个创新尝试． ４．主干知识与数学思想方法常考常新情况分析．． 高考命题，不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识的考查，这是当前高 考数学试题的一个特色．那些在整个高中数学知识体系中的主干，我们只须完善传 统做法，与时俱进，注入新课程标准的理念．在历年的高考试题中，不乏这方面的 精品，可以推陈出新，精讲多练，就能够取得事半功倍的效果．去年试卷突出考查 支撑学科知识体系的知识主干知识内容，如函数与导数，三角函数，概率统计，立 体几何，解析几何，数列．今年的数学试题对数学思想和方法的考查贯穿于整卷之 中，既注重全面，又突出重点，使试题处处有“思想”，而且还体现出层次性．同一个 题中涉及了不同的数学思想方法，同一种数学思想方法在不同的试题中又有不 同层次的要求。突出＿ｒ对高中数学重点知识、数学思想方法的考查，构成数学试题 的主体，其重要地位在新课程高考中没有改变，只是“常考常新”而已． 圆 （２０１０湖南理科８）用ｒａｉｎ｛“．６）表示“，ｂ两数中的最小值．若函数 １ ／（ ）一ｍ Ｉ ｒ；， 十ｌ【｝的图像关于直线 一一÷对称，则ｆ的值为 ‘ （ ） Ａ．～２ Ｂ．２ Ｃ．～１ Ｄ。１ 命题意图：考查最小值函数的性质，图像对称性，数形结合思想等． ，（ｊ，）一ｍｉｎｆ ｛， ＋，｝）一 。１【 ’ （、、 ！＿ 。‘ 图像如图１． ｊ十ｆ，ｊ＿丁１ 【Ｔ十ｔ，１ 像关于直线 ：一÷对称，所以ｆ一一１． ｃｏ． 夺题属于常见的最小值函数，在不少省市已经考过多次，解题的一 语数外 垫壹耋 般方法足在一个坐标系内同时画出两个图像．谁在下方 保留谁的痕迹。本题也不例外．一般此类题更多地考查 函数最值问题，这里考查对称性也是一个创新． 豳（２０１０湖南理科１８）如图２所示．在正方体 图１ ＡＢＣＤ—Ａ Ｂｌ（、 Ｄ一中，Ｅ是棱ＤＤｌ的中点． （１）求直线ＢＥ和平面ＡＢＢ Ａ 所成的角的正 弦值； （ＩＩ）在棱ｃ Ｄ 上是否存在一点Ｆ， 使Ｂ Ｆ∥平面Ａ ＢＥ？证明你的结论 命题意图：考查线面角计算、线面平行判定、 空间向量应用等． 设正方体的棱长为１，如图３所示，以目 ， ， 为单位正交基底建＿上空间直角坐 标系． （１）依题意，得Ｂ（１，０，０），Ｅｆ０，１，÷１， Ａ（０，０，０），Ｄ（０，、１，０），所以蔬＝ ｆ～ｊ， ，一 ）， 一（。，ｊ，。）．在正方体ＡＢｃＤ一曰 Ａ Ｂ （、 Ｄ 中，因为ＡＤｊ－平面ＡＢＥ， Ａ ，所以 是平而ＡＢＢ Ａ 的一个法向量，设直线ＢＥ和平面 ＡＢＢ Ａ ｒ所成的角为 ．！『｛＿ｊ＿ ｓｉｎ 一 图２ ｊ一幕 一亡一 ■—Ｉ ２嘈线Ｂ＿’ Ｉ 且致 “Ｅ和平半 ２ 、 面ＡＢＢｔＡ 所成的角的正弦值为÷． ０ （ｎ）Ａ１（０．０，１）， 一（一ｌ。０，１）， 髓一ｆ—１．１． ），设ｎ＝（。． ）是平 面Ａ ＢＥ的一个法向量，９］ｌＪ由， ．瓦 一一（）， 碡一｜）．得 一 ， 一一 ．则Ｈ一（２，１ 设 ’足卡奄（ Ｄ 上的点．则Ｆ（，，１，１） ㈠０ｆ■１）＿又Ｂ （１，０，１），所以 一（ｆ一 ３ １．１．０）．而ｆ； Ｆ 平面Ａ Ｂ￡．于是Ｂ Ｆ∥平面 ＢＦ。酉 ・Ｈ （ 一１，】．０ ． （２，１，２）－０ｃ．２（， １）＿＿ｌ＿－ｏ＝，二＝士矗Ｆ为Ｃ Ｄ的中点．这说明在棱（ Ｄ 上仔 存点Ｆ（（、 Ｄ 的ｒ｝】． ），使ｆ｛ Ｆ 平面Ａ ，；￡． 预热高考， 翟ｉ霜ｉ 丽圃 立体几何作为支撑数学学科的主干知识每年都是必考题型，但是每 年都不会单一地考查一个内容．２００５年考线线垂直和二面角．２００６年考线面垂直、 异面直线成角、点到面距离，２００７年考面面垂直、线面角，２００８年考面面垂直、二 面角，２００９年考查面面垂直、线面角，去年考查线面角、线面平行，还增加了开放 性探索性问题．按照课标的要求，文科卷要求明显降低，文科立体几何部分只学必 修２的两章，而且其内容较原大纲教材有大幅度删减和降低，所以文科对立体几何 的考查主要是空间中平行、垂直关系的判断与证明，表面积、体积的计算，属于解 答题中的“容易题”．理科卷突出对“空间向量法”的考查，综观各地的理科卷中的立 体几何解答题，几乎都出现线面垂直关系，意思很明显，突出对用空间向量解决立 体几何问题的考查，从本题看使用空间向量明显优于传统证明，这是理科卷考查的 新动向． 编辑／杨明珠 征稿启事 （中学生百书ｌ｝）杂志是享誉国内的知名学生期刊，是以“出版湘军”——湖南出版集团 为强劲依托的一本高起点、高品质的杂志．＜中学生百科＞杂志连续两届获得“湖南省十佳 期刊”称号：２００１年１２月进入”中国期刊方阵 ，成为“双效期刊”；２００５年荣获中国期 刊界最高奖一“第三届国家期刊奖”．《中学生百科》贴近中学生的学习和生活，获得全国 、、 广大中学生的高度认肯． 《中学生百科）从２００５年３月起扩版为旬刊，中旬刊为《中学生百科・高中学习＞．它 深度关注高中学生的成长和命运，以高考为主线，全面贴近新课标和高考大纲。主攻语数 外，通过名师和专家团的辅导和解惑，给学生提供实用的高考辅导，提高学生的高考应试、 能力，有效地提高高考成绩．现面向各教研单位、各中学广大数学教育工作者、数学爱好者 诚征稿件． 主要栏目有： 创新擂台 名师讲坛 走向联赛 漫话数学 方法技巧 预热高考 实战实例 习作园地 稿件请寄：长沙市韶山北路４４３号湖南教育出版社ｌ２楼 邮编：４１０００７ 电话：ｏ７３ｌ一８５４８６７６７ 邮箱：８０１４８３１＠ｑｑ．ｔｏｍ － 杨明珠（收）
