2012高考湖南文科数学试题及答案(高清版)

数学文史类(湖南卷)

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N等于( ) A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{1} D．{0}

2．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i

π，则tanα＝1”的逆否命题是( ) 4ππA．若，则tanα≠1 B．若，则tanα≠1

44ππC．若tanα≠1，则 D．若tanα≠1，则

443．命题“若4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

5．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，„，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是( )

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心(x,y)

C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

x2y26．已知双曲线C：221的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程

ab为( )

x2y2x2y21 B．1 A．

205520x2y2x2y21 1 D．C．

208080207．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论： ①

cc；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)． ab其中所有的正确结论的序号是( )

A．① B．①② C．②③ D．①②③ 8．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )

北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

333 B． 2233936C． D．

42A．9．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x

ππ时，(x－)f′(x)＞0，则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，222π]上的零点个数为( )

A．2 B．4 C．5 D．8

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 10．在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝________.

11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29～63℃，精确度要求±1℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．

(二)必做题(12～16题)

12．不等式x2－5x＋6≤0的解集为________． 13．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.

21(注：方差s[x1xx2x…xnx]，其中x为x1，x2，„，xn的平

n2

22均数)

14．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________.

15．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则APAC________.

16．对于n∈N，将n表示为n＝ak³2＋ak－1³2＋„＋a1³21＋a0³20，当i＝k时，ai＝1，当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，„，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0.

(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；

(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 一次购 1至45至至 13至 17件 物量 件 件 12件 16件 及以上 顾客 x 30 25 y 10 数(人) 结算时间 1 1.5 2 2.5 3 (分钟/人) *

k

k－1

北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1))确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率． (注：将频率视为概率)

18．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，ω＞0，0＜＜π)的部分图象如图所示． 2(1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f(x－

ππ)－f(x＋)的单调递增区间． 121219．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥

BC，AC⊥BD．

(1)证明：BD⊥PC；

(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．

(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；

(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．

21．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为x2＋y2－4x＋2＝0的圆心．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为

1的椭圆E的一个焦点为圆C：21的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆2C相切时，求P的坐标．

22．已知函数f(x)＝ex－ax1，其中a＞0.

(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；

(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．

1． B 由N＝{x|x＝x}，知x＝0或x＝1. 又∵M＝{－1,0,1}，∴M∩N＝{0,1}．

2

北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

2．A z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，∴z1i. 3． C 命题“若ππ，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则”． 444． D 若为D项，则主视图如图所示，故不可能是D项．

5． D D项中，若该大学某女生身高为170 cm，则其体重约为：0.85³170－85.71＝ 58．79(kg)．故D项不正确． 6． A 由2c＝10，得c＝5， ∵点P(2,1)在直线y∴1bx上， a2b.又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5. ax2y21. 故C的方程为

205ccc(ba)7． D ①，

ababc(ba)0. ∵a＞b＞1，c＜0，∴

abcc即0.故①正确． ab②考察函数y＝xc(c＜0)，可知为单调减函数． 又∵a＞b＞1，∴ac＜bc.故②正确．

③∵a＞b＞1，c＜0，∴logb(a－c)＞0，loga(b－c)＞0，

logb(ac)lg(ac)lga. loga(bc)lgblg(bc)lg(ac)lga1，1， ∵

lg(bc)lgblg(ac)lga1，故③正确． ∴

lgblg(bc)∴

8． B 在△ABC中，由余弦定理可知：

AC=AB+BC－2AB²BCcosB， 即7=AB2+4－2³2³AB³

222

1. 2整理得AB2－2AB－3=0. 解得AB=－1(舍去)或AB=3.

故BC边上的高AD=AB²sinB=3³sin60°=

33. 2北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

9． B 由x∈(0，π)且x当x∈(0，当x∈(

ππ时，(x－)f′(x)＞0可知： 22π)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 2π，π)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 2又∵x∈[0，π]时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，可画出f(x)的草图为：

对于y＝f(x)－sinx的零点，可在同一坐标系中再作出y＝sinx的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.

10．答案：

2 2解析：把曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1化成直角坐标方程，得2x＋y＝1； 把曲线C2：ρ＝a(a＞0)化成直角坐标方程，得x2＋y2＝a2. ∵C1与C2的一个交点在极轴上， ∴2x＋y＝1与x轴交点(即(2，0)在C2上， 222

)＋0＝a2. 22. 2又∵a＞0，∴a11．答案：7

解析：由分数法计算可知最少实数次数为7. 12．答案：{x|2≤x≤3}

解析：∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0.∴2≤x≤3. 13．答案：6.8

8910131511，

5(811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)226.8. ∴s5解析：∵x14．答案：4

解析：i＝1时，x＝4.5－1＝3.5； i＝1＋1＝2时，x＝3.5－1＝2.5； i＝2＋1＝3时，x＝2.5－1＝1.5； i＝3＋1＝4时，x＝1.5－1＝0.5； 0．5＜1，输出i＝4. 15．答案：18

解析：∵过C作BD的平行线，延长AP交该平行线于点Q， 则AQ＝2AP＝6.

AC|cosAP,AC|AP||AQ|3618. 故APAC|AP||北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

16．答案：(1)3 (2)2 解析：(1)由题意知2＝1³2，b2＝1；4＝1³22，b4＝1；6＝1³22＋1³2，b6＝0；8＝1³23，b8＝1，

所以b2＋b4＋b6＋b8＝3.

－

(2)①若n为偶数，且bn＝0，则n＝ak³2k＋ak－1³2k1＋„＋a1³21＋a0³20中a0＝0，且ak，ak－1，„a1中有偶数个1，

－

n＋1＝ak³2k＋ak－1³2k1＋„＋a1³21＋1³20，bn＋1＝1

－

n＋2＝am′ ³2m＋am－1′³2m1＋„＋a1′ ³21＋0³20， 若bn＋2＝0，此时cm＝1；

－

若bn＋2＝1，则n＋3＝am ′³2m＋am－1′³2m1＋„＋a1′ ³21＋1³20， 则bn＋3＝0，此时cm＝2.

②若n为奇数，n＝ak³2k＋„＋1³20，且bn＝0， 则n＋1＝am′ ³2m＋„＋a1′ ³21＋0³20， 若bn＋1＝0，此时cm＝0.

若bn＋1＝1，则n＋2＝am′³2m＋„＋a1′ ³21＋1³20，bn＋2＝0. 此时，cm＝1.

综上所述，cm的最大值为2.

(注：也可列举连续的几项，作出猜测)

17．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

1151.5302252.5203101.9(分钟)．

100(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得

P(A1)153303251，P(A3). ，P(A2)10020100101004因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，

所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3) ＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝

3317. 2010410故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为18．解：(1)由题设图象知，周期T2(所以7. 1011π5π)π， 12122π2， T5π因为点(，0)在函数图象上，

125π5π所以Asin(2³＋φ)＝0，即sin(＋φ)＝0.

126北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

π5π5π4π，所以，

26635ππ从而＋φ＝π，即.

66

又因为0＜φ＜

又点(0,1)在函数图象上， 所以Asinπ1，得A＝2. 6π)． 6故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋(2)g(x)2sin[2(xππππ)]2sin[2(x)] 126126π＝2sin2x－2sin(2x＋)

313＝2sin2x2(sin2xcos2x)

22＝sin2x－3cos2x

π＝2sin(2x－)．

3πππ由2kπ2x2kπ，

232π5πxkπ得kπ，k∈Z， 1212π5π所以函数g(x)的单调递增区间是kπ,kπ，k∈Z. 121219．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD， 所以PA⊥BD．

又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC， 而PC平面PAC，所以BD⊥PC．

(2)设AC和BD相交于点O，连结PO，由(1)知，BD⊥平面PAC， 所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角， 从而∠DPO＝30°.

由BD⊥平面PAC，PO平面PAC知，BD⊥PO. 在Rt△POD中，由∠DPO＝30°得PD＝2OD．

因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD， 所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形， 从而梯形ABCD的高为

111AD＋BC＝³(4＋2)＝3， 2221于是梯形ABCD的面积S＝³(4＋2)³3＝9.

2北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

在等腰直角三角形AOD中，OD所以PD＝2OD＝42，PA故四棱锥P－ABCD的体积为 V＝

2AD22， 2PD2AD24.

11³S³PA＝³9³4＝12. 3320．解：(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，

35a1－d＝4 500－d. 223an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.

2333(2)由(1)得an＝an－1－d＝(an－2－d)－d

22233＝()2an－2－d－d＝„

223－333－

＝()n1a1－d[1＋＋()2＋„＋()n2]．

22223－3－

整理得an＝()n1(3 000－d)－2d[()n1－1]

223－

＝()n1(3 000－3d)＋2d.

23－

由题意，am＝4 000，即()m1(3 000－3d)＋2d＝4 000.

23[()m2]10001000(3m2m1)2解得d， mm3m32()121000(3m2m1)故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金

3m2ma2＝a1(1＋50%)－d＝

为4 000万元．

21．解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2， 故圆C的圆心为点(2,0)．

x2y2从而可设椭圆E的方程为221(a＞b＞0)，

ab其焦距为2c. 由题设知c＝2，e所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.

c1， a2x2y21. 故椭圆E的方程为

1612(2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2.

则l1，l2的方程分别为l1：y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2(x－x0)，且k1k21. 2北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

由l1与圆C：(x－2)2＋y2＝2相切得|2k1y0k1x0|k1212，

即[(2－x0)2－2]k12＋2(2－x0)y0k1＋y02－2＝0.

同理可得[(2－x0)2－2]k22＋2(2－x0)y0k2＋y02－2＝0.

从而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y02－2＝0的两个实根．

(2x0)220,于是①

0,y0221且k1k2. (2x0)222x02y021,1612由 2y0212(2x0)2218. 51857由x0＝－2得y0＝±3；由x0得y0，

55得5x02－8x0－36＝0，解得x0＝－2或x0它们均满足①式，

故点P的坐标为(－2,3)，故(－2，－3)，或(22．解：(1)f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna.

当x＜lna时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞lna时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

故当x＝lna时，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna，于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－alna≥1.①

令g(t)＝t－tlnt，则g′(t)＝－lnt.

当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减． 故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1. 因此，当且仅当a＝1时，①式成立． 综上所述，a的取值集合为{1}．

18571857,)，或(,)． 5555f(x2)f(x1)ex2ex1(2)由题意知，ka.

x2x1x2x1ex2ex1令φ(x)＝f′(x)－k＝e－，

x2x1x

ex1则φ(x1)＝[ex2－x1－(x2－x1)－1]，

x2x1ex2

φ(x2)＝[ex1－x2－(x1－x2)－1]，

x2x1

令F(t)＝et－t－1，则F′(t)＝et－1. 当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减； 当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增．

故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.

从而ex2－x1－(x2－x1)－1＞0，ex1－x2－(x1－x2)－1＞0.

北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

ex1ex2又0，0， x2x1x2x1所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0. 因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立．

北京天梯志鸿教育科技有限责任公司