黑龙江省大庆市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

高一数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．将正确答案涂在机读卡上相应的位置．

1．若a＞b＞0，则下列不等关系中不一定成立的是（ ） A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．a2

＞b2

D．

2．等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=（ ） A．9

B．12 C．15 D．16

3．在△ABC中，若

，则A等于（ ）

A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150° 4．下列各函数中，最小值为2的是（ ） A．

B．

，

C． D．

5．等比数列{an}中，a1+a4+a7=3，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（ ） A．39 B．21 C．39或21 D．21或36

6．一个体积为8cm3

的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ） A．8πcm2

B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2

7．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=

，那么原△ABC是一个（

A．等边三角形 B．直角三角形

C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形

8．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（ ）

）A．12 B． C．28 D．

2

＜x＜

}，则a+b的值为（ ）

9．若不等式ax+bx+2＞0的解集是{x|﹣A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14

10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（ ）

A．不存在 B．有1条 C．有2条 D．有无数条

11．目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（ ）

A．zmax=12，zmin=3 B．zmax=12，z无最小值

C．zmin=3，z无最大值 D．z既无最大值，也无最小值

12．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a、1﹣b、c成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则b的取值范围是（ ） A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在机读卡上相应的位置． 13．如果a∩b=M，a∥平面β，则b与β的位置关系是 ． 14．数列{an}的前n项的和Sn=3n+n+1，则此数列的通项公式 ． 15．如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为形内切，则侧视图的面积为

的正三角形，且圆与三角

2

B． C． D．

16．已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式

恒成立的实数m的范围是 ．

三、解答题：本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解不等式组：

18．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．

19．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．

．

20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．

21．在如图（1）的平面图形中，ABCD为正方形，CDP为等腰直角三角形，E、F、G分别是PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD如图（2）． 求证：在四棱锥P﹣ABCD中，AP∥平面EFG．

22．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N），等差数列{bn}中bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．

*

黑龙江省大庆市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．将正确答案涂在机读卡上相应的位置．

1．若a＞b＞0，则下列不等关系中不一定成立的是（ ） A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．a＞b 【考点】R3：不等式的基本性质．

【分析】利用不等式的基本性质可得，当a＞b＞0时，a+c＞b+c，a＞b，ac＞bc；c=0时，ac=bc；c＜0时，ac＜bc，由此可得结论． 【解答】解：利用不等式的基本性质可得： ∵a＞b＞0，∴a+c＞b+c，a2＞b2，

，∴A，C，D正确

2

2

2

2

D．

；c＞0时，

∵a＞b＞0，∴c＞0时，ac＞bc；c=0时，ac=bc；c＜0时，ac＜bc，故B错误 故选B．

2．等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=（ ） A．9

B．12 C．15 D．16

【考点】8F：等差数列的性质．

【分析】利用等差数列通项性质可得：a2+a11=a4+a9=a6+a7．即可得出． 【解答】解：∵{an} 是等差数列，∴a2+a11=a4+a9=a6+a7． ∵a2+a4+a9+a11=32，∴a6+a7=16． 故选D．

3．在△ABC中，若

，则A等于（ ）

A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150° 【考点】HP：正弦定理．

【分析】直接利用正弦定理，转化求解即可． 【解答】解：在△ABC中，若由于sinB＞0， 可得sinA=

，

b=2asinB，可得

sinB=2sinAsinB，

可得：A=60°或120°． 故选：C．

4．下列各函数中，最小值为2的是（ ） A．

B．

，

C． D．

【考点】7F：基本不等式．

【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：对于A．∵，∴x=1时取等号．

因为只有一个正确，故选A．

5．等比数列{an}中，a1+a4+a7=3，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（ ）A．39 B．21 C．39或21 D．21或36 【考点】：等比数列的前n项和． 【分析】根据等比数列的性质即可求出

【解答】解：等比数列{an}中，a1+a4+a7=3，a3+a6+a9=27， ∴a2+a5+a8=9或a2+a5+a8=﹣9， ∴S9=3+9+27=39或S9=3﹣9+27=21， 故选：C．

6．一个体积为8cm3

的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ） A．8πcm2

B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2

【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．

【分析】先根据正方体的顶点都在球面上，求出球的半径，然后求出球的表面积． 【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，体对角线为=2

即为球的直径，所以半径为，表面积为4π

2

=12π．

故选B．

=2，当且仅当

，7．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（ ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【考点】LB：平面图形的直观图． 【分析】由图形和A′O′=AO=

通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且

，故三角形为正三角形．

【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC， ∵A′O′=∴AO=

∵B′O′=C′O′=1∴BC=2 ∴AB=AC=2

∴△ABC为正三角形． 故选A

8．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（ ） A．12 B．

C．28 D．

【考点】HX：解三角形；HQ：正弦定理的应用；HR：余弦定理． 【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=sinC=

，代入△ABC的面积公式进行运算．

，再利用同角三角函数的基本关系求得

【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8， 由余弦定理可得=49+9﹣2×7×3 cosC， ∴cosC=

，

∴sinC=∴S△ABC=故选D．

，

=

，

9．若不等式ax+bx+2＞0的解集是{x|﹣A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14 【考点】75：一元二次不等式的应用．

2

＜x＜}，则a+b的值为（ ）

【分析】将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，从而求出所求． 【解答】解：∵不等式ax+bx+2＞0的解集为（﹣∴﹣

，

为方程ax2+bx+2=0的两个根

2

，）

∴根据韦达定理： ﹣﹣

+×

=﹣=

① ②

由①②解得：

∴a+b=﹣14 故选：B．

10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（ ）

A．不存在 B．有1条 C．有2条 D．有无数条 【考点】LJ：平面的基本性质及推论．

【分析】由已知中E，F分别为棱AB，CC1的中点，结合正方体的结构特征易得平面ADD1A1与平面D1EF相交，由公理3，可得两个平面必有交线l，由线面平行的判定定理在平面ADD1A1内，只要与l平行的直线均满足条件，进而得到答案．

【解答】解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1， 由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，

在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内， 由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行， 故选：D

11．目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（ ）

A．zmax=12，zmin=3 B．zmax=12，z无最小值

C．zmin=3，z无最大值 D．z既无最大值，也无最小值 【考点】7C：简单线性规划．

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值情况即可． 【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 由由

得A（5，2）， 得B（1，1）．

当直线z=2x+y过点A（5，2）时，z最大是12， 当直线z=2x+y过点B（1，1）时，z最小是3， 但可行域不包括A点，故取不到最大值． 故选C．

12．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a、1﹣b、c成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则b的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．

【分析】分别运用等差数列和等比数列的中项的性质，结合正弦定理和基本不等式，可得b的不等式，解得b的范围．

【解答】解：a、1﹣b、c成等差数列， 可得a+c=2（1﹣b），

由sinA、sinB、sinC成等比数列， 可得sin2B=sinAsinC， 运用正弦定理可得sinA=即为b=ac， 由a+c≥22（1﹣b）≥2b， 则0＜b≤故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在机读卡上相应的位置． 13．如果a∩b=M，a∥平面β，则b与β的位置关系是 平行或相交 ． 【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．

．

可得

2

，sinB=，sinC=，

【分析】对a，b确定的平面α与β的关系进行讨论得出结论． 【解答】解：设a，b确定的平面为α， 若α∥β，则b∥β，

若α与β相交，则b与β相交， 故答案为：平行或相交．

14．数列{an}的前

n

项的和

．

【考点】8H：数列递推式．

【分析】首先根据Sn=3n2+n+1求出a1的值，然后根据an=Sn﹣Sn﹣1求出当n≥时数列的递推关系式，最后计算a1是否满足该关系式． 【解答】解：当n=1时，a1=5，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+n+1﹣3（n﹣1）﹣n+1﹣1=6n﹣2， 故数列的通项公式为

，

2

2

Sn=3n+n+1，则此数列的通项公式

2

故答案为

．

15．如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为形内切，则侧视图的面积为 6+π

的正三角形，且圆与三角

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由视图知，此几何体的侧视图上部为一个圆，下为一直角边为2的直角三角形，故由题设条件求出圆的半径及别一直角边的长度即可求出侧视图的面积． 【解答】解：由题设条件，俯视图为边长为俯视图中三角形的高为

=

又此三角形的面积又可表示为表面积为π

侧视图下部是一个矩形由图示及求解知，此两边长分别为为3与2，故其面积为6 由上计算知侧视图的面积为6+π 故答案为：6+π．

16．已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式

．

【考点】7F：基本不等式． 【分析】由题意将x+y=4代入据不等式恒成立求出m的范围．

【解答】解：由题意知两个正数x，y满足x+y=4， 则∴∵不等式故答案为：

三、解答题：本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解不等式组：

．

．

=

的最小值是

， 恒成立，∴

．

=

+

+

≥

+1=

，当

=

时取等号；

进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根

恒成立的实数m的范围是

，此三角形的周长为

，

的正三角形，且圆与三角形内切知

=3，故此三角形的面积为

，故可解得内切圆的半径为1，则侧视图上部圆的

【考点】74：一元二次不等式的解法．

【分析】利用一元二次不等式的解法分别解出4﹣x2≤0，2x2﹣7x﹣15＜0，求出其交集即可． 【解答】解：由4﹣x2≤0，解得x≥2或x≤﹣2；由2x2﹣7x﹣15＜0，解得

．

∴不等式组：

∴不等式组的解集为{x|2≤x＜5}．

⇔，解得2≤x＜5．

18．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C． 【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=得sinA=2sinC，联立可求C

【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C） ∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1 ∴sinAsinC=

①

，由a=2c及正弦定理可

由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC② ①②联立可得，∵0＜C＜π ∴sinC=

a=2c即a＞c

19．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC，求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．

【分析】连接A1C1，BC1，则AD1∥BC1，故∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角．在△A1BC1中使用余弦定理求出cos∠A1BC1即可得出结论． 【解答】解：连接A1C1，BC1，则AD1∥BC1， ∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角或其补角． 设AB=BC=1，则AA1=2， ∴A1C1=

，A1B=BC1=

，

=

．

．

在△A1BC1中，由余弦定理得：cos∠A1BC1=∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

20．已知函数f（x）=x﹣2x﹣8，若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．

【考点】3R：函数恒成立问题．

【分析】根据二次函数的图象和性质，将不等式恒成立问题进行转化，利用基本不等式的性质，即可得到结论．

【解答】解：∵f（x）=x﹣2x﹣8．当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15恒成立， ∴x﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15，即x﹣4x+7≥m（x﹣1）． ∴对一切x＞2，均有不等式而

=（x﹣1）+

≥m成立． ﹣2≥

，

2

2

22

（当x=3时等号成立）．

∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．

21．在如图（1）的平面图形中，ABCD为正方形，CDP为等腰直角三角形，E、F、G分别是PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD如图（2）． 求证：在四棱锥P﹣ABCD中，AP∥平面EFG．

【考点】LS：直线与平面平行的判定．

【分析】连接E、F，连接E、G，可得EF∥平面PAB．EG∥平面PAB．即可证平面PAB∥平面EFG 【解答】证明：连接E、F，连接E、G，在四棱锥PABCD中，E，F分别为PC，PD的中点， ∴EF∥CD．∵AB∥CD，∴EF∥AB．

∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB． 同理EG∥平面PAB．又EF∩EG=E， ∴平面PAB∥平面EFG．又AP⊂平面PAB， ∴AP∥平面EFG．

22．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N），等差数列{bn}中bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．

【考点】8E：数列的求和；81：数列的概念及简单表示法．

【分析】本题是数列中的一道综合题，（1）的求解要利用恒等式an+1=2Sn+1构造出an=2Sn﹣1+1两者作差得出

*

an+1=3an，此处是的难点，数列的{bn}的求解根据题意列出方程求d，即可， （II）中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用． 【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）， ∴an=2Sn﹣1+1（n∈N，n＞1）， ∴an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）， ∴an+1﹣an=2an，

∴an+1=3an（n∈N*，n＞1） 而a2=2a1+1=3=3a1， ∴an+1=3an（n∈N*）

∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴an=3

n﹣1

*

（n∈N）

*

∴a1=1，a2=3，a3=9， 在等差数列{bn}中， ∵b1+b2+b3=15， ∴b2=5．

又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d， ∴（1+5﹣d）（9+5+d）= 解得d=﹣10，或d=2， ∵bn＞0（n∈N*）， ∴舍去d=﹣10，取d=2， ∴b1=3，

∴bn=2n+1（n∈N），

（Ⅱ）由（Ⅰ）知Tn=3×1+5×3+7×3++（2n﹣1）33Tn=3×3+5×3+7×3++（2n﹣1）3

2

2

3

n﹣1

n

2

n﹣2

*

+（2n+1）3

n﹣1

①

+（2n+1）3②

3

n﹣1

①﹣②得﹣2Tn=3×1+2×3+2×3+2×3++2×3=3+2（3+3+3++3=

2

3

n﹣1

﹣（2n+1）3

n

）﹣（2n+1）3

n

，

∴Tn=n•3n