2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 石河子大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘树俊 2. 李文键 3. 黄亮亮 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数学建模指导组

日期： 2012年 9 月 10 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

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B题 太阳能小屋的设计

摘要太阳能作为迄今人类所认识的最清洁的可再生能源，其与建筑一体化将在建筑节能中起到十分重要的作用。房屋在建筑外围结构中所接受的日照时间最长．接受的太阳辐射量也最大，具有利用太阳辐射的优越条件，我们根据光伏电池组件的分组及逆变器选择的要求，首先运用excel对山西大同市典型气象年逐时参数进行平均化处理，把每个季度各个小时的平均值当做一天来处理。然后计算出小屋各个面可安装光伏电池板和逆变器的有效面积，根据有效面积，建立模型一：多目标规划数学模型，以用电需求和各个面可铺设的有效面积为决策变量，以铺设光伏电池板和逆变器的成本最低和转换效率最高为目标函数，从而确定出所需光伏电池的个数，再根据逆变器的最大输入电压和功率容量及所需光伏电池的个数确定出光伏电池组件的串并联形式，然后根据组件的面积确定每个面组件的铺设情况；我们根据太阳光对地面的照射情况，及地面电池板对太阳光的转换效率，建立模型二：太阳能电板上接收太阳辐射能的模型和最佳倾角模型，运用附件中所给大同市的经、纬度并查出其平均海拔及所给公式和我们建立的数学模型，最后根据求出的太阳能电池板上接收的太阳辐射能和一年中的最佳倾角，确定出架设电池板组件的朝向和其与水平面的夹角，再运用模型一对电池板组件进行架设，即得出最佳架设方案；我们运用AUTO-CAD制图软件做出符合题目要求的小房子，然后运用前面的模型铺设和架设各种太阳能电池板组件。

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关键字： 多目标规划 太阳辐射量 目标函数 最佳倾角 一、问题重述

在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。

问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。

问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。

问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。 二、问题分析

太阳能光伏组件并网发电系统是通过把太阳能转化为电能，不经过蓄电池储能，直接通过逆变器，把直流电转化成交流电送上电网。

对于问题一我们根据山西大同的气象数据，在仅考虑贴附安装方式的情况下，根据光伏组件的太阳能转换效率，将整个小屋近似成一个平面，

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经分析得出，每一种电池的性价比决定了我们应该选择哪一种电池，然后根据我们所选择的电池的开路电压和成本及逆变器的额定电压和额定功率，来确定应该选择哪种逆变器来构成光伏电池组件。最后根据小屋各个面的太阳总辐射强度，确定出最优方案即应该给那个面上贴那种电池板组件最经济。

对于第二个问题我们通过考虑电池组件的朝向与倾角，就是要求在一天中要求太阳直射光伏电池板的时间最长，考虑太阳的自转，太阳每天从东边升起，地球在绕太阳自转的时候，太阳能小屋上的电池板接收到的光照量在时刻变化着，我们要使小屋上架设的光伏组件的发电量最大且成本最合理，就需要选择光伏电池板的合理朝向及光伏电池板的合理架设角度，这样就需要我们建立光伏电池板表面太阳辐射能模型和最佳倾角模型，求解最佳倾角，然后按模型一的结论架设光伏电池组件。 三、模型假设

1.假设小屋的建立是南北走向的。 2.假设可以用一天来代替一个季度

3.假设所有光伏组件在其工作期内没有发生毁坏的现象 4.假设所有光伏电池在其阙值内都能正常工作 5.假设小屋可一直存在至少三十五年 6.假设我们所选的一天是晴天 7.所有的电压，电流都符合要求

8.小屋所接受的光照是连续均匀分布的（计算时用运其平均值） 9.每一天都有一个小时各个面的辐射强度均小于80W/平方米

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10.所有的电池组自发输出电压

11.逆变器的占地面积与小尺寸的电池板面积相等（即C6,C7,C8三种型号） 12.每种类型不同型号的电池其转化效率各自相等

13.从统计开始计时，以后的每年太阳的辐射强度都是相等的 14.贴附安装时，忽略光照由于斜射的损耗 四、符号说明及模型的建立 一）、符号说明 利用率 地形接受日序 组件转换效率  系统效率 时间 太阳时 赤纬角 光伏板倾角  高度 辐射量 E 辐射量 l q n 太阳方位角  t   时角 太阳高度角 纬度 时刻 太阳辐射常数  太阳入射角  日辐射总量 Q 季节序数 It  h T S0 i

二） 、模型一的建立

我们利用贪心算法，以最大发电量为最终目标。在开始的情况下首选发电效率最高的来铺在墙面上，只有当阳光的强度，和尺寸等因素的制约下不能用最高效率的时候我们就选择效率次之并且适合的，以此类推进而得到每个面铺设太阳能电池面板的方案。在模型修改时在考虑单位发电量的费用的问题。

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首先根据光伏电池组件启动发电时其表面所应接受到的最低辐射量限值，单晶硅和多晶硅电池启动发电的表面总辐射量≥80W/m2、薄膜电池表面总辐射量≥30W/m2进行判断；这样可以自然地把阳光强度分为3个等级:30～80W/㎡、80～200Ｗ/㎡和200W/㎡。

分析3种类型的光伏电池的效率课得到：A与B种电池效率相差不大（A的略高于B的效率）但是A的发电性能有些辐照强度低于200W/㎡时电池转换效率＜转换效率的5% 这样在80到200W/㎡的阳光强度之间我们就要考虑何时用A或B了；同时也发现C类型电池板的效率比较低，但是它在较低的光照强度下就可以发电，这个特性使它适用于长时间光照强度比较弱的墙面。

然后还要对天气数据进行处理，得出光照的结果（附件1对处理好的数据需要贴出来）那么下面我们就来分析在什么情况下使用什么电池板：

在光照强度都大于200W/㎡时（比如顶面的），我们肯定会选择A类型的切效率最高的进行铺设，这样才能使得发电量；

在某些墙有时候有效光照强度在80～200W/㎡时（比如题中的小屋南面），我们要做一些先行规划的判断。

先设置一些数据常量：Q1：有效光照强度在80～200W/㎡时的强度； Q2：有效光照强度在200W/㎡及以上时的强度； Q3：有效光照强度在30～80W/㎡；

t1：有效光照强度80～200W/㎡范围时的时间； t2：有效光照强度200W/㎡及以上时的时间； t3：有效光照强度在30～80W/㎡；

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ηa：A类型电池板的转化效率； ηb：B类型电池板的转化效率； ηc：C类型电池板的转化效率； S：为墙面的可利用面积； Sa：为每块A类型电池的面积； Sb：为每块B类型电池的面积； Sc：为每块C类型电池的面积； M：墙面上铺设A类型电池板的个数； N：墙面上铺设B类型电池板的个数；

P：墙面上铺设C类型电池板个数。

则目标函数发电量

W1= (Q1×t1×5%＋Q2×t2)×ηa×M×Sa＋（Q1×t1＋Q2×t2）×ηb×N×Sb

其中只有M和N是未知数，因为我们追求的是发电量最大，所以每种类型选型号时都尽量选择ηa和ηb最高的来进行计算。

则约束条件有 M≥0； N≥0； 0≤M×Sa≤S； 0≤N×Sb≤S； 0≤M×Sa＋N×Sb≤S。 建立线性目标阐述

要产生最多电量和最大效益，利用排样的模型使面积排版到最大Smax。应为串联的电池组最多，逆变器的转换率i选择使优。

有已知选定的每个面的逆变器电压，W总，I总。而相应的每块电池串联的电池为 wi，Ii设每个面有n快相同型号的电池，选择逆变器过程如下：

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W总=nwi （1） I总=I1I2I3In （2） nwiW （3） I总I （4） 对于屋顶铺设选择逆变器各面的个数种类的过程为：以下以下给出详细的顶面的计算过程，其他面一样的算法，不使罗嗦，累赘！

解题过程：

1、逆变器允许输入电压范围250～800 (V)； 2、光伏电池A3开路电压46.1(V)；

3、一个逆变器允许串联的最多光伏电池A3个数为：

80046.117.353 个；

4、为了不是逆变器的浪费尽量满足则：433=14，则分别三个串联的光伏电池为：

14、14、15；

5、从而确定相同电压范围内效率最高，确定选用三个型号为SN17的逆变器。

利用此方法来来确定其它面的相应数据，得出以下表格：

方向 项目 电池型号 顶视面 西立面 南立面 东立面 北立面

对应电数目 43 5 5 2 3 3 56 2 3 2 23 51 3 10

逆变器型号 SN17 SN12 SN17 SN5 SN11 SN11 SN17 SN5 SN17 SN11 SN11 对应逆变器数目 3 1 1 2 1 2 1 2 5 3 3 A3 A2 C1 B2 A3 C2 C7 B3 C1 B2 C1 C7 C10

三）、模型二的建立

通常情况下，固定式太阳能光伏电池板都是与水平面成一定角度放置，以求获得最大的太阳辐射量。不同的倾角，光伏板上接收到的太阳辐射量差别很大。所以选择最佳的倾角是太阳能工程设计的关键之一。我们借鉴国内外太阳能辐射计算的经验公式，建立倾斜放置的太阳能电板上接收太阳辐射能的模型，并建立最佳倾角模型对大同地区固定式太阳能光伏电池板的最佳倾角进行了计算分析及优化。

给定某地的地理参数（包括纬度、地形高度l等）以及中间参数（日序n、光伏电池板的倾角、方位角和时刻T），可以得到瞬时时刻太阳光伏电池板表面的辐射量It和日出、日落时刻（Tsr,Tss）积分得到某一天的日辐射总量QNN,,再将QNN,关于N累加得到太阳能光伏表面的年累计辐射量Qy。 4．11大气层外的太阳辐射强度（I0）

当太阳光垂直入射在大气上界时 ，其太阳辐射强度

nIoSo10.033cos2 (1) 365式中：S0为太阳辐射常数，是地球大气上界垂直于太阳直射方向单位面积上的太阳辐射通量，取S0＝1367 W／m２ 4.12 太阳赤纬角和时角

日地中心连线与赤道的夹角称为赤纬角，赤道以北为正、南为负，变化范围为 -23.5°～+23.5°，可由Cooper近似公式得到

2284n23.45sin度, (2) 365 11

时角是以正午12点为0度开始算，每一小时为15度，上午为负下午为正，即10点和14点分别为-30度和30度。因此，时角的计算公式为

 (3) 15t12度,s4.13 日出、日落时刻（Tsr,Tss）

日出、日落时刻，水平面上太阳高度角为 ０，即

sinsinsincoscoscos, （4）

求解（４）式，得

arccostantan （5）

在北半球，纬度为φ、朝向正南、与水平面成β倾斜角的太阳能电池板上，太阳光的入射角 θ与纬度为（φ－β）的水平面上太阳光入射角是相等的 ，即

cossin()sincos()coscos （6）

式中 ω为倾斜面上日出、日落时角，

arccostantan （7） 综合考虑（4）至（7），得到

minarccos(tantan) （8）

arccos(tan()tan)由此得到倾斜面上日出日落时刻 ：

） （9） 15） （10） Tss＝12（1+ 15Tsr＝12（1-

4.2倾斜放置的太阳能光伏板上太阳总辐射能的计算

某一时刻，倾斜放置的太阳能光伏板上接收的总辐射能（It）主要由直接辐射（Ib）、散射辐射（Id）和反射辐射（Ir）三部分组成，即

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It＝IbIdIr （11）

由于太阳能单晶硅电池光谱响应主要集中在短波区 ，而地表的反射辐射主要以长波辐射为主，所以很大一部分的地面反射辐射对太阳能硅电池来说是无效的。因此，在以下讨论中，将上式倾斜放置太阳能光伏电池板的瞬时总辐射能改写为

It＝IbId （12）

上式中，电池板上太阳瞬时直接辐射能

IbIobcos （13）

电池板上瞬时太阳散射辐射

cos2IdIod （14）

2sin１天内 ，电池板表面接收的总辐射能

QNItdTQBQD （15）

TssTsr式中：QB为日直接辐射能，QBTIbdT;

ssTsr QD为日散射辐射能，QDTIddT.

srTss一年内，电池板表面接受的总辐射能

QyQN (16)

N4.3 最佳倾角设计

在理论上，给定地理纬度、地形高度等参数以后，倾角为的太阳能光伏电池板表面１年内接收的总辐射Qy是一个关于变量的函数Qy（），对Qy（）关于变量求导并取值为0，即

dQyd0 （17）

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求解方程（17），即可得到年最佳倾角y。 五、模型的求解与结果分析 5.1模型一求解

然后在每个不同的平面根据实际情况带入不同的数据选择电池板利用枚举法进行安装设计；

在某些墙有时候有效光照强度在30～80W/㎡时（比如题中的小屋北面），显然这类型的用只用C类型的是最为合适的；

当有某些面的光照强一直处于30W/㎡时无论用任何一类电池板都不会产生电能。所以这样的面就不铺太阳能了（题目中也没有这样的面）；

然后最麻烦的就是有些面的太阳光强的跨度比较大在每天有日照大于30W/㎡的时候内光强既有30～80W/㎡又有80～200Ｗ/㎡和200W/㎡以上的（比如题中的东面和西面）。那这样子我们就有可能3大类型的电池板都会用到。那么我们要继续用线性规划的来求解每种类型的电池板用多少。

目标函数发电量W2= (Q1×t1×5%＋Q2×t2)×ηa×M×Sa＋（Q1×t1+Q2×t2）×ηb×N×Sb+(Q1×t1+Q2×t2+Q3×t3)×ηc×P×Sc。 其中只有M、N和P是未知数，我们追求的是发电量最大，所以每种类型选型号时都尽量选择ηa、ηb和ηc最高的来进行计算。

则有约束条件为：M≥0； N≥0； P≥0； 0≤M×Sa≤S； 0≤N×Sb≤S； 0≤P×Sc≤S； 0≤M×Sa＋N×Sb＋P×Sc≤S 然后再对所选的类型与型号进行排序铺设。

现在每种光照情况都已经考虑清楚，下面就是根据模型进行电池板铺设的

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每个墙面的效果图。

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下面是太阳能电池板与逆变器构成组件的电路图：

西面所用电路图：

北面所用电路图：

顶面所用电路图：

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东面所用电路图：

南面所用电路图：

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5.2 模型二求解

为简化计算，用Matlab编程将量化成 ０～90°，增量为１°，利用辛普森法计算在各个值下的Qy（）的值，从中挑选使Qy（）最大的为y的近似值，这样的近似取值已基本满足工程计算的精度要求。 5.21 年最佳倾角设计

以大同市为例 ，当地的地理纬度φ＝ 40.1°，海拔高度h＝ 1425.0m。由该方法计算得到的年最佳倾角＝30.2°。图 ３显示＝０°，27°，30.2°时太阳能光伏板上接收太阳辐射能的情况。同水平放置的太阳能电板相比，＝30.2°的太阳能电板表面接收的年辐射量可以提高８％ 左右。

图1 不同倾角下的太阳辐射能

5.22 季节最佳倾角设计

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以季节为单位，将太阳能电板表面接收的年辐射能分成 ４ 个部分，即

QsiQNi(i1,2,3,4) （18）

Ni对Qsi关于变量β求导并取值为 0 ，即

dQsi0 （19） d可求得季节最佳倾角。上式中i为季节序数，Qsi 是季节辐射总量。春、夏、秋、冬四季的划分分别以春分、夏至、秋分、冬至为中点，前后各延长45d，即N１：第35天 — 第125天，N２：第126天 — 第 216 天，N３：第 217天 — 第 307天，N４：第 308 天 — 第365天和第１天 — 第 34 天。图 2为在各最佳季节倾角下，一年内太阳能板表面接收到的辐射能情况。

从图2可以看到 ，太阳能光伏电池板表面接收的日辐射能在各最佳季节倾角下分布曲线是不连续的。如果严格按照传统意义上的季节划分来确定太阳能光伏电池板的最佳季节倾角，最终得到的结果并非是最佳情况。为此，对传统四季时间段重新划分，得到一年 ４个区间如下 ：N１：第71天 — 第 112天，N２：第 112 天 —第230天，N３：第231天 — 第271天，N４：第272天 —第365和第1天 — 第70天。利用上述方法，得到新的季节最佳倾角分别为：βs１＝26°、βs２＝２°、βs３＝26°、βs４＝50°图 3为新的各季节最佳倾角下，一年内太阳能板表面接收到的辐射能情况。

将图2和图3的曲线相比，显然后者更光滑，同时后者得到的辐射总量要多于前者。与水平放置和β＝30.2°的太阳能光伏电池板相比，倾角

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随季节调整的太阳能电板表面接收的辐射能分别提高了12％ 和５％ 左右．与计算值比较。图4为光伏电池板A各个时刻接收到的太阳辐射能。

图 2 季节最佳倾角下的日辐射能

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图 3 优化季节最佳倾角下的日辐射能

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图4光伏电池板A接受太阳辐射理论值与实验值对比 结果表明，实测值与模型计算值的误差在５％ ～10％ 范围内，完全能满足一般工程计算需要。

从图5中可以看出，实测日总辐射曲线与上文理论分析结果基本一致．通过具体计算得到：同水平放置的太阳能电板相比，年最佳倾角（β＝30.2°）下，太阳能光伏电池板表面年辐射量提高7.2％ ；与水平放置和年最佳倾角（β＝30.2°）的太阳能光伏板相比 ，季节调整倾角的太阳能电板表面接收的年辐射能分别提高了11.5％ 和4.1％．

图 5全年太阳辐射曲线

5.3结果分析

模型一选用最优的方式铺设光伏电池组件，运用多目标规划模型，选出小屋各个面铺设的最佳光伏电池组件，考虑了各种的光伏电池板的发电

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效率，比较了各个面上铺设光伏电池板在一年内的总发电量，然后计算出成本。再考虑在三十五年内，光伏电池组件的盈利情况，经综合因素考虑分析，在各个面铺设一到两种综合效率较高的光伏电池板，选用价格比较低的逆变器构成电池组件，运用最优的铺设方案进行铺设。

模型二巧妙地运用试题中所给的所有计算最佳倾角的公式，计算出光伏电池组件的最佳架设倾角，太阳光的照射方向时间的长短，确定了光伏电池组件的朝向，再根据模型一的铺设方案进行架设。 六、模型的优化

模型一如果考虑到各种电池的性价比，从各种电池的综合因素分析，这样可能会有更加优化的铺设电池组件方案；模型二如果考虑大气层对太阳光的散射和折射，这样太阳光与地平线的夹角就会增大，因此，我们根据这种方法做出来的最佳倾角偏小，所以最优的方案就是运用大气层对太阳光的散射和折射的相关公式，对照到地面的光进行处理，然后运用模型中的公式，这样就可能是模型更加优化。 七、模型评价

缺点：建模过程中，我们没有考率大气层对太阳光的散射与折射；没有考虑怎样尽可能多的在小屋的各个面上铺设光伏电池组件；第一个模型比较简单 ，只运用多目标规划模型，简单地求出了各个面铺设很少种类的光伏电池组件。第二个模型运用太阳辐射能的模型和最佳倾角模型，简单地算出了电池板架设的最佳倾角和朝向。

优点：我们所建的几个模型都比较简单，运算量比较小，需要编写的程序较少。

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问题三

对于问题三我们设计了以上两种小屋结构，通过比较两种小屋的建筑结构，我们选用第二个小屋作为贴太阳能电池板的研究小屋，我们建立与模型一相同的数学模型进行分析研究，选用效率最高的电池板和价格适中的逆变器构成电池板组件，然后运用模型一的求解方法进行求解，求出各个面所需电池和逆变器构成组件的个数，然后进行最优铺设。 八、参考文献

【1】贺定修 冯天祥 数学模型基础 [M]. 成都：西南交通大学出版社. 2010. 【2】姜启源 谢金星 叶俊 数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社.2003. 【3】刘来福 黄海洋 曾文艺. 数学模型与数学建模[M].北京：北京师范大学出版社.2009.

【4】王正林 龚纯 何倩 .精通MATLAB科学计算（第二版）[M] 北京：电子工业出版社.2009.

【5】肖华勇. 实用数学建模与软件应用[M]. 西安：西北工业大学出版社.2008. 【6】任善强 雷鸣. 数学模型[M].重庆：重庆大学出版社. 2006. 【7】雷功炎. 数学模型讲义[M]. 北京：北京大学出版社. 2009. 【8】龙永红. 概率论与数理统计[M]. 北京：高等教育出版社.2004. 附件：1

水平总 水平散 法向 东 南 西 北 光照为零的小时数 光照不为零的小时数

4278 4503 5673 4500 4456 4458 4503 4482 4257 3087 4260 25

4304 4302 4257 大于等于200的小时数 2773 1 2684 1168 2124 1470 171 小于200的小时数 1709 3616 403 3092 2180 2832 4086 30--200 1204 3077 336 2072 1675 2243 2916 30--80 418 1181 87 1107 657 2241 2914 80--200 786 16 249 965 1018 2 2 不可用的小时数 505 539 67 1020 505 5 1170 可利用的小时数 3977 水平面总辐射强度 3718 水平面散射辐射强度 3020 法向直射辐射强度 3240 东向总辐射强度 3799 南向总辐射强度 3713 西向总辐射强度 3087 南向总辐射强度 全年照射总量 1E+06 522957 2E+06 594214 1E+06 872802 261479 每小时平均照射量 全年照射总量的有效值 327.14 122.85 567. 139.42 244.24 204.85 61.32 1E+06 514929 2E+06 578673 1E+06 872802 243181 26

每小时平均照射量的有效值 366.94 138.5 579.6 178.55 274.65 235.07 78.75 附件：2

电池类型 电池型号 电池底面积 电池类型 电池型号 电池底面积 附件：3

单晶硅电池 多晶硅电池 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 1.1.91.21.61.61.91.61.91.41.61.91.91.63 4 8 4 4 4 4 4 7 3 4 4 7 薄膜电池 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 1.0.91.51.51.50.10.10.20.30.21.14 4 8 4 4 1 1 2 3 9 7 单位（m*m） 方位 中 东 南 西 北 总 面积 61 24.2 22.3 27 39.2 174

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