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2021年湖南省岳阳市中考数学试卷

来源:客趣旅游网


2021年湖南省岳阳市中考数学试卷

一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分,在每道小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项)

1.(3分)(2021•岳阳)﹣2021的相反数是( )

A.﹣2021 B.2021 C. D.

2.(3分)(2021•岳阳)2021年以来,我国扶贫攻坚取得关键进展,农村贫困人口减少11090000人,数据11090000用科学记数法表示为( ) A.0.1109×108

B.11.09×106

C.1.109×108

D.1.109×107

3.(3分)(2021•岳阳)如图,由4个相同正方体组成的几何体,它的左视图是( )

A. B. C. D.

4.(3分)(2021•岳阳)下列运算结果正确的是( ) A.(﹣a)3=a3

B.a9÷a3=a3

C.a+2a=3a

D.a•a2=a2

5.(3分)(2021•岳阳)如图,DA⊥AB,CD⊥DA,∠B=56°,则∠C的度数是( )

A.1°

B.144°

C.134°

D.124°

6.(3分)(2021•岳阳)今年端午小长假复课第一天,学校根据疫情防控要求,对所有进入校园的师生进行体温检测,其中7名学生的体温(单位:℃)如下:36.5,36.3,36.8,36.3,36.5,36.7,36.5,这组数据的众数和中位数分别是( ) A.36.3,36.5

B.36.5,36.5

C.36.5,36.3

D.36.3,36.7

7.(3分)(2021•岳阳)下列命题是真命题的是( ) A.一个角的补角一定大于这个角

B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.等边三角形是中心对称图形

D.旋转改变图形的形状和大小

8.(3分)(2021•岳阳)对于一个函数,自变量x取c时,函数值y等于0,则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数y=﹣x2﹣10x+m(m≠0)有两个不相等的零点x1,x2(x1<x2),关于x的方程x2+10x﹣m﹣2=0有两个不相等的非零实数根x3,x4(x3<x4),则下列关系式一定正确的是( )

A.0 _ _/ _

二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,满分32分) 9.(4分)(2021•岳阳)因式分解:a2﹣9= . 10.(4分)(2021•襄阳)函数y11.(4分)(2021•岳阳)不等式组

中自变量x的取值范围是 .

的解集是 .

12.(4分)(2021•岳阳)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD= °.

13.(4分)(2021•岳阳)在﹣3,﹣2,1,2,3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax2+4x﹣2中a的值,则该二次函数图象开口向上的概率是 .

14.(4分)(2021•岳阳)已知x2+2x=﹣1,则代数式5+x(x+2)的值为 . 15.(4分)(2021•岳阳)我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题:“今有醇酒一斗,直钱五十;行酒一斗,直钱一十.今将钱三十,得酒二斗.问醇、行酒各得几何?”其大意是:今有醇酒(优质酒)1斗,价值50钱;行酒(劣质酒)1斗,价值10钱.现用30钱,买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为x斗,行酒为y斗,根据题意,可列方程组为 .

16.(4分)(2021•岳阳)如图,AB为半圆O的直径,M,C是半圆上的三等分点,AB=8,BD与半圆O相切于点B.点P为

上一动点(不与点A,M重合),直线PC交BD于

点D,BE⊥OC于点E,延长BE交PC于点F,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)

①PB=PD;②的长为ð;③∠DBE=45°;④△BCF∽△PFB;⑤CF•CP为定值.

三、解答题(本大题共8小题,满分分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(6分)(2021•岳阳)计算:()1+2cos60°﹣(4﹣ð)0+|

|.

BC,FD

AD,

18.(6分)(2021•岳阳)如图,点E,F在▱ABCD的边BC,AD上,BE连接BF,DE.

求证:四边形BEDF是平行四边形.

19.(8分)(2021•岳阳)如图,一次函数y=x+5的图象与反比例函数y≠0)的图象相交于A(﹣1,m),B两点. (1)求反比例函数的表达式;

(2)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0),使平移后的图象与反

(k为常数且k

比例函数y的图象有且只有一个交点,求b的值.

20.(8分)(2021•岳阳)我市某学校落实立德树人根本任务,构建“五育并举”教育体系,开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的选择情况,随机抽取了七年级若干名学生进行调查(每人只选一类最喜欢的课程),

将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图:

(1)本次随机调查的学生人数为 人; (2)补全条形统计图;

(3)若该校七年级共有800名学生,请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数;

(4)七(1)班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动,请用列表或画树状图的方法,求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率.

21.(8分)(2021•岳阳)为做好复工复产,某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg,且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.

22.(8分)(2021•岳阳)共抓长江大保护,建设水墨丹青新岳阳,推进市中心城区污水系统综合治理项目,需要从如图A,B两地向C地新建AC,BC两条笔直的污水收集管道,现测得C地在A地北偏东45°方向上,在B地北偏西68°向上,AB的距离为7km,求新建管道的总长度.(结果精确到0.1km,sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,

/_

23.(10分)(2021•岳阳)如图1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P,Q分别从C点,A点同时以每秒1个单位长度的速度出发,且分别在边CA,AB上沿C→A,A→B的方向运动,当点Q运动到点B时,P,Q两点同时停止运动.设点P运动的时间为t(s),连接PQ,过点P作PE⊥PQ,PE与边BC相交于点E,连接QE. (1)如图2,当t=5s时,延长EP交边AD于点F.求证:AF=CE;

(2)在(1)的条件下,试探究线段AQ,QE,CE三者之间的等量关系,并加以证明;

(3)如图3,当t的值.

s时,延长EP交边AD于点F,连接FQ,若FQ平分∠AFP,求

24.(10分)(2021•岳阳)如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线F1:y=a(x与x轴交于点A(

,0)和点B,与y轴交于点C.

2

(1)求抛物线F1的表达式;

(2)如图2,将抛物线F1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线F2,若抛物线F1与抛物线F2相交于点D,连接BD,CD,BC. ①求点D的坐标;

②判断△BCD的形状,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,抛物线F2上是否存在点P,使得△BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2021年湖南省岳阳市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分,在每道小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项)

1.(3分)(2021•岳阳)﹣2021的相反数是( )

A.﹣2021 B.2021 C. D.

【解答】解:﹣2021的相反数是:2021. 故选:B.

2.(3分)(2021•岳阳)2021年以来,我国扶贫攻坚取得关键进展,农村贫困人口减少11090000人,数据11090000用科学记数法表示为( ) A.0.1109×108

B.11.09×106

C.1.109×108

D.1.109×107

【解答】解:11090000=1.109×107, 故选:D.

3.(3分)(2021•岳阳)如图,由4个相同正方体组成的几何体,它的左视图是( )

A. B. C. D.

【解答】解:从该几何体的左侧看到的是一列两层,因此选项A的图形符合题意, 故选:A.

4.(3分)(2021•岳阳)下列运算结果正确的是( ) A.(﹣a)3=a3

B.a9÷a3=a3

C.a+2a=3a

D.a•a2=a2

【解答】解:(﹣a)3=﹣a3,因此选项A不符合题意; a9÷a3=a93=a6,因此选项B不符合题意;

a+2a=(1+2)a=3a,因此选项C符合题意; a•a2=a1+2=a3,因此选项D不符合题意; 故选:C.

5.(3分)(2021•岳阳)如图,DA⊥AB,CD⊥DA,∠B=56°,则∠C的度数是( )

A.1°

B.144°

C.134°

D.124°

【解答】解:∵DA⊥AB,CD⊥DA, ∴∠A=∠D=90°, ∴∠A+∠D=180°, ∴AB∥CD, ∴∠B+∠C=180°, ∵∠B=56°,

∴∠C=180°﹣∠B=124°, 故选:D.

6.(3分)(2021•岳阳)今年端午小长假复课第一天,学校根据疫情防控要求,对所有进入校园的师生进行体温检测,其中7名学生的体温(单位:℃)如下:36.5,36.3,36.8,36.3,36.5,36.7,36.5,这组数据的众数和中位数分别是( ) A.36.3,36.5

B.36.5,36.5

C.36.5,36.3

D.36.3,36.7

【解答】解:将这组数据重新排列为36.3,36.3,36.5,36.5,36.5,36.7,36.8, 所以这组数据的众数为36.5,中位数为36.5, 故选:B.

7.(3分)(2021•岳阳)下列命题是真命题的是( ) A.一个角的补角一定大于这个角

B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.等边三角形是中心对称图形 D.旋转改变图形的形状和大小

【解答】解:A、一个角的补角不一定大于这个角,如直角的补角等于它,原命题是假命题;

B、平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题; C、等边三角形不是中心对称图形,原命题是假命题; D、旋转不改变图形的形状和大小,原命题是假命题;

故选:B.

8.(3分)(2021•岳阳)对于一个函数,自变量x取c时,函数值y等于0,则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数y=﹣x2﹣10x+m(m≠0)有两个不相等的零点x1,x2(x1<x2),关于x的方程x2+10x﹣m﹣2=0有两个不相等的非零实数根x3,x4(x3<x4),则下列关系式一定正确的是( )

A.0 _ _/ _

【解答】解:由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2=0有两个不相等的非零实数根x3,x4(x3<x4),就是关于x的二次函数y=﹣x2﹣10x+m(m≠0)与直线y=﹣2的交点的横坐标,

画出函数的图象草图如下:

∵抛物线的对称轴为直线x∴x3<x1<﹣5,

由图象可知:0故选:A.

√()

二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,满分32分) 9.(4分)(2021•岳阳)因式分解:a2﹣9= (a+3)(a﹣3) . 【解答】解:a2﹣9=(a+3)(a﹣3). 10.(4分)(2021•襄阳)函数y【解答】解:依题意,得x﹣2≥0, 解得:x≥2,

中自变量x的取值范围是 x≥2 .

故答案为:x≥2.

11.(4分)(2021•岳阳)不等式组

的解集是 ﹣3≤x<1 .

【解答】解:解不等式x+3≥0,得:x≥﹣3, 解不等式x﹣1<0,得:x<1, 则不等式组的解集为﹣3≤x<11, 故答案为:﹣3≤x<1.

12.(4分)(2021•岳阳)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD= 70 °.

【解答】解:在Rt△ABC中,∠A=20°,则∠B=70°, ∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线, ∴BD=CD=AD, ∴∠BCD=∠B=70°, 故答案为70.

13.(4分)(2021•岳阳)在﹣3,﹣2,1,2,3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax2+4x﹣2中a的值,则该二次函数图象开口向上的概率是

【解答】解:∵从﹣3,﹣2,1,2,3五个数中随机选取一个数,共有5种等可能结果,其中使该二次函数图象开口向上的有1、2、3这3种结果, ∴该二次函数图象开口向上的概率是, 故答案为:.

14.(4分)(2021•岳阳)已知x2+2x=﹣1,则代数式5+x(x+2)的值为 4 . 【解答】解:∵x2+2x=﹣1, ∴5+x(x+2)=5+x2+2x=5﹣1=4. 故答案为:4.

15.(4分)(2021•岳阳)我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题:“今有醇酒一斗,直钱五十;行酒一斗,直钱一十.今将钱三十,得酒二斗.问醇、行酒各得几何?”其大意是:今有醇酒(优质酒)1斗,价值50钱;行酒(劣质酒)1斗,价值10钱.现

用30钱,买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为x斗,行酒为y斗,根据题意,可列方程组为 【解答】解:依题意,得:故答案为:

16.(4分)(2021•岳阳)如图,AB为半圆O的直径,M,C是半圆上的三等分点,AB=8,BD与半圆O相切于点B.点P为

上一动点(不与点A,M重合),直线PC交BD于

点D,BE⊥OC于点E,延长BE交PC于点F,则下列结论正确的是 ②⑤ .(写出所有正确结论的序号) ①PB=PD;②

的长为ð;③∠DBE=45°;④△BCF∽△PFB;⑤CF•CP为定值.

【解答】解:①连接AC,并延长AC,与BD的延长线交于点H,如图1, ∵M,C是半圆上的三等分点, ∴∠BAH=30°,

∵BD与半圆O相切于点B. ∴∠ABD=90°, ∴∠H=60°,

∵∠ACP=∠ABP,∠ACP=∠DCH, ∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°, ∵∠PBD=90°﹣∠ABP,

若∠PDB=∠PBD,则∠ABP+60°=90°﹣∠ABP, ∴∠ABP=15°, ∴P点为

的中点,这与P为

上的一动点不完全吻合,

∴∠PDB不一定等于∠ABD, ∴PB不一定等于PD, 故①错误;

②∵M,C是半圆上的三等分点, ∴∠BOC∵直径AB=8, ∴OB=OC=4,

∴的长度

故②正确;

③∵∠BOC=60°,OB=OC, ∴∠ABC=60°,OB=OC=BC, ∵BE⊥OC,

∴∠OBE=∠CBE=30°, ∵∠ABD=90°, ∴∠DBE=60°, 故③错误; ④∵M、N是

的三等分点,

∴∠BPC=30°, ∵∠CBF=30°, 但∠BFP=∠FCB, ∠PBF<∠BFC,

∴△BCF∽△PFB不成立, 故④错误;

⑤∵△BCF∽△PCB,

∴,

∴CF•CP=CB2, ∵

∴CF•CP=16, 故⑤正确. 故答案为:②⑤.

三、解答题(本大题共8小题,满分分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(6分)(2021•岳阳)计算:()1+2cos60°﹣(4﹣ð)0+|

|.

【解答】解:原式=2+2=2+1﹣1=2

18.(6分)(2021•岳阳)如图,点E,F在▱ABCD的边BC,AD上,BE连接BF,DE.

求证:四边形BEDF是平行四边形.

BC,FDAD,

【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∵BE

BC,FD

AD,

∴BE=DF, ∵DF∥BE,

∴四边形BEDF是平行四边形.

19.(8分)(2021•岳阳)如图,一次函数y=x+5的图象与反比例函数y≠0)的图象相交于A(﹣1,m),B两点. (1)求反比例函数的表达式;

(k为常数且k

(2)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0),使平移后的图象与反

比例函数y的图象有且只有一个交点,求b的值.

【解答】解:(1)∵一次函数y=x+5的图象与反比例函数y图象相交于A(﹣1,m), ∴m=4,

∴k=﹣1×4=﹣4,

(k为常数且k≠0)的

∴反比例函数解析式为:y;

(2)∵一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0), ∴y=x+5﹣b,

∵平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一个交点,

∴x+5﹣b,

∴x2+(5﹣b)x+4=0, ∵△=(5﹣b)2﹣16=0, 解得b=9或1, 答:b的值为9或1.

20.(8分)(2021•岳阳)我市某学校落实立德树人根本任务,构建“五育并举”教育体系,开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程.为了解七年级学生对每类课程的选择情况,随机抽取了七年级若干名学生进行调查(每人只选一类最喜欢的课程),将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图:

(1)本次随机调查的学生人数为 60 人; (2)补全条形统计图;

(3)若该校七年级共有800名学生,请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数;

(4)七(1)班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动,请用列表或画树状图的方法,求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率.

【解答】解:(1)18÷30%=60(人), 故答案为:60;

(2)60﹣15﹣18﹣9﹣6=12(人),补全条形统计图如图所示:

(3)800 //D_

答:该校七年级800名学生中选择“厨艺”劳动课程的有200人; (4)用列表法表示所有可能出现的结果如下:

共有12种可能出现的结果,其中选中“园艺、编织”的有2种,

∴P(园艺、编织).

21.(8分)(2021•岳阳)为做好复工复产,某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg,且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.

【解答】解:设B型机器人每小时搬运xkg原料,则A型机器人每小时搬运(x+20)kg原料,

依题意,得:解得:x=100,

经检验,x=100是原方程的解,且符合题意, ∴x+20=120.

答:A型机器人每小时搬运120kg原料,B型机器人每小时搬运100kg原料.

22.(8分)(2021•岳阳)共抓长江大保护,建设水墨丹青新岳阳,推进市中心城区污水系统综合治理项目,需要从如图A,B两地向C地新建AC,BC两条笔直的污水收集管道,现测得C地在A地北偏东45°方向上,在B地北偏西68°向上,AB的距离为7km,求新建管道的总长度.(结果精确到0.1km,sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,

/_

【解答】解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,

根据题意可知:

AB=7,∠ACD=45°,∠CBD=90°﹣68°=22°, ∴AD=CD,

∴BD=AB﹣AD=7﹣CD, 在Rt△BCD中,

∵tan∠CBD,

∴CD=2,

√_

∴AD=CD=2, BD=7﹣2=5, ∴AC=2

/(

BC /_

∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2(km). 答:新建管道的总长度约为8.2km.

23.(10分)(2021•岳阳)如图1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P,Q分别从C点,A点同时以每秒1个单位长度的速度出发,且分别在边CA,AB上沿C→A,A→B的方向运动,当点Q运动到点B时,P,Q两点同时停止运动.设点P运动的时间为t(s),连接PQ,过点P作PE⊥PQ,PE与边BC相交于点E,连接QE. (1)如图2,当t=5s时,延长EP交边AD于点F.求证:AF=CE;

(2)在(1)的条件下,试探究线段AQ,QE,CE三者之间的等量关系,并加以证明;

(3)如图3,当ts时,延长EP交边AD于点F,连接FQ,若FQ平分∠AFP,求

的值.

【解答】解:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠ABC=90°,

在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,根据勾股定理得,AC=10, 由运动知,CP=t=5, ∴AP=AC﹣CP=5, ∴AP=CP, ∵AD∥BC,

∴∠PAF=∠PCE,∠AFP=∠CEP, ∴△APF≌△CPE(AAS), ∴AF=CE;

(2)结论:AQ2+CE2=QE2, 理由:如图2,

连接FQ,由(1)知,△APF≌△CPE, ∴AF=CE,PE=PF, ∵EF⊥PQ, ∴QE=QF,

在Rt△QAF中,根据勾股定理得,AQ2+AF2=QF2, ∴AQ2+CE2=QE2;

(3)如图3,

由运动知,AQ=t,CP=t, ∴AP=AC﹣CP=10﹣t,

∵FQ平分∠AFE, ∴∠AFC=∠PFQ,

∵∠FAQ=∠FPQ=90°,FQ=FQ, ∴△FAQ≌△FPQ(AAS), ∴AQ=PQ=t,AF=PF,

∴BQ=AB﹣AQ=6﹣t,∠FAC=∠FPA, ∵∠DAC=∠ACB,∠APF=∠CPE, ∴∠ACB=∠CPE,

∴PE=CE,过点E作EN⊥AC于N, ∴CN

CP

t,∠CNE=90°=∠ABC,

∵∠NCE=∠BCA, ∴△CNE∽△CBA,

∴,

∴∴CE∴PE

, t,

t,BE=BC﹣CE=8

t,

在Rt△QPE中,QE2=PQ2+PE2, 在Rt△BQE中,QE2=BQ2+BE2, ∴PQ2+PE2=BQ2+BE2, ∴t2+(t)2=(6﹣t)2+(8

t)2,

∴t,

∴CP=t,

∴AP=10﹣CP,

∵AD∥BC, ∴△APF∽△CPE,

∴.

24.(10分)(2021•岳阳)如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线F1:y=a(x与x轴交于点A(

,0)和点B,与y轴交于点C.

2

(1)求抛物线F1的表达式;

(2)如图2,将抛物线F1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线F2,若抛物线F1与抛物线F2相交于点D,连接BD,CD,BC. ①求点D的坐标;

②判断△BCD的形状,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,抛物线F2上是否存在点P,使得△BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【解答】解:(1)把点A(

,0)代入抛物线F1:y=a(x

)2

中得:

0=a(

)2

解得:a,

∴抛物线F1:y(x

)2

(2)①由平移得:抛物线F2:y(x

∴y(x

)2

∴(x

)2

(x

)2

x,

解得:x=﹣1, ∴D(﹣1,1);

②当x=0时,y∴C(0,4),

当y=0时,(x

)2

解得:x∴B(2,0),

或2,

∵D(﹣1,1),

∴BD2=(2+1)2+(1﹣0)2=10, CD2=(0+1)2+(4﹣1)2=10, BC2=22+42=20,

∴BD2+CD2=BC2且BD=CD, ∴△BDC是等腰直角三角形; (3)存在,

设P[m,

∵B(2,0),D(﹣1,1),

],

∴BD2=(2+1)2+12=10,

分三种情况:

①当∠DBP=90°时,BD2+PB2=PD2,

即10+(m﹣2)2+[解得:m=﹣4或1, 当m=﹣4时,BD不符合题意, 当m=1时,BD

,PB,PB

]2=(m+1)2+[

(m

)2

,即△BDP不是等腰直角三角形,

∴BD=PB,即△BDP是等腰直角三角形,符合题意,

∴P(1,﹣3);

②当∠BDP=90°时,BD2+PD2=PB2,

即10+[(m

)2

// ^/____

]2,

解得:m=﹣1(舍)或﹣2, 当m=﹣2时,BD

,PD

∴BD=PD,即此时△BDP为等腰直角三角形, ∴P(﹣2,﹣2);

③当∠BPD=90°时,且BP=DP,有BD2=PD2+PB2,如图3,

当△BDP为等腰直角三角形时,点P1和P2不在抛物线上,此种情况不存在这样的点P; 综上,点P的坐标(1,﹣3)或(﹣2,﹣2).

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