带电粒子在电场中的运动

n例9 质量为m、电量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动. A、B为两块中心开有小孔的极板. 原来电势都为零, 每当粒子飞经A板时, A板电势升高为+U, B板电势仍保持为零, 粒子在两板间电场中得到加速. 每当粒子离开B板时, A板电势又降为零. 粒子在电场一次次加速下动能不断增大, 而绕行半径不变.(1) 设t=0时粒子静止在A板小孔处, 在电场作用下加速, 并绕行第一圈. 求粒子绕行n 圈回到A板时获得的总动能En .(2) 为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动, 磁场必须周期性递增. 求粒子绕行第n 圈时的磁感应强度Bn.(3) 求粒子绕行n 圈所需的总时间tn(设极板间距远小于R).(4) 在图(2)中画出A板电势与时间t 的关系(从t=0起画到粒子第4次离开B板时即可).(5) 在粒子绕行的整个过程中, A板电势是否可以始终保持为+U? 为什么?uRAOB+U0U2012/3/23解见下页(1)t0t(2)1解答:(1)每通过AB一次, 动能增加qU, 通过n次获得的总E Kn=1/2mvn2= nqU动能为(2)R=mvn/Bnq 2nqU12nmUvnBnmRq2mm(3)每转一转的时间为Tn2RqBn2qUnm111(1…+)tT1T2T32R2qU23n(4) 半径不变,速度越来越大,所以周期越来越小,加速的时间u越来越小，U—t 图如右图:(5) 不可以. 如始终为+U, 则电场力对粒子运动一周所做的总功为零.2012/3/23

UOt1t2t3 t4t

14(18分)如图10所示,空间分布着有理想边界的匀强电场和

匀强磁场,左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，其宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子（质量m,电量q,不计重力）从电场左边缘a点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了a点，然后重复上述运动过程。（图中虚线为电场与磁场、相反方向磁场间的分界面，并不表示有什么障碍物）。

（1）中间磁场区域的宽度d为多大； （2）带电粒子在两个磁场区域中的运动时间之比；

（3）带电粒子从a点开始运动到第一次回到a点时所用的时间t.

34 如图所示，质量M=3.5 kg的小车静止于光滑水平面上靠近桌

子处，其上表面与水平桌面相平，小车长L=1.2 m，其左端放有一质

量为m2=0.5 kg的滑块Q。水平放置的轻弹簧左端固定，质量为

m1=1 kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触。

此时弹簧处于原长，现用水平

向左的推力将P缓慢推至B点(弹簧仍在弹性限度内)时，推力做的功为WF，撤去推力后，P沿桌面滑动到达C点时的速度为2 m/s，并与小车上的Q相碰，最后Q停在小车的右端，

P停在距小车左端S=0.5 m处。已知AB间距L1=5 cm，A点

离桌子边沿C点距离L2=90 cm，P与桌面间动摩擦因数μ1

=0.4，P、Q与小车表面间动摩擦因数μ2=0.1。(g=10 m/s。)

求：

(1)推力做的功WF (2)P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小和小车最后速度v

24．（18分）如图所示，质量为m，磁性很强的小磁棒（可以视为质点），从光

滑弧形塑料管道的入口A处无初速地释放，当它下滑至管道的水平部分时，从套在管道上质量为m的光滑金属小环内穿过，小磁棒穿过金属小环后从

管道右端B穿出，落在水平地面上的C点，C点距B点的水平距离s为

32

h，2

距B点的竖直高度为h，不计小磁棒在弧形轨道和离开轨道右端口后小磁棒与金属环之间的相互作用，已知小磁棒在管道内下滑的高度差为2h，试求： （1）小磁棒穿过小环后从管道右端穿出时速度的大小。

（2）从小磁棒到达水平管道到小磁棒从水平管道的右端口B离开的过程中，

金属环上所产生的热量是多少？

25．（20分）如图所示，坐标平面的第I象限内存在大小为E，

方向水平向左的匀强电场，第Ⅱ象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，足够长的挡板MN垂直于x轴放置，距原点O的距离为d。一质量为m，带电量为-q的粒子在距原点O为L的A点以大小为v0，方向沿y轴正方向的速度进入磁场，则粒子恰好到达O点而不进入电场。现该粒子仍从A点进入磁场，但初速度大小为22v0，为使粒子进入电场后能垂直打在挡板上，求粒子（不计重力）在A点进入磁场时：

（1）其速度方向与x轴正方向之间的夹角。

（2）粒子到达挡板上时的速度大小及打到挡板MN上的位置

到x轴的距离。

1.（2010·新课标全国卷·T25）（18分）如图所示，在0≤ x ≤ a、0≤ y ≤

a范围内有垂直于2xy平面向外的匀强磁场，磁感应强

度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

（1）速度的大小；

（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

【命题立意】本题以大量带电粒子沿各个方向在有界匀强磁场中作匀速圆周运动，建立一幅动态运动图

景，考查考生空间想象能力和运用数学知识处理物理问题的能力。 【思路点拨】解答本题可按以下思路分析： 画出沿﹢y方向以a/2为半径做圆周运动轨迹 圆弧轨迹与磁场上边界相切时为临界轨迹 【规范解答】

增大半径将运动圆弧以O为圆心旋转 再将临界轨迹旋转 比较得到最长时间

（1）设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得：

v2qvBm， ① （2分）

R由①解得：Rmv ② （1分） qB画出沿﹢y方向以a/2为半径做匀速圆周运动轨迹如图①所示，再画出从坐标原点O沿与y轴正方向以半径R0（a/2aRa时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与2T磁场的上边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意t，得：

4 当

OCA2。 ③ （4分）

设最后离开磁场的粒子的发射速度方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得：

R Rsina ④ （2分） 2RsinaRcos ⑤ （2分）

又 sincos1 ⑥ （1分） 由④⑤⑥式解得：R(2226)a ⑦ （2分） 26aqB ⑧ （2分） )2m66 ⑨ （2分） 10由②⑦式得： v(2（2）由④⑦式得：sin【答案】（1）v(26aqB66（2）sin )2m102.（2010·浙江理综·T24）（22分）在一个放射源水平放射出α、β 和 γ 和三种射线，垂直射入如图所示磁场。区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感强度大小B 相等，方向相反（粒子运动不考虑相对论效应）

。

（1）若要筛选出速率大于v1的β 粒子进入区域Ⅱ，求磁场宽度d 与B 和v1的关系。 （2）若B＝0.0034T，v1＝0.1c（c是光速度），则可得d，α 粒子的速率为0.001c，计算α 和γ 射线离开区域Ⅰ时的距离；并给出去除 α 和 γ 射线的方法。

（3）当d满足第（1）小题所给关系时，请给出速率在，v1（4）请设计一种方案，能使离开区域Ⅱ的 β 粒子束在右侧聚焦且水平出射。

已知：电子质量me9.11031kg，粒子质量m6.71027kg，电子电荷量

q1.61019C，1x1xx1（时） 2【命题立意】本题有机整合了原子物理和磁场内容,体现综合性和新颖性，主要考查带电粒子在磁场中的匀速圆周运动和对三种射线的理解。

【思路点拨】作图分析，找到β 粒子能进入区域Ⅱ临界条件，并画出α、β 粒子开区域Ⅰ和离开区域Ⅱ时的位置，充分利用几何关系。 【规范解答】

（1）根据带电粒子在磁场以洛伦兹力作用后作匀速圆周运动的规律

mv2 qvb ………………①

R 由临界条件得d dB和v1的关系为

mev1 ………………② qB

（2）由①式可得粒子的回旋半径

mv6.7102730105 R1.84m 19qB21.6100.0034 由②式得

mev19.110313.0107 d0.05m

qB1.610190.0034 竖直方向的距离为

2yRRd20.7mm

可见通过区域Ⅰ的磁场难以将粒子与 射线分离，可用薄纸挡去粒子，需用厚铅板

挡掉γ 射线。

（3）在上述磁场条件下，要求速率在v1vv2区间的粒子离开区域Ⅱ时的位置和方向。

先求出速度为v2的粒子所对应的圆周运动半径

R2mev2 qB 该β 粒子从区域Ⅰ磁场射出时，垂直方向偏离的距离为 y2R22R2d2me2(v2v2v12) qB 同理可得，与速度为v1对应的β 粒子从区域Ⅱ时射出时，垂直方向偏离的距离为

Y22y12me2(v2v2v12) qB 同理可得，与速度为v1对应的β 粒子垂直方向偏离的距离为 Y12d2mev1 qB速率在v1vv2区间射出粒子束宽为2Y22Y1，方向向右侧，如图所示。

（4）由对称性可以设计出如图所示的磁场区域，最后形成聚焦，且方向水平向右。

1.（18分）如图所示，在0≤ x ≤ a、0≤ y ≤

a范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁2感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

（1）速度的大小；

（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

【命题立意】本题以大量带电粒子沿各个方向在有界匀强磁场中作匀速圆周运动，建立一幅动态运动图

景，考查考生空间想象能力和运用数学知识处理物理问题的能力。 【思路点拨】解答本题可按以下思路分析： 画出沿﹢y方向以a/2为半径做圆周运动轨迹 圆弧轨迹与磁场上边界相切时为临界轨迹 【规范解答】

增大半径将运动圆弧以O为圆心旋转 再将临界轨迹旋转 比较得到最长时间

（1）设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得：

v2qvBm， ① （2分）

R由①解得：Rmv ② （1分） qB画出沿﹢y方向以a/2为半径做匀速圆周运动轨迹如图①所示，再画出从坐标原点O沿与y轴正方向以半径R0（a/2aRa时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与2T磁场的上边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意t，得：

4 当

OCA2。 ③ （4分）

设最后离开磁场的粒子的发射速度方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得：

R Rsina ④ （2分） 2RsinaRcos ⑤ （2分）

又 sincos1 ⑥ （1分）

22由④⑤⑥式解得：R(26)a ⑦ （2分） 26aqB ⑧ （2分） )2m66 ⑨ （2分） 10由②⑦式得： v(2（2）由④⑦式得：sin【答案】（1）v(26aqB66（2）sin )2m102.（22分）在一个放射源水平放射出α、β 和 γ 和三种射线，垂直射入如图所示磁场。区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感强度大小B 相等，方向相反（粒子运动不考虑相对论效应）

。

（1）若要筛选出速率大于v1的β 粒子进入区域Ⅱ，求磁场宽度d 与B 和v1的关系。 （2）若B＝0.0034T，v1＝0.1c（c是光速度），则可得d，α 粒子的速率为0.001c，计算α 和γ 射线离开区域Ⅰ时的距离；并给出去除 α 和 γ 射线的方法。

（3）当d满足第（1）小题所给关系时，请给出速率在，v1（4）请设计一种方案，能使离开区域Ⅱ的 β 粒子束在右侧聚焦且水平出射。

已知：电子质量me9.11031kg，粒子质量m6.71027kg，电子电荷量

q1.61019C，1x1xx1（时） 2【命题立意】本题有机整合了原子物理和磁场内容,体现综合性和新颖性，主要考查带电粒子在磁场中的匀速圆周运动和对三种射线的理解。

【思路点拨】作图分析，找到β 粒子能进入区域Ⅱ临界条件，并画出α、β 粒子开区域Ⅰ和离开区域Ⅱ时的位置，充分利用几何关系。 【规范解答】

（1）根据带电粒子在磁场以洛伦兹力作用后作匀速圆周运动的规律

mv2 qvb ………………①

R 由临界条件得d dB和v1的关系为

mev1 ………………② qB

（2）由①式可得粒子的回旋半径

mv6.7102730105 R1.84m 19qB21.6100.0034 由②式得

mev19.110313.0107 d0.05m

qB1.610190.0034 竖直方向的距离为

2yRRd20.7mm

可见通过区域Ⅰ的磁场难以将粒子与 射线分离，可用薄纸挡去粒子，需用厚铅板

挡掉γ 射线。

（3）在上述磁场条件下，要求速率在v1vv2区间的粒子离开区域Ⅱ时的位置和方向。

先求出速度为v2的粒子所对应的圆周运动半径

R2mev2 qB 该β 粒子从区域Ⅰ磁场射出时，垂直方向偏离的距离为

y2R22R2d2me2(v2v2v12) qB 同理可得，与速度为v1对应的β 粒子从区域Ⅱ时射出时，垂直方向偏离的距离为

Y22y12me2(v2v2v12) qB 同理可得，与速度为v1对应的β 粒子垂直方向偏离的距离为 Y12d2mev1 qB速率在v1vv2区间射出粒子束宽为2Y22Y1，方向向右侧，如图所示。

（4）由对称性可以设计出如图所示的磁场区域，最后形成聚焦，且方向水平向右。

7.(2009·福建高考)图5-1-12为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3 T，在x轴上距坐标原点L=0.50 m的P处为离子的入射口，在y轴上安放接收器.现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104 m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50 m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力.

（1）求上述粒子的比荷

q; m（2） 如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场.

【解析】（1）设粒子在磁场中的运动半径为r.如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得

由洛伦兹力提供粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，可得

v2qvB=m ②

r联立①②并代入数据得

q7

=4.9×10C/kg m(2)设所加电场的场强大小为E.如图乙，当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有 qE=qvB 代入数据得 E=70 N/C

所加电场的场强方向沿x轴正方向.由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带电粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有

联立①③④并代入数据得 t=7.9×10-6 s

答案：（1）4.9×107 C/kg

(2)70 N/C 沿x轴正方向 7.9×10-6 s