一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1-8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面的表格内． 1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．3和 B．和﹣3 C．﹣3和 D．﹣|﹣3|和﹣（﹣3）
2．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长
3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．某市2008年第一季度财政收入为41.76亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为（ ）
98
A．41×10元 B．4.1×10元 C．4.2×10元 D．41.7×10元
5．⊙O的半径为6，一条弦长
，以3为半径的同心圆与这条弦的关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
6．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A． B．
C．6π D．以上答案都不对
2
8．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将9-14各小题的答案填写在第14小题后面的表格内．
9．= ．
10．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是 ．
11．有一支夹子如图所示，AB=2BC，BD=2BE，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ为6cm，如果想用夹子的尖端A、D两点夹住P、Q两点，那么手握的地方EC至少要张开 cm．
2
12．将一个均匀的转盘平均分成若干份，其中两份涂上白色，一份涂上黄色，其余涂成红色，若任意转动转盘指针指向白色的概率为0.5，则任意转动转盘指针指向红色的概率为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 ．
14．如图，在边长为1的正方形网格中，按照某种规律排列而成的“工”字形图案．
（1）第1、2图中“工”字形图案的周长分别是 ．
（2）推测第n个图中“工”字形图案的周长y与n之间的函数关系式： ．
三、作图题（本题满分8分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15．已知：线段a，h
求作：等腰△ABC，使底边BC=a，且BC边上的中线等于h．
四、解答题（本题满分70分，共有9道小题）
16．（1）解不等式组：；
（2）解方程： +2=．
17．某校为了增加初三学生的复习时间，把上课时间提前到7：10；初二综合实践活动小组想探索这一举措的合理性，决定对初三学生到校时间及早餐质量进行调查．他们从早上6：30开始在校门
3
口对初三到校学生进行观察统计，并把统计结果绘成条形统计图；然后对初三学生早餐质量进行抽样调查，并把结果画成扇形统计图．
1）该校初三学生约有 人，迟到学生有 人，占初三学生总数的 %．
2）计算因担心迟到而在路上随便吃点早餐的初三学生数．
3）通过以上信息，你认为“初三提前到7：10上课”这一举措是否合理？谈谈你的看法（不超过30字）
18．某商场为了吸引顾客，设计了一个摸球获奖的箱子，箱子有20个球，其中红球2个，兰球3个，黄球5个，白球10个，并规定购买100元的商品，就有一次摸球的机会，摸到红、兰、黄、白球的（一次只能摸一个），顾客就可以分别得到80元、30元、10元、0元购物卷，凭购物卷仍然可以在商场购买，如果顾客不愿意摸球，那么可以直接获得购物卷10元． （1）每摸一次球所获购物卷金额的平均值是多少？
（2）你若在此商场购买100元的货物，两种方式中你应选择哪种方式？为什么？
19．如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.3，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424）
20．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，购买2本甲和1本乙需50元，购买3本甲和2本乙需85元．
（1）甲、乙两种图书的售价分别为多少元？
（2）若学校计划共购买这两种图书50本，且投入的经费不超过800元，则最多可购买乙种图书多少本？
21．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点． （1）当BE=CE时，求证：AE=DE；
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？（直接写出结论即可，不用说明理由） （3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，线段EF与线段BC有什么关系？证明你的结论．
4
22．某校九年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出100千克． 小强：如果以12元/千克的价格销售，那么每天可售出80千克．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系． 小强：我发现每天的销售量在70千克至100千克之间． （1）求y（千克）与x（元）的函数关系式；
（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？利润=销售量×（销售单价﹣进价）．
23．我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．
332
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：1+2=3？ 【解决问题】
3
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
3
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2 而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
332
由此可得：1+2=3
333
【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究：1+2+3= ． 要求：自己构造图形并写出详细的解题过程．
3333
【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1+2+3+…+n= ．
（参考公式：）
注意：只需填空并画出图形即可，不必写出解题过程．
【提炼运用】如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的， 如图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0个看不见； 如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1个看不见； 如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8个看不见；
求：从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数．
5
24．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒．设P、Q移动时间为t（0＜t＜4），解答下列问题： （1）求出P点的坐标（用t表示）；
2
（2）求△OPQ面积S（cm），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）△OPQ能否是直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，说明理由．
6
2015年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷（二） 参与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1-8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面的表格内． 1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．3和 B．和﹣3 C．﹣3和 D．﹣|﹣3|和﹣（﹣3） 【考点】实数的性质．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：A、都是3，故A错误； B、互为倒数，故B错误； C、都是﹣3，故C错误；
D、只有符号不同的两个数互为相反数，故D正确； 故选：D．
【点评】本题考查了相反数，先化简，再判断相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长
【考点】中心投影；平行投影． 【专题】应用题．
【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长． 【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长． 故选：D．
【点评】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
7
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确． 故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．某市2008年第一季度财政收入为41.76亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为（ ）
98
A．41×10元 B．4.1×10元 C．4.2×10元 D．41.7×10元 【考点】科学记数法与有效数字．
【分析】根据科学记数法的含义：将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
8
【解答】解：∵1亿=10，
9
∴41.76亿=4.176×10，
9
∴41.76亿≈4.2×10． 故选C．
【点评】此题考查考生对科学记数法的理解，保留两位小数就是从左边第一位数起的前两个首位不为0的数，在保留时要进行四舍五入．
5．⊙O的半径为6，一条弦长
，以3为半径的同心圆与这条弦的关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．
【分析】此题首先根据垂径定理和勾股定理求得圆心到弦的距离，再进一步根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：如图，OA=OC=OB=6，OC⊥AB，交AB于点D． ∵AB=6∴OD=
，由垂径定理知，点D是AB的中点，AD=3
=3，
，
∴以3为半径的同心圆与AB弦的关系为相切． 故选A．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理以及直线与圆的位置关系与数量之间的关系来进行求解．
6．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
8
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象． 【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】主要考查了能通过分析题中的实际意义找出变量之间的关系和函数图象的读图能力．
2
【解答】解：根据题意和图形可知：y=x，0＜x≤10，所以y与x之间函数关系的大致图象是． 故选D．
【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A． B．
C．6π D．以上答案都不对
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质． 【专题】压轴题．
【分析】从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是BC，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积﹣小扇形面积．
【解答】解：阴影面积==π．
故选D．
【点评】本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形．
9
2
8．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【专题】代数综合题．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）． 【解答】解：解法一：逐项分析
2
A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
2
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，
与图象不符，故B选项错误；
2
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
2
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx+2x+2开口方向朝上，对称轴为
x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0， 一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0， 对称轴x=＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧， 一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D．
10
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将9-14各小题的答案填写在第14小题后面的表格内．
9．= 5 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先化简二次根式，再进一步按照顺序计算即可．
【解答】解：原式=
=
=5．
故答案为：5．
【点评】此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步计算即可．
10．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是 50，50 ． 【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：20，25，30，50，50，50，135， 则众数为：50， 中位数为：50． 故答案为：50，50．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
11．有一支夹子如图所示，AB=2BC，BD=2BE，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ为6cm，如果想用夹子的尖端A、D两点夹住P、Q两点，那么手握的地方EC至少要张开 3 cm．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】首先从题目中整理出相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求解． 【解答】解：∵AB=2BC，BD=2BE，
11
∴△ADB∽△CEB， ∴AD：EC=AB：BC， 当AD=PQ=6cm时， ∴6：EC=2：1， 解得：EC=3cm， 故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大．
12．将一个均匀的转盘平均分成若干份，其中两份涂上白色，一份涂上黄色，其余涂成红色，若任意转动转盘指针指向白色的概率为0.5，则任意转动转盘指针指向红色的概率为 0.25 ． 【考点】几何概率．
【分析】先由指针指向白色的概率为0.5，求出整个转盘平均分成的份数，然后求出红色所占的份数，即可求出转动转盘指针指向红色的概率．
【解答】解：∵两份涂上白色，转盘指针指向白色的概率为0.5， ∴整个转盘平均分成的份数为：2÷0.5=4， ∴红色所占的份数为：4﹣2﹣1=1，
所以转动转盘指针指向红色的概率为：1÷4=0.25． 故答案为：0.25．
【点评】本题主要考查了几何概率的计算方法，解题的关键是：求出整个转盘平均分成的份数．
13．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8 ．
【考点】解直角三角形；菱形的性质． 【专题】计算题．
【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值． 【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2， 因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，
于是，
解得x=10，即AB=10． 所以易求BE=8，AE=6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
12
故由三角形面积公式有： AB•PE=BE•AE， 求得PE的最小值为4.8． 故答案为 4.8．
【点评】本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．
14．如图，在边长为1的正方形网格中，按照某种规律排列而成的“工”字形图案．
（1）第1、2图中“工”字形图案的周长分别是 16、26 ．
（2）推测第n个图中“工”字形图案的周长y与n之间的函数关系式： y=10n+6 ． 【考点】规律型：图形的变化类；函数关系式．
【分析】（1）第一个图中“工”字形图案的周长为3×4+2×2=16；第二个图中“工”字形图案的周长为5×4+3×2=26；第三个图中“工”字形图案的周长为7×4+4×2=36；
（2）由以上计算可以看出第n个图中“工”字形图案的周长为（2n+1）×4+（n+1）×2=10n+6，由此得出答案即可．
【解答】解：（1）第1、2图中“工”字形图案的周长分别是16、26；
（2）推测第n个图中“工”字形图案的周长y与n之间的函数关系式：y=（2n+1）×4+（n+1）×2=10n+6．
故答案为：16、26；y=10n+6．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题．
三、作图题（本题满分8分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15．已知：线段a，h
求作：等腰△ABC，使底边BC=a，且BC边上的中线等于h．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）作AB=a；（2）作AB的垂直平分线CF，垂足为C；（3）在CF上截取CD=b；（4）连接AD、BD，即可得等腰三角形．
【解答】解：如图，△ABD即为所求三角形．
13
【点评】本题考查了复杂作图，要熟悉线段垂直平分线的作法和等腰三角形的判定和性质．难度不大，要注意不能用刻度尺测量．
四、解答题（本题满分70分，共有9道小题）
16．（1）解不等式组：；
（2）解方程： +2=．
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组． 【专题】计算题．
【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）由①得：x≤2； 由②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2； （2）去分母得：1﹣x+2x﹣4=1， 解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．某校为了增加初三学生的复习时间，把上课时间提前到7：10；初二综合实践活动小组想探索这一举措的合理性，决定对初三学生到校时间及早餐质量进行调查．他们从早上6：30开始在校门口对初三到校学生进行观察统计，并把统计结果绘成条形统计图；然后对初三学生早餐质量进行抽样调查，并把结果画成扇形统计图．
14
1）该校初三学生约有 480 人，迟到学生有 120 人，占初三学生总数的 25 %． 2）计算因担心迟到而在路上随便吃点早餐的初三学生数．
3）通过以上信息，你认为“初三提前到7：10上课”这一举措是否合理？谈谈你的看法（不超过30字）
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图．
【分析】（1）把各组的人数相加即可求得初三学生数，以及迟到的学生数，进而求得占初三学生所占的百分比；
（2）利用总数乘以所对的百分比即可；
（3）根据实际情况，结合吃早餐的情况谈一下说法即可．
【解答】解：（1）初三学生的人数是：17+43+80+220+65+45+10=480（人）， 迟到的学生人数是：65+45+10=120（人），
占初三学生的百分比是：×100%=25%． 故答案是：480，120，25；
（2）因担心迟到而在路上随便吃点早餐的初三学生数是：480×（1﹣55%﹣15%）=144（人）； （3）根据调查可以得到“初三提前到7：10上课”这一举措不合理，影响学生早餐质量．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
18．某商场为了吸引顾客，设计了一个摸球获奖的箱子，箱子有20个球，其中红球2个，兰球3个，黄球5个，白球10个，并规定购买100元的商品，就有一次摸球的机会，摸到红、兰、黄、白球的（一次只能摸一个），顾客就可以分别得到80元、30元、10元、0元购物卷，凭购物卷仍然可以在商场购买，如果顾客不愿意摸球，那么可以直接获得购物卷10元． （1）每摸一次球所获购物卷金额的平均值是多少？
（2）你若在此商场购买100元的货物，两种方式中你应选择哪种方式？为什么？ 【考点】游戏公平性．
【分析】（1）根据古典概率的知识，可以求得摸到红球，摸到兰球，摸到黄球与摸到白球的概率，则可求得每摸一次球所获购物卷金额的平均值； （2）又由15＞10，可知选择摸球这种方式较合算． 【解答】解：（1）∵P（摸到红球）==
，
+30×
+10×
=15（元）；
，P（摸到兰球）=
，P（摸到黄球）=
，P（摸到白球）
∴每摸一次球所获购物卷金额的平均值为：80×
15
（2）∵15＞10，
∴两种方式中我会选择摸球这种方式，此时较合算．
【点评】此题考查了古典概率在实际问题中的应用．注意仔细分析题目，理解题意是解此题的关键．
19．如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m，某人在点A处测得塔底C的仰角为20°，塔顶D的仰角为23°，求此人距CD的水平距离AB．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.3，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【专题】应用题．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB=20°， ∴BC=AB•tan∠CAB=AB•tan20°． 在Rt△ABD中，∠DAB=23°， ∴BD=AB•tan∠DAB=AB•tan23°．
∴CD=BD﹣BC=AB•tan23°﹣AB•tan20°=AB（tan23°﹣tan20°）．
∴AB==500（m）．
答：此人距CD的水平距离AB约为500m．
【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
20．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，购买2本甲和1本乙需50元，购买3本甲和2本乙需85元．
（1）甲、乙两种图书的售价分别为多少元？
（2）若学校计划共购买这两种图书50本，且投入的经费不超过800元，则最多可购买乙种图书多少本？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）首先设甲图书的售价为x元，乙图书的售价为y元，由题意得等量关系：①2本甲的价钱+1本乙的价钱=50元，②3本甲的价钱+2本乙的价钱=85元，根据等量关系列出方程组即可； （2）设可购买乙种图书a本，则可购买甲种图书（50﹣a）本，根据题意可得不等关系：甲买（50﹣a）本的价格+乙买a本的价格≤800元，根据不等关系列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设甲图书的售价为x元，乙图书的售价为y元，由题意得：
，
解得：
，
16
答：甲图书的售价为15元，乙图书的售价为20元；
（2）设可购买乙种图书a本，由题意得： 20a+15（50﹣a）≤800， 解得：a≤10，
答：最多可购买乙种图书10本．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，以及不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组和不等式．
21．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点． （1）当BE=CE时，求证：AE=DE；
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？（直接写出结论即可，不用说明理由） （3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，线段EF与线段BC有什么关系？证明你的结论．
【考点】等腰梯形的性质；菱形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质得出∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，根据BE=CE得出∠EBC=∠ECB，求出∠ABE=∠DCE，根据ASA推出△ABE≌△DCE即可；
（2）根据全等三角形的判定推出△ABE≌△DCE，求出BE=CE，根据三角形的中位线性质得出FG=CE，FH=BE，FG∥CE，FH∥BE，得出四边形EGFH是平行四边形，根据菱形的判定得出即可； （3）根据正方形的性质得出∠BEC=90°，根据直角三角形的性质得出即可． 【解答】（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∴∠A=∠D，∠ABC=∠DCB， ∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC﹣∠EBC=∠DCB﹣∠ECB， ∴∠ABE=∠DCE， 在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE， ∴AE=DE；
（2）解：点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形， 理由是：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∴∠A=∠D，
∵E为AD的中点，
17
∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE， ∴BE=CE，
∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴FG=CE，FH=BE，FG∥CE，FH∥BE， ∴四边形EGFH是平行四边形，FG=FH， ∴四边形EGFH是菱形，
即点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形；
（3）EF=BC，
证明：∵菱形EGFH是正方形， ∴∠BEC=90°， ∵F为BC的中点，
∴EF=BC．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定，三角形的中位线性质，正方形的性质，直角三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
22．某校九年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出100千克． 小强：如果以12元/千克的价格销售，那么每天可售出80千克．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系． 小强：我发现每天的销售量在70千克至100千克之间． （1）求y（千克）与x（元）的函数关系式；
（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？利润=销售量×（销售单价﹣进价）． 【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设出一次函数解析式y=kx﹣b，利用待定系数法解答即可； （2）求出x的取值范围，利用配方法求出W的最大值． 【解答】解：（1）设y=kx+b，
把（10，100），（12，80）分别代入解析式得：，
解得：，
18
函数解析式我y=﹣10x+200． （2）W=y（x﹣8）
=（﹣10x+200）（x﹣8）
2
=﹣10x+280x﹣1600
2
=﹣10（x﹣28x）﹣1600
222
=﹣10（x﹣28x+14﹣14）﹣1600
2
=﹣10（x﹣14）+1960﹣1600
2
=﹣10（x﹣14）+360
∵销售量在70千克至100千克之间， ∴70≤﹣10x+200≤100， ∴10≤x≤13，
2
∴当x=13时，取得最大利润W=﹣10（13﹣14）+360=350元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，借助配方法解答，要注意x的取值范围．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，值得研究．
23．我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．
332
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：1+2=3？ 【解决问题】
3
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
3
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2 而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
332
由此可得：1+2=3
3332
【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究：1+2+3= 6 ． 要求：自己构造图形并写出详细的解题过程．
【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1+2+3+…+n=
3333
．
（参考公式：）
注意：只需填空并画出图形即可，不必写出解题过程．
【提炼运用】如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的， 如图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0个看不见； 如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1个看不见； 如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8个看不见；
求：从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数．
19
【考点】立体图形；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景．
【分析】【递进探究】如图，A表示一个1×1的正方形，B、C、D表示2个2×2的正方形，E、F、G表示3个3×3的正方形，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方
3332
形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出1+2+3=6；
33332
【推广探究】由上面表示几何图形的面积探究知，1+2+3+…+n=（1+2+3+…+n），进一步化简即可．
【解答】解：【递进探究】
3
如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1=1，
3
B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2，
3
E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3=3，
而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3=6， ∵SA+SB+SC+SD+SE+SF+SG=S大正方形，
3332
∴1+2+3=6； 【推广探究】
33332
由上面表示几何图形的面积探究知，1+2+3+…+n=（1+2+3+…+n），
又∵1+2+3+…+n=，
∴1+2+3+…+n=（
3333
）=
2
．
【提炼运用】
3
图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0=（1﹣1）个看不见；
3
如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1=（2﹣1）个看不见；
3
如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8=（3﹣1）个看不见； …，
3
从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为：（1﹣1）+（2
﹣1）+（3﹣1）+…+（101﹣1）=0+1+2+…+100=
3333333
=26532801．
20
故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为26532801．
故答案为：6；
2
．
【点评】此题主要考查了立体图形、平方差公式的证明，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．
24．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒．设P、Q移动时间为t（0＜t＜4），解答下列问题： （1）求出P点的坐标（用t表示）；
2
（2）求△OPQ面积S（cm），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）△OPQ能否是直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，说明理由．
21
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据△APM∽△ABO，可以求出点P的坐标．
（2）过点P作PN⊥OQ于点N，得到S与t的函数关系式，然后利用二次函数的性质，求出S的最大值以及对应的t值．
（3）利用∠OPQ=90°时确定t的值．
【解答】解：（1）如图1，作PM⊥AO交AO于点M，
∵OA=3cm，OB=4cm， ∴AB=
=5cm．
∵△APM∽△ABO， ∴
=
=
，
∴MP=，AM=
，
∴P（，3﹣）． （2）如图2：
过点P作PN⊥OQ于点N，则PN=3﹣t， S=OQ•PN =t（3﹣）
=﹣
t2
+t， ∵a=﹣
＜0，
22
∴当t=时，S有最大值，且S最大值=． （3）△OPQ能成为直角三角形．
∵∠POQ＜90°，OQ=t＞ON，∠OQP＜90°， ∴只有∠OPQ可能是90°， 当∠OPQ=90°时， △OPN∽△PQN， ∴=，
∴PN2
=ON•NQ
（3﹣）2
=×， 解得：t1=3，t2=15， ∵OB=4＜15， ∴t=3．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是三角形相似的判定及性质的应用．
23
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