青岛市黄岛区中考数学模拟试卷（六）含答案解析

山东省青岛市黄岛区中考数学模拟试卷（六）

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的标号填入题后括号内 1．3的算术平方根是（ ） A．3

B．﹣3 C．±

D．

2．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）

A． B． C． D．

3．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．外切

5．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据： 次数 黑棋数

1 1

2 3

3 0

4 2

5 3

6 4

7 2

8 1

9 1

10 3

根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（ ） A．60枚 B．50枚 C．40枚 D．30枚

6．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）

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A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3）

7．如图，点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′．则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图象的解析式是（ ）

A．y=﹣（x＞0） B．y=（x＞0） C．y=﹣（x＞0） D．y=（x＞0）

8．梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（ ）

A．2.5AB

B．3AB C．3.5AB D．4AB

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将下列各小题的答案填写在题后横线上．

9．通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到7月为止，全国感染人数约为20 000人左右，占全球人口的百分比约为0.000 0031，将数字0.000 0031用科学记数法表示为 ． 10．计算：

= ．

11．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 ．

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12．如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 ．

13．如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=40°，则∠BMC的度数是 ．

14．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．如图所示，某小区有一段圆弧形篱笆AB，要充分利用这段圆弧形篱笆，建一个扇形花园．请你画出这个扇形花园的示意图．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16．某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？

（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？

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（3）补全频数分布折线统计图．

17．小明、小亮做一个“配色”的游戏．下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色．这种情况下小亮得1分；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明得1分；在其它情况下，则小明、小亮不分胜负．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？

18．（1）化简：（﹣）•

（2）解方程组：．

19．如图，一艘船以每小时30海里的速度向东北方向航行，在A处观测灯塔S在船的北偏东75°的方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向．已知距离此灯塔8海里以外的 海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

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20．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

进价（元/件） 售价（元/件）

A 1200 1380

B 1000 1200

（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；

（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？

21．已知：如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC． （1）求证：AB=AF；

（2）若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

22．今年我市的蔬菜市场从5月份开始，由于本地蔬菜的上市，某种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数：y=﹣

x2+bx+c．

（1）求出5月份y与x所满足的二次函数关系式；

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（2）若5月份的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=﹣0.2x+2．求出5月份销售此种蔬菜一千克的利润W（元）与周数x的函数关系式，并求出在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润是多少？ 23．【问题引入】

几个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，水桶有大有小．他们该怎样排队才能使得总的排队时间最短？

假设只有两个人时，设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟（显然T＞t），若拎着大桶者在拎着小桶者之前，则拎大桶者可直接接水，只需等候T分钟，拎小桶者一共等候了（T+t）分钟，两人一共等候了（2T+t）分钟；反之，若拎小桶者在拎大桶者前面，容易求出出两人接满水等候（T+2t）分钟．可见，要使总的排队时间最短，拎小桶者应排在拎大桶者前面．这样，我们可以猜测，几个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，要使总的排队时间最短，需将他们按水桶从小到大排队． 规律总结：

事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了 分钟，共节省了 分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 【方法探究】

一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法． 【实践应用1】

如图1在锐角△ABC中，AB=

，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是

AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？ 解析：

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（1）先假定N为定点，调整M到合适的位置使BM+MN有最小值（相对的），容易想到，在AC上作AN′=AN（即作点N关于AD的对称点N'），连接BN′交AD于M，则M点是使BM+MN有相对最小值的点．（如图2，M点是确定方法找到的）

（2）在考虑点N的位置，使BM+MN最终达到最小值．可以理解，BM+MN=BM+MN′，所以要使BM+MN′有最小值，只需使 ，此时BM+MN的最小值是 ． 【实践应用2】

如图3，把边长是3的正方形等分成9个小正方形，在有阴影的小正方形内（包括边界）分别取点P、R，AD∥BC，AD=8cm，CD=6cm，∠C=90°，于已知格点Q（•黄岛区校级模拟）如图，在梯形ABCD中，BC=10cm，点P以每秒1cm的速度从点C出发沿CD向点D运动，同时点E以每秒2cm的速度从PE，点B出发沿BC向点C运动，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，连接PA，设运动时间为t秒．（0＜t＜5）

（1）求边AB的长度； （2）当t为何值时，PE∥AB；

（3）设四边形APEF面积为S．求S关于t的函数关系式；

（4）是否存在某一时刻t，使得四边形APEF的面积是梯形ABCD面积的？若存在，求出此时点E的位置；若不存在，请说明理由．

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山东省青岛市黄岛区中考数学模拟试卷（六）

参与试题解析

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的标号填入题后括号内 1．3的算术平方根是（ ） A．3

B．﹣3 C．±

D．

【考点】算术平方根． 【专题】常规题型．

【分析】根据算术平方根的定义进行解答． 【解答】解：∵（∴3的算术平方根是故选D．

【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，是基础题，比较简单．

2．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）

）2=3， ．

A． B． C． D．

【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．

【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2．据此可作出判断． 【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形． 故选A．

【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．

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3．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：图形（1），图形（2），图形（4）既是轴对称图形，也是中心对称图形． 图形（3）是轴对称图形，不是中心对称图形． 既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是3个． 故选C．

【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．外切 【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】求出⊙O的半径，和圆心O到直线l的距离5比较即可． 【解答】解：∵⊙O的直径是10， ∴⊙O的半径r=5，

∵圆心O到直线l的距离d是5， ∴r=d，

∴直线l和⊙O的位置关系是相切， 故选C．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切．

5．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：

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次数 黑棋数

1 1

2 3

3 0

4 2

5 3

6 4

7 2

8 1

9 1

10 3

根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（ ） A．60枚 B．50枚 C．40枚 D．30枚 【考点】利用频率估计概率．

【分析】利用已知提供的数据求出黑棋子的比例，进而假设出白棋子个数，列出方程，解方程即可得出白棋子个数．

【解答】解：根据试验提供的数据得出：

黑棋子的比例为：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）÷100=20%， 所以白棋子比例为：1﹣20%=80%， 设白棋子有x枚，由题意， 得

=80%，

所以x=40，

即袋中的白棋子数量约40颗． 故选C．

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据试验次数得出黑棋子的比例，从而得出白棋子个数是解决问题的关键．

6．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为（ ）

A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3） 【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标． 【解答】解：如图，点A′的坐标为（1，3）．

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故选D．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便．

7．如图，点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′．则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图象的解析式是（ ）

A．y=﹣（x＞0） B．y=（x＞0） C．y=﹣（x＞0） D．y=（x＞0）

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移． 【专题】待定系数法．

【分析】因为点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且横坐标为2，所以可知p（2，），将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′的坐标为（4，）． 【解答】解：设反比例函数的解析式为∴=，得k=6，

∴反比例函数解析式为y=． 故选D．

【点评】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．

（k≠0），函数经过点P′（4，），

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8．梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（ ）

A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB

【考点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质． 【专题】计算题；证明题；压轴题．

【分析】过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求证四边形ADMB是平行四边形，再利用

∠ADC+∠BCD=90°，求证△MBC为Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可． 【解答】解：过点B作BM∥AD，

∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形， ∴AB=DM，AD=BM， 又∵∠ADC+∠BCD=90°，

∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC为Rt△， ∴MC2=MB2+BC2，

∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形， ∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC， =

，

=

，

即AD2=，BC2=

，

∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=∵S1+S3=4S2，

∴MC2=4AB2，MC=2AB， CD=DM+MC=AB+2AB=3AB． 故选：B．

+=，

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【点评】此题涉及到相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，解答此题的关键是过点B作BM∥AD，此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB，此题有一定的拔高难度，属于难题．

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将下列各小题的答案填写在题后横线上．

9．通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到7月为止，全国感染人数约为20 000人左右，占全球人口的百分比约为0.000 0031，将数字0.000 0031用科学记数法表示为 3.1×10﹣6 ．

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000 0031=3.1×10﹣6， 故答案为：3.1×10﹣6．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10．计算：

【考点】负整数指数幂；零指数幂．

【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂的定义分别化简，再进行加法运算即可． 【解答】解：原式=3+1 =4．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的定义，用到的知识点：a﹣p=（a≠0）．

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（a≠0），a0=1

= 4 ．

11．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【专题】应用题．

【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时间+采用新技术后所用时间=18天．

【解答】解：采用新技术前所用时间为：∴所列方程为：

+

=18．

，采用新技术后所用时间为：

，

+

=18 ．

【点评】找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．注意工作时间=工作总量÷工作效率．

12．如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 2 ．

【考点】圆锥的计算．

【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径． 【解答】解：扇形的弧长=∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2． 故答案为：2．

【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．

13．如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=40°，则∠BMC的度数是 110° ．

=4π，

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【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据∠A1MD1=40°，得∠A1MA+∠DMD1=180°﹣40°=140°，根据折叠的性质，得∠A1MB=AMB，∠D1MC=∠DMC，从而求解． 【解答】解：∵∠A1MD1=40°， ∴∠A1MA+∠DMD1=180°﹣40°=140°，

根据折叠的性质，得∠A1MB=AMB，∠D1MC=∠DMC， ∴∠BMC=140°×+40°=110°． 故答案为：110°．

【点评】本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠得到相等的角，结合平角定义进行求解，难度一般．

14．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n2+2n ．

【考点】多边形． 【专题】压轴题；规律型．

【分析】第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n． 【解答】解：第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n． 故答案为：n2+2n．

【点评】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

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15．如图所示，某小区有一段圆弧形篱笆AB，要充分利用这段圆弧形篱笆，建一个扇形花园．请你画出这个扇形花园的示意图．

【考点】垂径定理的应用；作图—应用与设计作图． 【分析】在OB即可．

【解答】解：如图所示；

上任取一点D，连接AD，BD，分别作AD与BD的垂线，两直线交于点O，连接OA，

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）

16．某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？

（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线统计图．

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【考点】折线统计图；频数与频率；扇形统计图． 【专题】图表型．

【分析】（1）读图可知喜欢乒乓球的有20人，占20%．所以一共调查了20÷20%=100（人）； （2）喜欢足球的30人，应占

×100%=30%，喜欢排球的人数所占的比例为1﹣20%﹣40%﹣

30%=10%，所占的圆心角为360°×10%=36°；

（3）进一步计算出喜欢篮球的人数：40%×100=40（人），喜欢排球的人数：10%×100=10（人）．可作出折线图． 【解答】解：

（1）20÷20%=100（人）， 答：一共调查了100名学生；

（2）喜欢足球的占

×100%=30%，

所以喜欢排球的占1﹣20%﹣40%﹣30%=10%， 360°×10%=36°．

答：喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是36度；

（3）喜欢篮球的人数：40%×100=40（人）， 喜欢排球的人数：10%×100=10（人）．

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【点评】本题考查学生的读图能力以及频率、频数的计算．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

17．小明、小亮做一个“配色”的游戏．下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色．这种情况下小亮得1分；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明得1分；在其它情况下，则小明、小亮不分胜负．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与配成紫色与配成绿色的情况，然后利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知游戏对双方是否公平，注意当得分相等时，就公平． 【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，配成紫色的有3种情况，配成绿色的有2种情况，

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∴P（小亮得1分）=

=，P（小明得1分）=

=，

∴这个游戏对双方不公平；

规则：红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小亮得2分；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明得3分．

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，然后求得各自得分，比较得分即可知是否公平．

18．（1）化简：（

﹣

）•

（2）解方程组：．

【考点】分式的混合运算；解二元一次方程组． 【分析】（1）运用分式的混合运算顺序求解即可， （2）利用解二元一次方程组的步骤求解即可． 【解答】解：（1）（

﹣

）•

==a+3，

（2）解方程组：①﹣②×3得y=1，

•，

把y=1代入②得x=5， 所以原方程组的解为

．

【点评】本题主要考查了分式的混合运算及解二元一次方程组，解题的关键是灵活运用分式的混合运算顺序及解二元一次方程组的步骤．

19．如图，一艘船以每小时30海里的速度向东北方向航行，在A处观测灯塔S在船的北偏东75°的方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向．已知距离此灯塔8海里以外的 海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

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【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【专题】应用题；压轴题．

【分析】问这艘船能否可以继续沿东北方向航行，只要证明D与S的距离要大于8海里，可以做与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C．则△ABC，△ACS都是直角三角形，可以运用勾股定理来计算．

【解答】解：作与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C，过点S作SD⊥AB于D． ∵AB=30×

=6（海里），

∵∠CAB=45°，∠ACB=90°， ∴AC=BC=AB•sin45°=6×

=3

（海里），

∵∠CAS=75°，∠ACS=90°， ∴SC=AC•tan75°=3∴BS=3

+3

×（2+

）=6

+3

（海里），

（海里），

∵∠DBS=∠ABC=45°， ∴SD=BS•sin45°=（3

+3

）×

=3+3

≈8.2＞8，

∴这艘船可以继续沿东北方向航行．

【点评】此题考查的是对直角三角形勾股定理的运用．

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20．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

进价（元/件） 售价（元/件）

A 1200 1380

B 1000 1200

（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；

（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？ 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】销售问题．

【分析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解． （2）由（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价． 【解答】解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件， 根据题意得

化简得，解之得．

答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．

（2）由于第二次A商品购进400件，获利为 （1380﹣1200）×400=72000（元）

从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000=9600（元） 设B商品每件售价为z元，则 120（z﹣1000）≥9600 解之得z≥1080

所以B种商品最低售价为每件1080元．

【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确地解不等式组是需要掌握的基本能力．

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21．已知：如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC． （1）求证：AB=AF；

（2）若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

【分析】（1）根据AAS证出△ABC≌△AFE，根据全等三角形的性质推出即可； （2）求出AF=CF，证△DAF≌△GCF，推出AD=CG，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC， ∴∠ABC=∠AFE=90°， 在△ABC和△AFE中 ∵

，

∴△ABC≌△AFE（AAS）， ∴AB=AF．

（2）四边形AGCD是菱形． 证明：∵∠ACB=30°，∠ABC=90°， ∴2AB=AC， ∵AB=AF，

∴AC=2AF=AF+FC， ∴AF=CF， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠FCG，

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在△DAF和△GCF中

，

∴△DAF≌△GCF（ASA）， ∴AD=CG， ∵AD∥CG，

∴四边形AGCD是平行四边形， ∵DG⊥AC，

∴平行四边形AGCD是菱形．

【点评】本题考查了直角梯形，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．

22．今年我市的蔬菜市场从5月份开始，由于本地蔬菜的上市，某种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数：y=﹣

x2+bx+c．

（1）求出5月份y与x所满足的二次函数关系式；

（2）若5月份的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=﹣0.2x+2．求出5月份销售此种蔬菜一千克的利润W（元）与周数x的函数关系式，并求出在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=﹣函数解析式；

x2+bx+c可求b、c的值，确定二次

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（2）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围，求最大利润． 【解答】解：（1）将（1，2.8）（2，2.4）代入y=﹣

x2+bx+c．

可得：，

解得：，

即y=﹣

x2﹣x+3.1．

（2）5月份此种蔬菜利润可表示为：W=y﹣m=（﹣0.05x2﹣0.25x+3.1）﹣（﹣0.2x+2）， 即：W=﹣0.05x2﹣0.05x+1.1

由函数解析式可知，五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为：x=﹣

=﹣，

即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W=﹣0.05﹣0.05+1.1=1（元/千克）．

【点评】本题考查了二次函数解析式求法及二次函数的实际应用，解答本题的关键是求出两函数关系式，将实际问题转化为数学计算，有一定难度．

23．【问题引入】

几个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，水桶有大有小．他们该怎样排队才能使得总的排队时间最短？

假设只有两个人时，设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟（显然T＞t），若拎着大桶者在拎着小桶者之前，则拎大桶者可直接接水，只需等候T分钟，拎小桶者一共等候了（T+t）分钟，两人一共等候了（2T+t）分钟；反之，若拎小桶者在拎大桶者前面，容易求出出两人接满水等候（T+2t）分钟．可见，要使总的排队时间最短，拎小桶者应排在拎大桶者前面．这样，我们可以猜测，几个人拎着水桶在一个水龙头前面排队打水，要使总的排队时间最短，需将他们按水桶从小到大排队． 规律总结：

事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人

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的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了 2m+2t+T 分钟，共节省了 T﹣t 分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 【方法探究】

一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法． 【实践应用1】

如图1在锐角△ABC中，AB=

，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是

AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？ 解析：

（1）先假定N为定点，调整M到合适的位置使BM+MN有最小值（相对的），容易想到，在AC上作AN′=AN（即作点N关于AD的对称点N'），连接BN′交AD于M，则M点是使BM+MN有相对最小值的点．（如图2，M点是确定方法找到的）

（2）在考虑点N的位置，使BM+MN最终达到最小值．可以理解，BM+MN=BM+MN′，所以要使BM+MN′有最小值，只需使 BM+MN′=BN′ ，此时BM+MN的最小值是 4 ． 【实践应用2】

如图3，把边长是3的正方形等分成9个小正方形，在有阴影的小正方形内（包括边界）分别取点P、R，AD∥BC，AD=8cm，CD=6cm，∠C=90°，于已知格点Q（•黄岛区校级模拟）如图，在梯形ABCD中，BC=10cm，点P以每秒1cm的速度从点C出发沿CD向点D运动，同时点E以每秒2cm的速度从PE，点B出发沿BC向点C运动，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，连接PA，设运动时间为t秒．（0＜t＜5）

（1）求边AB的长度； （2）当t为何值时，PE∥AB；

（3）设四边形APEF面积为S．求S关于t的函数关系式；

（4）是否存在某一时刻t，使得四边形APEF的面积是梯形ABCD面积的？若存在，求出此时点E的位置；若不存在，请说明理由．

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【考点】相似形综合题．

【分析】（1）过点A作AM⊥BC，在Rt△ABM中，利用勾股定理可得结果；

（2）由PE∥AB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△PCE∽△AMB，由PC=t，CE=10﹣2t，BM=2t，利用相似三角形的性质可得t；

（3）首先利用AA定理证得△AMB∽△EFB，由相似三角形的性质可得EF，BF，利用三角形的面 积公式求得△CPE，△EFB，△EFB的面积，利用S=S梯形ABCD﹣S△ADP﹣S△CPE﹣S△EFP可得结果；（4）利用（3）的结果，根据题意可得S=S梯形ABCD，解得t，看t是否在0＜t＜5判断是否存在，根据t得BE，确定点E的位置． 【解答】解：（1）过点A作AM⊥BC，

在Rt△ABM中，AM=CD=6cm，BM=BC﹣CM=BC﹣AD=10﹣8=2cm， ∴AB=

（2）若PE∥AB，则∠PEC=∠B， ∵∠C=∠AMB=90°， ∴△PCE∽△AMB， ∴

，

=

=2

（cm）；

∵PC=t×1=t，CE=10﹣2t，BM=2t， ∴解得：t=∴当t=

（3）∵∠B=∠B，∠AMB=∠EFB，

， （秒 ）， 秒时，PE∥AB；

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∴△AMB∽△EFB， ∴∴∴EF=∵S梯形ABCD=

=

， =

，

，

=，

=24﹣4t， =﹣t2+5t，

S△EFB=

=

=t2，

﹣（24﹣4t）﹣（﹣t2+5t）﹣t2，

，FB=

∴S=S梯形ABCD﹣S△ADP﹣S△CPE﹣S△EFP=∴S=t2﹣t+30；

（4）存在．

由题意得， t2﹣t+30=解得：t1=0，∵0＜t＜5，

，

=30，

∴当t=时，使得四边形APEF的面积是梯形ABCD面积的， ∴BE=2×=5， 即点E是BC的中点．

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及判定定理和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．

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