2020年山东省青岛市西海岸新区、黄岛区中考数学一模试卷 解析版

2020年山东省青岛市西海岸新区、黄岛区中考数学一模试卷

一、选择题：（每小题3分，共计24分） 1．（3分）﹣A．﹣

的绝对值是（ ）

B．

C．

D．﹣

2．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

3．（3分）下面计算正确的是（ ） A．x3+4x3＝5x6 C．（﹣2x2）3＝8x6

B．22x2÷x＝4x

D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2

4．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．新冠肺炎疫情发生后，某班学生积极参加献爱心活动，该班40名学生的捐款统计情况如表，关于捐款金额，下列说法错误的是（ ） 金额/元 人数

A．平均数为32元 C．中位数为20元

10 2

20 18

30 10 B．众数为20元 D．极差为90元

50 8

100 2

5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝130°，则∠ADP的大小为（ ）

A．25°

B．30°

C．35°

D．40°

6．（3分）如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的

点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（ ）

A．（a﹣2，b）

B．（a+2，b）

C．（﹣a﹣2，﹣b） D．（a+2，﹣b）

7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若BC＝8，AB＝10，则CE的长为（ ）

A．3

B．

C．

D．

8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝cx﹣a与反比例函数y＝

在同一坐标系内的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：

﹣2sin45°＝ ．

10．（3分）人体内某种细胞的形状可近似看做球体，它的直径约为0.0000032m，数字0.00000032用科学记数法表示为 ．

11．（3分）已知反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣1的图象的一个交点的纵坐标是2，则k的值为 ．

12．（3分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形△ABC，将绕边AB的中点O逆时针旋转60°，点C的运动路径为

，则图中阴影部分的面积为 ．

13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝2，AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为 ．

14．（3分）如图，有一棱长为4dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为 dm．

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15．（4分）已知：如图，线段a，∠α

求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝∠α，AB＝a．

四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16．（1）化简：

÷（

﹣1）；

（2）解不等式组：．

17．小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的三个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色．小明和小亮参加这个游戏，并约定：若配成紫色，则小明贏；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

18．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分﹣分为良好；60分﹣79分为及格；60分以下为不及格．某校为了解学生的体质健康情况，从八年级学生中随机抽取了20%的学生进行了体质测试，并将测试数据制成如图统计图．请根据相关信息解答下面的问题：

（1）扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是多少？

（2）求参加本次测试学生的平均成绩；

（3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有96人，请你估计全校八年级“不及格”等级的学生大约有多少人．

19．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端E的仰角分别为∠α＝48°和∠β＝65°，矩形建筑物的宽度AD＝18m，高度CD＝30m，求信号发射塔顶端到地面的距离EF．（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）

20．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用3000元购进甲，乙两种不同型号的口罩共1100个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的1.2倍． （1）求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？

（2）若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过7000元的资金再次购进甲，乙两种口罩共2600个，求甲种口罩最多能购进多少个？

21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作∠ADC和∠ABC的平分线，分别交AC于点G，H，延长DG交AB于点E，延长BH交CD于点F． （1）求证：△ADG≌△CBH；

（2）若BD平分∠CDE，则四边形DEBF是什么特殊四边形？请说明理由．

22．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一种商品，其成本为每件60元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%．据市场调查发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表： 销售单价x（元） 月销售量y（件）

（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该商品的销售单价？

23．[提出问题]正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？

[探索发现]（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣正三角形入手

如图①，△ABC是正三角形，边长是a，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离分别为h1、h2、h3，确定h1+h2+h3的值与△ABC的边及内角的关系．

（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，边长是a，P是正五边形ABCDE内任意一点，P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照（1）的探索过程，确定h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形ABCDE的边及内角的关系． （3）类比上述探索过程：

正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6＝ ． 正八边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8＝ ． [问题解决]正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+…+hn＝ ．

65 70 75 80 …

475 450 425 400 …

24．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10cm，CD＝4cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点C出发，沿DC方向在DC的延长线上匀速运动，速度为1cm/s；当点P到达点B时，点Q停止运动．过点P作PE∥BD，交AD于点E．连接EQ，BQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

（1）连接PQ，当t为何值时，PQ∥AD？

（2）设四边形PBQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使EQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2020年山东省青岛市西海岸新区、黄岛区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题：（每小题3分，共计24分） 1．（3分）﹣A．﹣

的绝对值是（ ）

B．

C．

D．﹣

【分析】根据绝对值的定义，可以得到﹣【解答】解：﹣故选：B．

的绝对值是

，

的绝对值是多少．

2．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A．

3．（3分）下面计算正确的是（ ） A．x3+4x3＝5x6 C．（﹣2x2）3＝8x6

B．22x2÷x＝4x

D．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2

【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、x3+4x3＝5x3，故此选项错误；

B、22x2÷x＝4x，正确；

C、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项错误； D、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，故此选项错误； 故选：B．

4．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．新冠肺炎疫情发生后，某班学生积极参加献爱心活动，该班40名学生的捐款统计情况如表，关于捐款金额，下列说法错误的是（ ） 金额/元 人数

A．平均数为32元 C．中位数为20元

10 2

20 18

30 10 B．众数为20元 D．极差为90元

50 8

100 2

【分析】根据加权平均数、众数、中位数、极差的定义，分别求出，就可以进行判断． 【解答】解：平均数为：符合题意；

捐款数中最多的是20元，因而众数为20元，故B不符合题意；

将捐款数从小到大的顺序排列，处于最中间的两个数为20元，30元，中位数为（20+30）÷2＝25（元），故C符合题意；

极差为：100﹣10＝90（元），故D不符合题意． 故选：C．

5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝130°，则∠ADP的大小为（ ）

＝32（元），故A不

A．25°

B．30°

C．35°

D．40°

【分析】连接OD，PD与⊙O相切，可得OD⊥PD，再根据四边形ABCD为⊙O的内接四边形，可得∠DAP＝∠BCD＝130°，进而可求∠ADP的大小． 【解答】解：如图，连接OD，

∵PD与⊙O相切， ∴OD⊥PD， ∴∠ODP＝90°，

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠DAP＝∠BCD＝130°， ∴∠OAD＝180°﹣130°＝50°， ∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD＝50°，

∴∠ADP＝∠ODP﹣∠ODA＝90°﹣50°＝40°． 故选：D．

6．（3分）如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为（ ）

A．（a﹣2，b）

B．（a+2，b）

C．（﹣a﹣2，﹣b） D．（a+2，﹣b）

【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【解答】解：由图可知，△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称， 设点P′的坐标为（x，y）， 所以，

＝﹣1，

＝0，

解得x＝﹣a﹣2，y＝﹣b， 所以，P′（﹣a﹣2，﹣b）．

故选：C．

7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若BC＝8，AB＝10，则CE的长为（ ）

A．3

B．

C．

D．

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

【解答】解一：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°，

∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD， ∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF， ∴CE＝CF，

∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°， ∴FC＝FG，

∵BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°， ∴AC＝6，

∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴∴

＝＝， ，

∵FC＝FG，

∴＝，

解得：FC＝3， 即CE的长为3．

解二：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°，

∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD， ∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF， ∴CE＝CF，

∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°， ∴FC＝FG．

∵BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°， ∴AC＝6．

设FG＝x，则FC＝x． ∵S△ABC＝S△AFC+S△AFB， ∴×6x+×10x＝×6×8， ∴x＝3． ∴CE＝3． 故选：A．

8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝cx﹣a与反比例函数y＝

在同一坐标系内的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据二次函数的图象所经过的象限可以判定a、b、c的符号，从而得到ab的符号，易得一次函数与反比例函数所经过的象限．

【解答】解：如图，抛物线y＝ax2+bx+c开口方向向上，则a＞0．

抛物线对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即ab＜0．所以反比例函数y＝经过第二、四象限．

又因为抛物线与y轴的交点位于负半轴， 所以c＜0．

所以一次函数y＝cx﹣a的图象经过第二、三、四象限． 观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B．

的图象

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）计算：﹣2sin45°＝ ．

【分析】先化简二次根式、代入三角函数值，再约分、计算乘法，最后计算减法即可得． 【解答】解：原式＝＝2＝

﹣，

．

﹣2×

故答案为：

10．（3分）人体内某种细胞的形状可近似看做球体，它的直径约为0.0000032m，数字0.00000032用科学记数法表示为 3.2×107 ．

﹣

【分析】绝对值小于1的正数利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，n由原数左边

﹣

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000032＝3.2×107．

﹣

故答案为：3.2×107．

﹣

11．（3分）已知反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣1的图象的一个交点的纵坐标是2，则k的值为 ﹣6 ．

【分析】把y＝2代入一次函数的解析式，即可求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值．

【解答】解：在y＝﹣x﹣1中，令y＝2，得﹣x﹣1＝2 解得x＝﹣3，

则交点坐标是：（﹣3，2），

把（﹣3，2），代入y＝得，k＝﹣6． 故答案为：﹣6．

12．（3分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形△ABC，将绕边AB的中点O逆时针旋转60°，点C的运动路径为

，则图中阴影部分的面积为 2π﹣

．

【分析】如图，连接OC，OC'，设AC于OC'交点为D，由等边三角形的性质和旋转的性质可求OC'＝OC＝2

，∠COC'＝60°，由三角形内角和定理可求∠ADO＝90°，由

面积的和差关系可求解．

【解答】解：如图，连接OC，OC'，设AC与OC'交点为D，

∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝4， ∵点O是AB的中点， ∴AO＝AB＝2，OC⊥AB， ∴∠BOC＝∠AOC＝90°， ∴OC＝BC•sin60°＝2

，

∵将△ABC绕边AB的中点O逆时针旋转60°， ∴OC'＝OC＝2

，∠COC'＝60°，

∴∠AOC'＝∠AOC﹣∠COC'＝30°， ∴∠ADO＝180°﹣∠AOC'﹣∠BAC＝90°， ∴AD＝AO•sin30°＝1，

∴S阴影＝S△AOC′+S扇形C'OC﹣S△AOC＝＝2π﹣

，

．

+×2

×1﹣×2×2

故答案为：2π﹣

13．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝2，AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为

．

【分析】由菱形的性质和勾股定理可求AB的长，由面积法可求CE的长，通过证明△OCF∽△ACE，可得

，可求CF的长，由勾股定理可求OF的长．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝2，BO＝1，AC⊥BD， ∴AB＝

＝

＝

，

∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×CE， ∴4＝∴CE＝

×CE，

，

∵∠OFC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠OCF， ∴△OCF∽△ACE， ∴

∴CE＝2CF， ∴CF＝EF＝∴OF＝故答案为：

， ＝．

＝

，

，

14．（3分）如图，有一棱长为4dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为 4

dm．

【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和D点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于3个棱长，利用勾股定理可求得．

【解答】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AD短路线．

展开后由勾股定理得：AD2＝82+122， 故AD＝4故答案为4

dm． ．

即为最

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15．（4分）已知：如图，线段a，∠α

求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝∠α，AB＝a．

【分析】根据基本作图方法即可作出Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝∠α，AB＝a． 【解答】解：如图，

所以Rt△ABC即为所求．

四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16．（1）化简：

÷（

﹣1）；

（2）解不等式组：．

【分析】（1）根据分式的减法和除法可以解答本题； （2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题． 【解答】解：（1）＝＝＝

；

÷（

﹣1）

（2），

由不等式①，得 x≥

，

由不等式②，得 x＜3，

∴原不等式组的解集是

≤x＜3．

17．小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的三个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能配成紫色．小明和小亮参加这个游戏，并约定：若配成紫色，则小明贏；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

【分析】分别计算出小明、小亮获胜的概率，比较大小即可得出游戏是否公平． 【解答】解：列表如下：

红 黄 蓝

红 （红，红） （黄，红） （蓝红）

蓝 （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝）

蓝 （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝）

由表格可知，共有12种等可能结果，其中配成紫色的有3种结果，颜色相同的有3种结果．

P（小明赢）＝＝，P（小亮赢）＝＝， ∵

，

∴游戏公平．

18．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分﹣分为良好；60分﹣79分为及格；60分以下为不及格．某校为了解学生的体质健康情况，从八年级学生中随机抽取了20%的学生进行了体质测试，并将测试数据制成如图统计图．请根据相关信息解答下面的问题：

（1）扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是多少？ （2）求参加本次测试学生的平均成绩；

（3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有96人，请你估计全校八年级“不及格”等级的学生大约有多少人．

【分析】（1）计算出“不及格”等级所占百分比，然后再利用360°乘以百分比可得“不及格”等级所在扇形圆心角的度数； （2）利用加权平均数的计算方法计算即可； （3）计算出本次测试的总人数再乘以10%即可． 【解答】解：（1）1﹣23%﹣25%﹣42%＝10%，

10%×360°＝36°，

答：“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是36°；

（2）92×23%+84×25%+70×42%+45×10%＝76.06（分） 答：参加本次测试学生的平均成绩为76.06分；

（3）96÷（23%+25%）÷20%×10%＝100（人） 答：全校八年级“不及格”等级的学生大约有100人．

19．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端E的仰角分别为∠α＝48°和∠β＝65°，矩形建筑物的宽度AD＝18m，高度CD＝30m，求信号发射塔顶端到地面的距离EF．（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）

【分析】过点A作AG⊥EF，垂足为G．设EF为x米，由题意可得四边形CDGF是矩形，再根据锐角三角函数即可求出信号发射塔顶端到地面的距离EF． 【解答】解：如图，

过点A作AG⊥EF，垂足为G．设EF为x米， 由题意可知：四边形CDGF是矩形， 则FG＝CD＝30m，DG＝CF， ∴GE＝x﹣30．

在Rt△AEG中，∠AGE＝90°， ∵∴∴

， ， ，

在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，∠ECF＝65°， ∵∴∴

， ，

，

∵DG＝CF， ∴AG＝CF+AD， ∴

，

∴x＝104.58≈104.6（米）．

答：信号发射塔顶端到地面的距离EF为104.6米．

20．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用3000元购进甲，乙两种不同型号的口罩共1100个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的1.2倍． （1）求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？

（2）若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过7000元的资金再次购进甲，乙两种口罩共2600个，求甲种口罩最多能购进多少个？

【分析】（1）设乙种口罩的单价为x元，则甲种口罩的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设该药店购进甲种口罩a只，则购进乙种口罩（2600﹣a）只，根据总价＝单价×数量结合进货总价不超过7000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最

大值即可得出结论．

【解答】解：（1）3000÷2＝1500（元）．

设乙种口罩的单价为x元，则甲种口罩的单价为1.2x元， 依题意，得：解得：x＝2.5，

经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝3．

答：甲种口罩的单价为3元，乙种口罩的单价为2.5元．

（2）设该药店购进甲种口罩a只，则购进乙种口罩（2600﹣a）只， 依题意，得：3a+2.5（2600﹣a）≤7000， 解得：a≤1000．

答：甲种口罩最多购进1000只．

21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作∠ADC和∠ABC的平分线，分别交AC于点G，H，延长DG交AB于点E，延长BH交CD于点F． （1）求证：△ADG≌△CBH；

（2）若BD平分∠CDE，则四边形DEBF是什么特殊四边形？请说明理由．

，

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，∠ADC＝∠ABC，得出∠DAG＝∠BCH，证出∠ADG＝∠CBH，由ASAS即可得出△ADG≌△CBH；

（2）证△CBF≌△ADE（ASA），得出AE＝CF，证出EB＝DF，得出四边形DEBF是平行四边形，再证ED＝EB，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB，∠ADC＝∠ABC， ∴∠DAG＝∠BCH，

∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线， ∴

∴∠ADG＝∠CBH，

，

在△ADG和△CBH中，∴△ADG≌△CBH（ASA）；

，

（2）解：四边形DEBF是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AB＝CD，AB∥CD，∠DAB＝∠BCD， 在△CBF和△ADE中，∴△CBF≌△ADE（ASA）， ∴AE＝CF，

∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即EB＝DF， 又∵AB∥CD，

∴四边形DEBF是平行四边形， ∵BD平分∠CDE， ∴∠CDB＝∠BDE， 又∵AB∥CD， ∴∠CDB＝∠DBA， ∴∠BDE＝∠DBA， ∴ED＝EB，

∴平行四边形DEBF是菱形．

，

22．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一种商品，其成本为每件60元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%．据市场调查发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表： 销售单价x（元）

65

70

75

80

…

月销售量y（件）

475 450 425 400 …

（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该商品的销售单价？

【分析】（1）待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值； （3）根据题意列方程求出x的值，进而得出答案．

【解答】解：（1）根据表格中的数据猜想y与x的函数关系是一次函数， ∴设y＝kx+b，

将x＝65，y＝475；x＝70，y＝450代入y＝kx+b，得解得

，

，

∴y＝5x+800，

经验证，x＝75，y＝425；x＝80，y＝400都满足上述函数关系式， 答：y与x的函数关系式为y＝﹣5x+800；

（2）由题意，得w＝（x﹣60）y＝（x﹣60）（﹣5x+800）＝﹣5x2+1100x﹣48000＝﹣5x2+1100x﹣48000，

∵销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%， ∴

∴60≤x≤90， ∵a＝﹣5＜0，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝110， ∵60≤x≤90，

∴此时函数图象在对称轴的左侧，w随 x的增大而增大， ∴x＝90时，w取得最大值，wmax＝10500；

答：当销售单价x为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元；

，

（3）根据题意得，﹣5x2+1100x﹣48000﹣300＝7700 解得：x1＝80，x2＝140， ∵抛物线开口向下，

∴当80≤x≤140时，每月利润不低于7700元 又∵60≤x≤90，

∴当80≤x≤90时，每月利润不低于7700元， ∵要让消费者得到最大的实惠， ∴x＝80，

答：该商品的销售单价定为80元时，符合该网店要求且让消费者得到最大的实惠． 23．[提出问题]正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的边及内角有什么关系？

[探索发现]（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣正三角形入手

如图①，△ABC是正三角形，边长是a，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离分别为h1、h2、h3，确定h1+h2+h3的值与△ABC的边及内角的关系．

（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，边长是a，P是正五边形ABCDE内任意一点，P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照（1）的探索过程，确定h1+h2+h3+h4+h5的值与正五边形ABCDE的边及内角的关系． （3）类比上述探索过程：

正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6＝ 3atan60° ． 正八边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8＝ 4atan67.5° ．

[问题解决]正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+…+hn＝ （90﹣

）° ．

atan

【分析】（1）设△ABC的面积为S，显然，设△ABC的中心（正多

边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心）为O，连接OA、OB、OC，它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形，过点O作OM⊥AB，垂足为M， 根据锐角三角函数和面积公式即可得结论； （2）设正五边形ABCDE的面积为S，显然

，设正五边形

ABCDE的中心为O，连接OA、OB、OC、OD、OE，它们将正五边形ABCDE分成五个全等的等腰三角形，过点O作OF⊥AB，根据锐角三角函数和面积公式即可得结论； （3）结合（1）（2）的证明过程，同理可证：正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6＝3atan60°．正八边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8＝4atan67.5°．正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+…+hn＝atan（90﹣【解答】解：（1）设△ABC的面积为S， 显然

，

）°．

设△ABC的中心（正多边形各边垂直平分线的交点，又称正多边形的中心）为O， 连接OA、OB、OC，

它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形， 过点O作OM⊥AB，垂足为M， 易知所以那么所以

；

，

，

，

（2）解：设正五边形ABCDE的面积为S， 显然

设正五边形ABCDE的中心为O， 连接OA、OB、OC、OD、OE，

它们将正五边形ABCDE分成五个全等的等腰三角形， 过点O作OF⊥AB，

，

垂足为F，易知OF＝AFtan∠OAB＝ABtan所以那么所以

．

BAE＝atan°，

，

，

（3）同理可证：

正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6＝3atan60°． 正八边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+h3+h4+h5+h6+h7+h8＝4atan67.5°．

[问题解决]正n边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和h1+h2+…+hn＝atan（90﹣

）°．

．

故答案为：3atan60°，4atan67.5°，

24．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10cm，CD＝4cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点C出发，沿DC方向在DC的延长线上匀速运动，速度为1cm/s；当点P到达点B时，点Q停止运动．过点P作PE∥BD，交AD于点E．连接EQ，BQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

（1）连接PQ，当t为何值时，PQ∥AD？

（2）设四边形PBQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使EQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据平行四边形的对边相等列出方程，解方程得到答案； （2）作DF⊥AB，EM⊥AB，根据S析式；

（3）根据（2）的结论、结合图形列出方程，解方程求出t；

（4）根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到DE＝DQ，列式计算即可． 【解答】解：（1）当PQ∥AD时，∵DC∥AB， ∴四边形APQD是平行四边形， ∴AP＝DQ，即2t＝4+t， 解得，t＝4，

∴当t为4s时，PQ∥AD；

（2）过点D作DF⊥AB于F，过点E作EM⊥AB于M，延长ME交CD的延长线于点N， ∴∠DFA＝∠DFB＝90°，∠EMA＝∠EMB＝90°， ∵AB∥CD，

∴∠CDF＝90°，∠CNM＝90°， ∵∠ABC＝90°，

∴四边形DFBC、NMFD是矩形， ∴BF＝DC＝4， ∴AF＝6， ∴DF＝

＝8，

四边形PBQE

＝S

梯形ABQD

﹣S△AEP﹣S△QED，列出函数解

∴MN＝BC＝DF＝8， ∵PE∥BD， ∴

，

∵AB＝AD， ∴AE＝AP＝2t，

∵∠A＝∠A，∠EMA＝∠DFA， ∴△AEM∽△ADF， ∴∴∴

，即， ，

，

∴y＝S四边形PBQE＝S梯形ABQD﹣S△AEP﹣S△QED

＝（4+t+10）×8﹣×2t×t﹣（4+t）（8﹣t） ＝﹣t2+

t+40，

t+40（0＜t＜5）；

∴y与t的函数关系式为：y═﹣t2+

（3）假设存在某一时刻t，四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的， 则﹣t2+

t+40＝××（4+t+10）×8，

（不合题意，舍去），

解得，t1＝4，t2＝﹣

答：当t＝4时，四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的； （4）若存在某一时刻t，使EQ⊥BD，垂足为O， ∴∠DOE＝∠DOQ＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠BDC＝∠DBA， ∵AB＝AD， ∴∠BDA＝∠DBA， ∴∠BDC＝∠BDA， ∴DE＝DQ， ∴4+t＝10﹣2t， ∴t＝2，

∴当t为2s时，EQ⊥BD．