2019年高考数学试题分类汇编函数与导数理

1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A.B.C.【答案】DD.拓展：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．【2018年理天津卷】已知A.【答案】DB.C.，，D.，则a，b，c的大小关系为【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：据此可得：.本题选择D选项.，，，拓展：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．【2018年理新课标I卷】已知函数则a的取值范围是A.[–1，0）【答案】CB.[0，+∞）C.[–1，+∞）D.[1，+∞）．若g（x）存在2个零点，详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.拓展：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.4．【2018年理新课标I卷】设函数的切线方程为A.【答案】DB.C.D.，若为奇函数，则曲线在点处拓展：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得5．【2018年全国卷Ⅲ理】设A.【答案】B【解析】分析：求出详解：.，又，，即，得到的范围，进而可得结果。，，故选B.，,即B.，C.，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.，则D.拓展：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。6．【2018年理数全国卷II】已知则A.【答案】CB.0C.2D.50是定义域为的奇函数，满足．若，拓展：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．7．【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A.AB.BC.CD.D【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.拓展：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)当时，，由.，此时在，即在上只能有一个零点得上有两个零点；当时，.综上，的取值范围为拓展：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9．【2018年浙江卷】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则【答案】811当时，___________，___________．【解析】分析:将z代入解方程组可得x,y值.详解：拓展：实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．10．【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】，，原问题等价于函数与函数有两个不同的交的图象点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是的图象，同时绘制函数.拓展：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11．【2018年江苏卷】若函数的最大值与最小值的和为________．【答案】–3在内有且只有一个零点，则在上拓展：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12．【2018年江苏卷】函数的值为________．【答案】满足，且在区间上，则【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此拓展：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.13．【2018年江苏卷】函数【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.的定义域为________．拓展：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.14．【2018年理新课标I卷】已知函数【答案】，则的最小值是_____________．详解：当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，所以当所以，故答案是时，函数.，所以当时函数单调减，，函数的增区间为取得最小值，此时，拓展：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15．【2018年全国卷Ⅲ理】函数【答案】在的零点个数为________．拓展：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。16．【2018年全国卷Ⅲ理】曲线【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。详解：，则，所以，故答案为-3.在点处的切线的斜率为，则________．拓展：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。17．【2018年理数全国卷II】曲线【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：拓展：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.18．【2018年浙江卷】已知函数f(x)=−lnx．在点处的切线方程为__________．（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析详解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数，由得，因为，所以．由基本不等式得．因为，所以．由题意得．设，则（16，+∞）+，所以x（0，16）-1602-4ln2所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，故，即．（Ⅱ）令m=–kn–a<，n=≤，则f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）<0，所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，对于任意的a．设h（x）∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．由f（x）=kx+a得=，则h′（x）=，其中g（x）=．由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．拓展：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19．【2018年理数天津卷】已知函数（I）求函数（II）若曲线在点的单调区间；处的切线与曲线在点处的切线平行，证明，，其中a>1.；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线，单调递增区间为的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.（III）由题意可得两条切线方程分别为l1：问题等价于当的方程时，存在，.l2：，使得l1和l2重合.转化为当.则原时，关于x1

，，则题存在实数解，构造函数，令，据此可证得存在实数t，使得结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x0>0，使得中的结论成立.详解：（I）由已知，令，解得x=0.，的变化情况如下表：0，有.由a>1，可知当x变化时，x0极小值+所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当只需证明当时，存在直线l，使l是曲线时，存在，的切线，也是曲线，使得l1和l2重合.的切线，即只需证明当时，方程组有解，由①得因此，只需证明当，代入②，得时，关于x1的方程③存在实数解..③故存在唯一的x0，且x0>0，使得由此可得在上单调递增，在，即上单调递减..在处取得极大值.因为，故，所以下面证明存在实数t，使得有，因此，当所以，当时，存在，使得..由（I）可得，当时，.，所以存在实数t，使得时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.拓展：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20．【2018年理北京卷】设函数（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，（Ⅱ）若=[]．）处的切线与轴平行，求a；在x=2处取得极小值，求a的取值范围．(2)a的取值范围是（，+∞）【答案】(1)a的值为1（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax–（2a+1）x+2］e=（ax–1）(x–2)e．若a>，则当x∈(，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2处取得极小值．2xx若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是（，+∞）．拓展：利用导数的几何意题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.21．【2018年江苏卷】记，则称为函数（1）证明：函数（2）若函数与与分别为函数与的导函数．若存在，满足且的一个“S点”．不存在“S点”；存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．（2）函数，，则．，此方程组无解，2

设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得，即，（*）得，即，则．当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．因此，a的值为．（3）对任意a>0，设．因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．函数，则．由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得，即（**）此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．拓展：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.22．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为弧上．设OC与MN所成的角为．，要求均在线段上，均在圆（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为．求1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定据单调性确定函数最值取法.的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根详解：当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．拓展：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.23．【2018年理新课标I卷】已知函数（1）讨论的单调性；．（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）当时，在单调递减.，当时，在单调递减，在单调递增.（2）证明见解析.详解：（1）（i）若的定义域为，则，，时，所以.在单调递减.，当且仅当（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.拓展：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.24．【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数（1）若（2）若，证明：当是时，；当时，．；的极大值点，求．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可。（2）分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围。详解：（1）当时，，.设函数当从而时，，且仅当；当时，，则时，..故当.时，，且仅当时，，所以在单调递增.又，由（1）知，当，故当时，时，；当时，，这与.是的极大（2）（i）若值点矛盾.拓展：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数．；的性质，本题难度较大。25．【2018年理数全国卷II】已知函数（1）若（2）若，证明：当在时，只有一个零点，求．【答案】（1）见解析（2）详解：（1）当设函数当而时，，故当时，等价于，则．．单调递减．，所以时，在，即．．（2）设函数在（i）当（ii）当当所以只有一个零点当且仅当时，时，时，在；当单调递减，在，在只有一个零点．没有零点；．时，单调递增．．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当故在时，，所以在有两个零点．．有一个零点，因此综上，在只有一个零点时，．拓展：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.优质模拟试题26．【四川省成都市2018届模拟理】设函数上的值域为A.【答案】CB.，则的取值范围是（C.）D.，若存在区间，使在因为，所以，所以方程在单调递增，因为在在上的值域为，作出，则与直线，，所以的函数的上有两解过点图象，则两图象有两个交点，若直线若直线与的图象相切，设切点为，故选C.，则，解得，综上所述，所以实数的取值范围是拓展：本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及其应用，导数的几何意义，函数的零点与函数的图象之间的关系等知识点的综合运用，其中把函数的值域转化为着方程有两个实数根，进而转化为两函数的图象由两个交点是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.27．【辽宁省葫芦岛市2018年二模理】已知函数在以为边长的三角形，则的取值范围是（），在区间上任取三个数均存A.【答案】DB.C.D.由此能求出的取值范围．详解：∵函数时，∴在以为边长的三角形，②联立①②，得．故选D．，，时，，∵在区间，①上任取三个数均存，由得x=1，拓展：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．28．【河南省洛阳市2018届三模理】已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围是（A.【答案】CB.C.）D.【解析】分析：函数与的图像有4个不同的交点，即有4个不同的实根，由可得，讨论其性质可得的取值范围.详解：函数,此时在上单调递减，在上单调递增，由图像可知，在此时，函数上单上单调递减，在调递增，且当时，函数.函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围为故选C.拓展：本题考查利用导数眼函数零点问题，注意数形结合思想的应用，解题时注意函数的定义域，属难题．29．【辽宁省葫芦岛市2018年二模理】已知函数（1）当（2）当时，讨论的单调性；，其中常数.时，是否存在整数．．使得关于的不等式在区间内有解？若存在，求出整．数．的最小值；若不存在，请说明理由.参考数据:，.【答案】(1)f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓(2)−1(2)当时,设在,且),使得lnx0=x0−2，，可知在(0,)内,唯一x0∈(,并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓当x∈(0,e)时,F(x)min=e3(因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(x−x0)x−x0)由此可求m的最小整数值.详解：(1)求导，设明显g(x)在(0,+∞)↓,且g(1)=0，故f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓当时,设在注意F′()=−3<0,F′(故在(0,)内,,且)=e3(1−ln2−e−2)≈0.1e3>0),使得lnx0=x0−2，，唯一x0∈(,并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓当x∈(0,e)时,F(x)min=F(x0)=e3(x0lnx0−x+x0)=e3(x−x0)因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e()时,F(x)min=e(3

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x−x0)当x0∈(,x−x0)∈(−,−e)≈(−3.32,−2.51)因2m为偶数,故需2m≥−2m≥−1,即m的最小整数值为−1拓展：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题．30．【湖南省益阳市理数5月统考】已知函数（1）讨论的单调性；的两个零点，证明：..（2）设，是【答案】（1）见解析（2）见解析详解：（1）解：，当时，，则在上单调递增.当令时，，得，得，得，则的单调递增区间为..的单调递减区间为（2）证明：由得，设，则，由得；由，得.故不妨设，则.当，时，.；当时，等价于.，∵，且在上单调递增，∴要证即证则，只需证.设，令，则，即，，，，∵，∴，∴∴在上单调递减，即，∴在上单调递减，∴，从而得证.，∴在上单调递增，拓展：本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及函数零点个数的判断和函数性质的综合应用，考查了分类讨论思想，综合性较强、难度较大，第二问构造函数为只需证是关键。，不妨设，由已知将问题转化