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2019年高考数学试题分类汇编函数与导数理

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2019年高考理科数学试题函数与导数

1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A.B.C.【答案】DD.拓展:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.2.【2018年理天津卷】已知A.【答案】DB.C.,,D.,则a,b,c的大小关系为【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解:由题意结合对数函数的性质可知:据此可得:.本题选择D选项.,,,拓展:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.3.【2018年理新课标I卷】已知函数则a的取值范围是A.[–1,0)【答案】CB.[0,+∞)C.[–1,+∞)D.[1,+∞).若g(x)存在2个零点,详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.拓展:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果.4.【2018年理新课标I卷】设函数的切线方程为A.【答案】DB.C.D.,若为奇函数,则曲线在点处拓展:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得5.【2018年全国卷Ⅲ理】设A.【答案】B【解析】分析:求出详解:.,又,,即,得到的范围,进而可得结果。,,故选B.,,即B.,C.,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果.,则D.拓展:本题主要考查对数的运算和不等式,属于中档题。6.【2018年理数全国卷II】已知则A.【答案】CB.0C.2D.50是定义域为的奇函数,满足.若,拓展:函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.7.【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A.AB.BC.CD.D【答案】B【解析】分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.详解:为奇函数,舍去A,舍去D;,所以舍去C;因此选B.拓展:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复.8.【2018年浙江卷】已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是___________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.【答案】(1,4)当时,,由.,此时在,即在上只能有一个零点得上有两个零点;当时,.综上,的取值范围为拓展:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.9.【2018年浙江卷】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为,,,则【答案】811当时,___________,___________.【解析】分析:将z代入解方程组可得x,y值.详解:拓展:实际问题数学化,利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质,是解决这类问题的突破口.10.【2018年理数天津卷】已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是______________.【答案】,,原问题等价于函数与函数有两个不同的交的图象点,求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数如图所示,考查临界条件,结合观察可得,实数的取值范围是的图象,同时绘制函数.拓展:本题的核心在考查函数的零点问题,函数零点的求解与判断方法包括:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.11.【2018年江苏卷】若函数的最大值与最小值的和为________.【答案】–3在内有且只有一个零点,则在上拓展:对于函数零点个数问题,可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.12.【2018年江苏卷】函数的值为________.【答案】满足,且在区间上,则【解析】分析:先根据函数周期将自变量转化到已知区间,代入对应函数解析式求值,再代入对应函数解析式求结果.详解:由得函数的周期为4,所以因此拓展:(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现的形式时,应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.13.【2018年江苏卷】函数【答案】[2,+∞)【解析】分析:根据偶次根式下被开方数非负列不等式,解对数不等式得函数定义域.详解:要使函数有意义,则,解得,即函数的定义域为.的定义域为________.拓展:求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题.14.【2018年理新课标I卷】已知函数【答案】,则的最小值是_____________.详解:当时函数单调增,从而得到函数的减区间为,所以当所以,故答案是时,函数.,所以当时函数单调减,,函数的增区间为取得最小值,此时,拓展:该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关的函数的求导公式,需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函数的最小值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值.15.【2018年全国卷Ⅲ理】函数【答案】在的零点个数为________.拓展:本题主要考查三角函数的性质和函数的零点,属于基础题。16.【2018年全国卷Ⅲ理】曲线【答案】【解析】分析:求导,利用导数的几何意义计算即可。详解:,则,所以,故答案为-3.在点处的切线的斜率为,则________.拓展:本题主要考查导数的计算和导数的几何意义,属于基础题。17.【2018年理数全国卷II】曲线【答案】【解析】分析:先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率,最后根据点斜式求切线方程.详解:拓展:求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.18.【2018年浙江卷】已知函数f(x)=−lnx.在点处的切线方程为__________.(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8−8ln2;(Ⅱ)若a≤3−4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析详解:(Ⅰ)函数f(x)的导函数,由得,因为,所以.由基本不等式得.因为,所以.由题意得.设,则(16,+∞)+,所以x(0,16)-1602-4ln2所以g(x)在[256,+∞)上单调递增,故,即.(Ⅱ)令m=–kn–a<,n=≤,则f(m)–km–a>|a|+k–k–a≥0,f(n)<0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a.设h(x)∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得=,则h′(x)=,其中g(x)=.由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3–4ln2,故–g(x)–1+a≤–g(16)–1+a=–3+4ln2+a≤0,所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)–kx–a=0至多1个实根.综上,当a≤3–4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.拓展:利用导数证明不等式常见类型及解题策略:(1)构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19.【2018年理数天津卷】已知函数(I)求函数(II)若曲线在点的单调区间;处的切线与曲线在点处的切线平行,证明,,其中a>1.;(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线,单调递增区间为的切线,也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)证明见解析.(III)由题意可得两条切线方程分别为l1:问题等价于当的方程时,存在,.l2:,使得l1和l2重合.转化为当.则原时,关于x1

,,则题存在实数解,构造函数,令,据此可证得存在实数t,使得结合函数的性质可知存在唯一的x0,且x0>0,使得中的结论成立.详解:(I)由已知,令,解得x=0.,的变化情况如下表:0,有.由a>1,可知当x变化时,x0极小值+所以函数的单调递减区间,单调递增区间为.(III)曲线在点处的切线l1:.曲线在点处的切线l2:.要证明当只需证明当时,存在直线l,使l是曲线时,存在,的切线,也是曲线,使得l1和l2重合.的切线,即只需证明当时,方程组有解,由①得因此,只需证明当,代入②,得时,关于x1的方程③存在实数解..③故存在唯一的x0,且x0>0,使得由此可得在上单调递增,在,即上单调递减..在处取得极大值.因为,故,所以下面证明存在实数t,使得有,因此,当所以,当时,存在,使得..由(I)可得,当时,.,所以存在实数t,使得时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.拓展:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.20.【2018年理北京卷】设函数(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,(Ⅱ)若=[].)处的切线与轴平行,求a;在x=2处取得极小值,求a的取值范围.(2)a的取值范围是(,+∞)【答案】(1)a的值为1(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=[ax–(2a+1)x+2]e=(ax–1)(x–2)e.若a>,则当x∈(,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)<0在x=2处取得极小值.2xx若a≤,则当x∈(0,2)时,x–2<0,ax–1≤x–1<0,所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(,+∞).拓展:利用导数的几何意题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.21.【2018年江苏卷】记,则称为函数(1)证明:函数(2)若函数与与分别为函数与的导函数.若存在,满足且的一个“S点”.不存在“S点”;存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“S点”,并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)a的值为(3)对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.详解:解:(1)函数f(x)=x,g(x)=x+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.(2)函数,,则.,此方程组无解,2

设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)与g(x0)且f′(x0)与g′(x0),得,即,(*)得,即,则.当时,满足方程组(*),即为f(x)与g(x)的“S”点.因此,a的值为.(3)对任意a>0,设.因为,且h(x)的图象是不间断的,所以存在∈(0,1),使得,令,则b>0.函数,则.由f(x)与g(x)且f′(x)与g′(x),得,即(**)此时,满足方程组(**),即是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.拓展:涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.22.【2018年江苏卷】某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为弧上.设OC与MN所成的角为.,要求均在线段上,均在圆(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【答案】(1)矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为.求1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[,1).(2)当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析:(1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果,最后根据实际意义确定据单调性确定函数最值取法.的取值范围;(2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再根详解:当θ∈[θ0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是[,1).答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[,1).(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,).设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,),则.令,得θ=,当θ∈(θ0,)时,,所以f(θ)为增函数;当θ∈(,)时,,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.拓展:解决实际应用题的步骤一般有两步:一是将实际问题转化为数学问题;二是利用数学内部的知识解决问题.23.【2018年理新课标I卷】已知函数(1)讨论的单调性;.(2)若存在两个极值点,证明:.【答案】(1)当时,在单调递减.,当时,在单调递减,在单调递增.(2)证明见解析.详解:(1)(i)若的定义域为,则,,时,所以.在单调递减.,当且仅当(ii)若,令得,或.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.拓展:该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件,在解题的过程中,需要明确导数的符号对单调性的决定性作用,再者就是要先保证函数的生存权,先确定函数的定义域,要对参数进行讨论,还有就是在做题的时候,要时刻关注第一问对第二问的影响,再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.24.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数(1)若(2)若,证明:当是时,;当时,.;的极大值点,求.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析:(1)求导,利用函数单调性证明即可。(2)分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围。详解:(1)当时,,.设函数当从而时,,且仅当;当时,,则时,..故当.时,,且仅当时,,所以在单调递增.又,由(1)知,当,故当时,时,;当时,,这与.是的极大(2)(i)若值点矛盾.拓展:本题考查函数与导数的综合应用,利用函数的单调性求出最值证明不等式,第二问分类讨论和,当时构造函数时关键,讨论函数.;的性质,本题难度较大。25.【2018年理数全国卷II】已知函数(1)若(2)若,证明:当在时,只有一个零点,求.【答案】(1)见解析(2)详解:(1)当设函数当而时,,故当时,等价于,则..单调递减.,所以时,在,即..(2)设函数在(i)当(ii)当当所以只有一个零点当且仅当时,时,时,在;当单调递减,在,在只有一个零点.没有零点;.时,单调递增..故是在的最小值.①若,即,在没有零点;②若,即,在只有一个零点;③若,即,由于,所以在有一个零点,由(1)知,当故在时,,所以在有两个零点..有一个零点,因此综上,在只有一个零点时,.拓展:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.优质模拟试题26.【四川省成都市2018届模拟理】设函数上的值域为A.【答案】CB.,则的取值范围是(C.)D.,若存在区间,使在因为,所以,所以方程在单调递增,因为在在上的值域为,作出,则与直线,,所以的函数的上有两解过点图象,则两图象有两个交点,若直线若直线与的图象相切,设切点为,故选C.,则,解得,综上所述,所以实数的取值范围是拓展:本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及其应用,导数的几何意义,函数的零点与函数的图象之间的关系等知识点的综合运用,其中把函数的值域转化为着方程有两个实数根,进而转化为两函数的图象由两个交点是解答的关键,重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与论证能力.27.【辽宁省葫芦岛市2018年二模理】已知函数在以为边长的三角形,则的取值范围是(),在区间上任取三个数均存A.【答案】DB.C.D.由此能求出的取值范围.详解:∵函数时,∴在以为边长的三角形,②联立①②,得.故选D.,,时,,∵在区间,①上任取三个数均存,由得x=1,拓展:本题考查实数的求值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.28.【河南省洛阳市2018届三模理】已知函数与的图像有4个不同的交点,则实数的取值范围是(A.【答案】CB.C.)D.【解析】分析:函数与的图像有4个不同的交点,即有4个不同的实根,由可得,讨论其性质可得的取值范围.详解:函数,此时在上单调递减,在上单调递增,由图像可知,在此时,函数上单上单调递减,在调递增,且当时,函数.函数与的图像有4个不同的交点,则实数的取值范围为故选C.拓展:本题考查利用导数眼函数零点问题,注意数形结合思想的应用,解题时注意函数的定义域,属难题.29.【辽宁省葫芦岛市2018年二模理】已知函数(1)当(2)当时,讨论的单调性;,其中常数.时,是否存在整数..使得关于的不等式在区间内有解?若存在,求出整.数.的最小值;若不存在,请说明理由.参考数据:,.【答案】(1)f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓(2)−1(2)当时,设在,且),使得lnx0=x0−2,,可知在(0,)内,唯一x0∈(,并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓当x∈(0,e)时,F(x)min=e3(因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(x−x0)x−x0)由此可求m的最小整数值.详解:(1)求导,设明显g(x)在(0,+∞)↓,且g(1)=0,故f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓当时,设在注意F′()=−3<0,F′(故在(0,)内,,且)=e3(1−ln2−e−2)≈0.1e3>0),使得lnx0=x0−2,,唯一x0∈(,并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓当x∈(0,e)时,F(x)min=F(x0)=e3(x0lnx0−x+x0)=e3(x−x0)因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e()时,F(x)min=e(3

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x−x0)当x0∈(,x−x0)∈(−,−e)≈(−3.32,−2.51)因2m为偶数,故需2m≥−2m≥−1,即m的最小整数值为−1拓展:本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想,属于难题.30.【湖南省益阳市理数5月统考】已知函数(1)讨论的单调性;的两个零点,证明:..(2)设,是【答案】(1)见解析(2)见解析详解:(1)解:,当时,,则在上单调递增.当令时,,得,得,得,则的单调递增区间为..的单调递减区间为(2)证明:由得,设,则,由得;由,得.故不妨设,则.当,时,.;当时,等价于.,∵,且在上单调递增,∴要证即证则,只需证.设,令,则,即,,,,∵,∴,∴∴在上单调递减,即,∴在上单调递减,∴,从而得证.,∴在上单调递增,拓展:本题主要考查利用导数判断函数的单调性,以及函数零点个数的判断和函数性质的综合应用,考查了分类讨论思想,综合性较强、难度较大,第二问构造函数为只需证是关键。,不妨设,由已知将问题转化

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