2020成人高考专升本高数冲刺班复习资料

高等数学冲刺班复习资料

知识点一、极限求法

1、代入法（分母不为0） 2、分子分母消去为零公因子（）

00

3、分子分母除以最高次幂（∞） 4、等价代换法

当x→0时，x ~sinx~tanx~ arcsinx~ arctanx ~ ex−1 ~ ln (1+x) 1−cosx~x2

21

∞

5、洛必达法则

求法：（1）先判定是否符合0 或∞型

（2）分别对分子分母求导，如果求导完还是0 或∞型那么再对分子分母求导 （3）当出现分母不为0时，就可以直接代入求解。 6、两个重要极限 （1）lim

sinxxx→0

0

∞

0

∞

=1 （2）lim(1+)x=e 或lim(1+x)x=e

x→∞

x

x→0

𝑥3−5𝑥+2

x2−2

1

1

例题1、lim

x→1

例题2、lim2x2+3

x→0

𝑥+2

例题3、lim例题4、lim例题5、lim例题6、lim

𝑥2+𝑥−2

x→1

x−1

sin𝑥

x→02x

1−cos𝑥

x2

x→0

𝑒𝑥+𝑒−𝑥−2

sin2𝑥

x→0

例题7、lim(1−x)x

x→∞

2

知识点二、连续性

函数𝐟(𝐱)在某一点𝐱𝟎上连续的必要条件：

（1）f(x)在x0有定义；（2）f(x)在x0点左右极限存在且相等（3）f(x)极限等于f(x0)

lnx1,x1例题：函数f(x)2在x=1处连续，则a=______

axx,x1

知识点三、导数

★★1、常见的求导公式

（1）、(c)′=0 （2）、(xa)′=axa−1 （3）、(logax)′=xlna （4）、(lnx)′=x （5）、(ax)′=axlna （6）、(ex)′=ex （7）、(sinx)′=cosx （8）、(cosx)′=−sinx ★★2、导数的运算法则 （1）(u±v)′=u′+v′ （2）(u∙v)′=u′v+uv′ （3）(cu)′=cu′ （4）()′=

v

u

u′v−uv′

v2

1

1

★3、复合函数求导

如果函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点u处也可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导，且有

dydx

=

dydududx

∙ 。

例题1、已知y=2+sin𝑥, 则y′ = 例题2、已知y=

𝑥2+1cos𝑥

2

, 则 = dx

dy

例题3、已知y=𝑒𝑥 , 则y′ = 例题4、已知y=ln (4𝑥−𝑥2) , 则y′ = 例题5、已知y=𝑥𝑒2𝑥 , 则y′ = 例题6、已知y=sin(𝑥3+1), 则dy =

知识点四、积分

★★1、基本积分公式

（1）∫kdx=kx+C （2）∫xadx=

1

1a+1

xa+1+C

（3）∫axdx=lnaax+C （4）∫exdx=ex+C （5）∫xdx=ln |x|+C （6）∫sinxdx=−cosx+C （7）∫cosxdx=sinx+C

1

★★2、第一换元积分法（凑微分法）

设f(u)具有原函数F(u)，u=φ(x)可导，则有换元公式

∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C

3、分部积分法

设函数具有连续的导函数，则有∫uv′dx=uv−∫vu′dx即∫udv=uv−∫vdu

例题1、∫(𝑥+√𝑥)𝑑𝑥＝______ 例题2、∫(𝑥+sin𝑥)𝑑𝑥＝______ 例题3、∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥= 例题4、∫

𝑙𝑛𝑥𝑥

2

1

𝑑𝑥=

例题5、∫𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑑𝑥= 例题6、∫𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥= 例题7、∫𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=

知识点五、定积分

★★1、牛顿---莱布尼茨公式 ∫af(x)dx= F(x)|ba=F(b)−F(a) ★2、奇偶函数在对称区间上的积分

若f(x)在[-a,a]上为连续奇函数，则∫−af(x)dx=0

若f(x)在[-a,a]上为连续偶函数，则∫−af(x)dx=2∫0f(x)dx

a

a

a

b

例题1、∫03𝑥𝑑𝑥= 例题2、∫0cos2𝑥𝑑𝑥= 例题3、∫0

1

𝑥2+𝑥21

𝜋

21

𝑑𝑥=

例题4、 ∫−1(𝑥5+𝑥)𝑑𝑥= 例题5、 ∫−1(sin𝑥+𝑥2)𝑑𝑥=

1

知识点六、多元函数偏导和全微分

★★1、多元函数偏导数与全微分 1、偏导数的求法

对x求偏导，将函数中的y视为常数；对y求偏导，将函数中的x视为常数； 3、二阶偏导数：

∂2Z∂x2、∂2Z∂x∂y∂z

、∂2Z∂y2 3、全微分dz=∂xdx+∂ydy

∂z

例题1、设二元函数z=x2𝑦+3𝑥+2𝑦2，则𝜕𝑥= ，𝜕𝑦= 例题2、设二元函数z=x𝑦，𝜕𝑥𝜕𝑦= 例题3、设二元函数z=𝑥𝑦3+𝑥3𝑦,dz=

知识点七、概率与统计初步

1、排列与组合（排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序）

m

（1）无重复排列种数计算公式Pn=(n−m)! (m≤n)

n!

𝜕𝑍𝜕𝑍

22

𝜕2𝑍

（2）组合种数计算公式∁mn=

Pmnm!

=

n!

m!(n−m)!

(m≤n)

★2、离散型随机变量的数字特征 （1）数学期望：E(X)=∑nk=1xkpk

2（2）方差：D(X)=E{[X− E(X)]2} 即 D(X)=∑nk=1[xk−E(X)]

也可：D(X)=E(X)2−[E(X)]2 例题1、设离散型随机变量X的概率分布为

X P 0 0.3 1 a 2 0.3 （1）求a的值 （2）求X的数学期望EX及方差DX

例题答案：

知识点一

1、代入法，答案：2 2、代入法，答案：3

3、消去为0公因子，答案：2 4、等价代换法，答案：2 5、等价代换法，答案：2

6、等价代换和洛必达法则，答案：1 7、重要极限，答案：e−2

知识点二、

左极限=右极限：答案：a=0

知识点三

1、y=cos𝑥 2、dx=

2

2

11

′

dy

2𝑥cos𝑥+(𝑥2+1)sin𝑥

cos2𝑥

4−2𝑥

3、y′=2x𝑒𝑥 4、y′=4𝑥−𝑥2

5、y′=𝑒2𝑥(1+2𝑥) 6、dy=3x2cos(𝑥3+1)𝑑𝑥

知识点四

1、2𝑥+3𝑥+𝐶 2、ln |x|−cos𝑥+𝐶 3、2𝑒𝑥+𝐶 4、2𝑙𝑛2𝑥+𝐶 5、2𝑠𝑖𝑛𝑥2+𝐶 6、xsinx+cosx+𝐶 7、4𝑥2(2𝑙𝑛𝑥−1)+𝐶 知识点五

1、𝑙𝑛3 2、0 3、ln2 4、0 5、3 知识点六

232111

2

1

2

2

321

1、2xy+3 x2+4y 2、4xy

3、dy=(𝑦3+3x2y)dx+(𝑥3+3xy2)dy

知识点七

1、（1）0.3+a+0.4=1 a=0.4

(2)EX=∑𝑥𝑝=0∗0.3+1∗0.4+2∗0.3=1

DX=EX2−(EX)2=0∗0.3+1∗0.4+4∗0.3−1=0.6