◆◆◆◆ 高阶导数的应用 ◆徐秋仓 （安阳职业技术学院） 【摘要】一般情况下，求函数的极值与曲线的拐点时，对于二阶导数为零的点不能确定是否存在极值及是否存在拐点。给出了利用函数 的三阶或三阶以上的导数求函数极值与曲线拐点的方法。 【关键词】连续导数极值拐点 ／ ）＝ ＋ ～２ＣＯＳＸ ０，搿Ｉｒ ０ 在讨论函数的特性、描绘函数的图像及讨论曲线的形态时，往往需要 求出函数的极值，找出曲线的拐点。一般情况下是利用函数的二阶导数来 寻找。但对于二阶导数都等于零的点来说，不能确定其是否是函数的极值 点或是否是曲线拐点的横坐标，对于该类特殊的函数与曲线，本文给出了 利用函数的三阶或三阶以上的导数求函数极值与曲线拐点的定理与方法。 一瓶／ ∽＝ ～ ＋２ｓｉｎ＿ｒ｜ ”（０） ｏ ｒ ／｛ ’（．ｒ） ｅ’十 ＋２ｃｏｓｘ， （ｏ】＝４ 幽定甥１，当 为偶数时／ ）’ ｏ，敞 ＝ ｒ）在ｒ ｏ处有极傻，又／ （ｏ）＝ ４＞Ｏ，所以ｒ；ｏ为极小值点，极小值Ａｏ１：４ 例２．讨论函数 ，《 ） 怒甭有极德。 解：函数的定义域为（一 ＋ ）； 、利用高阶导数求函数的极值 我们在讨论函数的特性时要求函数的极值，极值点可能是函数驻点或 一阶导数不存在的点。对于驻点处的情况我们一般是利用极值存在的第 ．＝５．ｒ４ ０，得 ０｛ Ｊ，＝２０ｘ ＝０，得 ＝０； ：二充分条件来判定，该定理是：设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ。处具有二阶导数且ｆ （ｘ０）＝ｏ，那么（１）当ｆ－（ｘ。）＜ｏ时，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ。处取得极大值；（２） ６０ｘ ， （０）＝ｏ； ” １２０ｒｔ ∥ （ｏ） ０： 二、利用高阶导数求曲线的拐点 在描绘函数图形或讨论曲线的性态时，我们需要找出曲线的拐点。一 当ｆ－（ｘ。）＞ｏ时，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ。处取得极小值；（３）当ｒ（ｘ。）＝ｏ时，不 能确定。由第二充分条件可知，对于驻点处函数的二阶导数等于零的点是 般情况下是利用拐点的定义来寻找，即先求出函数二阶导数等于零或二阶 导数不存在的点，把定义域分成若干个小区间，再利用二阶导数在每个小 区间内的正负性来判断曲线的凹凸性，从而利用拐点的定义求出拐点的坐 标。其实，在某些时候我们可以利用高阶导数直接求出曲线的拐点。 （一）定理与证明 不能确定是否是极值点的，还需要用第一充分条件来判定。事实上，对于 该种情况，我们可以用以下定理来求函数的极值。 （一）定理与证明 定理１：设黼数 ｒ）强点 的繁邻域肉 有 到 阶的 数，强 厂【 ）＝ｏ 厂（ ） ０，．Ｆ（ｘｏ）－ｏｔ…ｔ．， ” ）＝ｏ， 域内连续。则： ）≠ｏ ｎ ３） ／ ）在 的浆领 定理２：设黼数 一 ｒ）在闭 问 卅ｌ：连续，谯甜： 脚 有墩到 阶的 数，Ｉ¨Ｌ＿／ ） ０，ｌ厂 ） ０，…， 内‘点 处具 （ ） ｏ，／ （ ）≠ｏ ≥３）。 （＿ｒ）在 的浆领域内连续 划： 的极值点。蓉 （ ）＞Ｏ则／《 ）匙 ／１１） ＝２ｋ＋Ｉ为奇数时，点 ，／（ ＂为曲线的拐点； ∥＝／《 的极小值；葑／ （ ）＜Ｏ则 ）是 ：／１ 的极大值。 Ｉ）强 ２ｋ为偶数时，点 涎，＝ ２） 的极值。 ＝２ｋ＋ｌ为奇数时，点 憋 ／（．ｒ）的板纽点， 而）不为瀚数Ｊ一／∽ ２）当 ２，ｆ为偶数时，点（ｘｏ，／＿Ｉ ））不为曲线的攒点 明：没，＝ ｌｒ）在点（而，／ ））处的切线方程魁： ／Ｉ＝／ ）＋ｆ（ｘｏＸ－ｒ一 ），｝ｊｊ搦点的定义 翔，嚣： ，一 １＇（－０一＿／（ ）一ｆ ｎ一％）．当 通过％时变学。则点（．ｔｏ， ” 魁曲线 ＝ ｒ】的拐点；当 通过 时不变号，则点（％。 ／（ ＂不怒曲线 ／（，ｒ）的 拐点。 Ｉ 明：设 怒点 的浆邻域 点，把Ｊ（Ｄ的增 ＿／【｜ｒ）一 ％）按 一％） 的 丽阁皮暇落 余项的臻勒公式腱开，并注意定理中的条件，得： ／∽一． ） …于 啦 （ ） ＿ 时口＿ｏ，所以当 ｒ充分接近于 时，分“ 的符号就会垮 南假设，把 数 ＝／（０在点 处按（ｒ，ｅ一 ）的 谢矧皮 诺撄余项 的 勒公式艘歼 并淀意定溅巾的条件，得： 一 ｍ（ ）的符 栩 毁，在．ｒ＜ 雌以及在 ＞ 时都楚如此 现在来考虑雠种情况： ！： （ 一｜ｒ０） 时 分 的符 就会均的 （１） 魁奇数： ：２ｋ＋Ｉ。 的簸内小于 交到丈予 辩， 式（－ｒ一％） 就会变蟹，但 ｌ｝ 式第一 个 Ｆ这时不变号，所以蓑／ｔ 一／Ｉ． ）也 变 号 函数一＿／（ｒ）在点 处就不会裔极傻，因为在这点附近， ，ｒ）有时小于／Ｉ ） 也有时大于／（ＸＯ）。 （２） 魁偶数： ＝２２＂。当 的值由小于 变到大予 时， 式 一 Ｉ韵 ｆ 当 ＿ 时“ ０，所以当 ｒ¨充分接近 ）符号矧… 致，在 ＜ 时以及在 ＞ ｒｏＨ寸 ｊ憋如此。 现在米考虑两种情况： （１） 慰奇数： ＝２ ＋ｌ 当，ｆ的傻 小于 变到大于 列， 线的搦点。 式 一 旒会褒 ，似 Ｊ二式翁 个 予这时 变 ，所以簸 一，也要褒 。敞点跫曲 变 ， 谢茇／（ 一／（ ）也 变号并Ｈ与／ ， ）的褥蟹棚 一致。刚当 ，（％）＞ｏ时，Ｓ（－０＞／ ），Ｉ（－￣ｏ）就楚函数 ＝ ｒ）的极小值； （二）剥用此定理求荫数极值的一般方法和步骤 （２） 怒偶数： 不变譬， ２ｋ ： －的俄 小 都适用 变纠大ｊ ％时， 式（ ） 当 （ ）＜０时， ．ｒ）＜／ ），／（ ）就是溺数ｊ，＝ ｒ）的极人僮。 １ 求｝ｌ＿；所给蛹数一／（ ｒ）的定义域； ２．在定义城内求／，（－ｒ） ０及／ ）＝０的点； ３．求２）中符点处的兰阶或三阶以 ｌ：的导数德，赢到第一个阶数的导数 为零： ～ｙ也 变号，敞点 ，／Ｉ靠））不愁曲线的搦点。 此定理对任何胄黻线无限 （二）利用此定理求曲线拐点的一般方法和步骤 ｌ。袋出所给ｄ鑫线ｊ，＝／‘ｒ）的定义域； ２．在定义域内求／ （ｆｒ） ｏ的点： ３。砑乏２） 扣备点处的三阶或三阶以上的 数筑，取到第 个阶数的 数 不为零； ４． 此定 判断备点处的离阶导数值情况，从而求出移ｊ点 （兰）举例 ４．Ｉｌｔｔ此定理判断 点处的馥阶 数值情况，求出檄镄 （三）举例 例１．求函数ｌ（－０＝ ＋ ＋２６ｏｓ．１：的极骢 解：溺数／（ｒ）＝ 十ｅ－ ＋２ｃｏｓ 的定义域为（一∞，＋∞）； 厂∽ ｔ一 一２ｓｉｎ ｒ：０，得．ｒ：０， 例１，求曲线 ／（－０ 的搦点 解；瀚数 ，，＝ 的定义城为 ，＋ ）： 一５ ， ２０ ，令 一０秘 ０｛ （下转第１７８页） １８６ ０５／２０１４ ◆◆◆◆ 基于职业能力培养的高职电工课程教学改革的实践探索 ◆乐－ 乐宋烨 （长沙航空职业技术学院） 【摘要】针对高职高专院校的人才培养目标，分析国内其他高职高专院校电工教学的现状，提出基于职业能力培养的高职电工的教学改 革，教学总体设计、教学评价方案等方面改革措施，并总结了教改实践中的经验，为今后的教学提出了建设性的意见。 【关键词】职业能力 电工教学 改革 实践 电工是一门传统的高职理工类院校的基础课程，教材理论较深，概念 改革。以完成工作中的某一任务为基本单位，以行动导向为教学出发点， 多且抽象，学生不易理解和掌握。为了能贯彻执行教育部颁布的《关于全 选取合适的项目载体，运用能力分担法，将学习领域的内容转换为学习情 面提高高等职业教育教学质量的若干意见》，更好地实现学校与企业的无 景，充分体现学习的均衡性、完整性和系统性。 缝对接，我院领导积极组织一支素质优良、从业经验丰富、研究资质深厚、 专兼结合的“双师型”研究团队对基于职业能力培养的高职电工进行了教 学改革。 一三、结束语 由于高职院校学生基础差，教学课时不够，教师不可能仍按原有的教 学大纲设定的课日寸按部就班地进行教学，必须对某些教学内容及相应的教 、课程教学改革的意义 学课时作出适当调整。一是我们应当根据社会对技术工人的实际需求，对 近几来，大多数技校都在追求数量扩张，继续走规模发展之路，学校都 电工课的内容进行改革，按照“必须，够用“的原则。比如，像叠加原理、戴 在最大限度地吸纳生源，竞争激烈，秩序混乱。从招生情况看，生源主要是 维南定理、非正弦交流电等可以不讲。应该让这部分学生重点掌握基本电 那些在高考中落败的群体。他（她）们或是对前途悲观失望，对学习漫不经 路、电磁感应原理、（单相、三相）正弦交流电的基本概念以及日常维修和安 心，没有更高的理想和追求；或是浑身沾染不良习气，组织纪律意识淡薄， 全用电的基本常识。二是要求学校同各相关任课教师之间协调好教学进 缺乏责任感，自控能力差。更何况这些学生大多数理两科成绩更差，甚至 度和教学重点。如《数学》中的“三角函数”“复数运算”可作为电类专业班 厌恶数学、物理学习，自然不喜欢以数理为基础的《电工》。要扭转这批学 的教学重点，并务必将其教学安排在《电工》教学进度之前。三是在教学 教师可视情况将某些公式、结论等复杂的数学推导过程适当简化，重物 生的精神面貌，教会他（她）们做人的基本道理，学到起码的专业知识，培养 中，他（她）们的职业能力，需要我们放弃以往的传统教学模式，开展基于职业 理条件和结论轻数学推导过程。如“交流电的有效值与最大值的关系”， 能力培养的《电工》课程教学改革。通过教学实践，教改后的《电工》课程 “串并联谐振的条件”“三相交流电相电流与线电流、相电压与线电压的相 能引发学生的学习兴趣，对学生的职业能力和职业素养有了明显提高。学 位关系”等的数学推导，过程繁琐复杂，经教学检验，适当简化其推导过程， 生能熟练地使用常用电工工具、电工仪表，的按工艺要求安装、维护家 教学效果反而更好，并可节省教学时间。 用电路，并能根据要求设计电气控制线路。 二、课程教学改革的总体设计 参考文献： ［１］叶发锦．基于职业能力培养的高职机电英语课程教学改革与创新 ［Ｊ］．高教论坛，２０１２，（０６）：１２３． 全国同类高职院校对《电工》课程教学改革也做了相应的尝试，一般分 为两种情况：第一种，是沿用理工类本科院校的教学模式，重视对理论的推 导，分析及技术，实验性课程大多采用上机仿真来进行。而这种教学模式 对于高职院校的学生来说是根本行不通的，枯燥的理论推导需要扎实的数 理基本功作为基础，这点我们的学生可能较难达到；另外，上机仿真的验证 ［２］宋烨．基于职业导向的高职课程体系构建的探讨与实践［Ｊ］．科技 资讯，２０１０，（１５１）． ［３］李佳佳．职校电工技术难教难学成因及对策［Ｊ］．考试周刊，２０１ｌ， （６８）． 性试验和实际的生产过程操作结果有时有出入，我们培养的是要能和企业 无缝对接的学生．所以这样的实验课程对高职院校的学生是不适用的。第 二，种是大张旗鼓地进行深度改革，为了强化学生操作技能，大量增加实践 ［４］焦莉．基于职业能力培养的高职教学改革探讨［Ｊ］．科技资讯， ２０１２，（１５１）． ［５］李海亭．电工基础教学心得［Ｊ］．科技信息，２０１１，（１５１）． ［６］房雪立．浅谈电工基础教学中学生创新能力的培养［Ｊ］．教育交流， ２００９，（０３）． 教学时间，大幅减少了理论教学课时，而教材的编排又未及时作出相应的 调整。这使得理论教学课时明显不够。再加上一些教师教学方法单调、陈 旧。仍习惯于采用灌输式等老一套方法教学，学生不容易接受。 针对这两种典型现象的利弊，我院的教学团队深入企业调研，结合企 业能力培养目标和学生理论水平状况，着力对《电工》课程进行科学的教学 ［７］王兆坤．职校电工基础教学中学生创新意识培养初探［Ｊ］．大视野， ２００９．（０３）． （上接第１８６页） ， ６０＋一，Ｊ （ｏ） ０； 一＝Ｉ２０ ｒ，Ｊ， ’（０） ０： 昌，点（；，昌）也怒曲线∥ ／（ ＝３ 一４ ＋ｌ的拐点。 例３．讨论曲线 ＝几ｒ１ ｉａ－怒否裔拐点 解： 数 的定义域为ｆ＿ ，㈨）； Ｉ２０，ｌ ”（０）一Ｉ２０＃０ 由ｒ ”ｆｏ） １２０魁氘输 数值，所以 的搦点 ０时， ＝０；点（０，０）楚曲线， ／（砖 ｉｓ＂ ４，， Ｉ，＝１２ ｒ ，令Ｊ， ０，褥 ０： Ｐ （０）＝０， 点 （０）＝２４≠０，此时” ４ 为偶数， 此当 ０时，∥ ０，点 ｏ） ｉ戆曲线 ／｛ｒ ３－４的拐点。敞曲线无 ／∽ ３ 一４ ＋ｌ的定义域为（一ａ。，＋∞）： ３６ｘ￣－～２４ｘ． 倒２．求ｌｌ翻线 ＝／ ） ３．ｒ‘一４ ＋１的搦点 解：黼数 Ｉ２ ～１２ｒ ， 参考文献： 令０，樽 ＝０， 考； ７２ｘ一２４， ； （０） －２４＃０｛ ，为奇数： ［１］格马菲赫金哥若次著 数学分析原理［Ｍ］．丁寿田译．人民教育出 版社，１９６０． 。；隧 ［２］同济大学数学教研室 高等数学．高等教育出版社，１９８０ ｒ＝０时，∥ １，点（０．１）艇曲线 ／ ｝＿３ｘ４—４ ＋Ｉ的搦点： §ｒ ； ， １７８ ０５／２０１４
