2019-2020学年山西省忻州一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合𝑆={𝑥|1≤𝑥≤3}，𝑇={𝑥|21−𝑥<1}，则𝑆∩𝑇=( )

A. [0,+∞)

𝑥−1

B. (1,3] C. [3,+∞) D. [1,3]

2. 函数 𝑓(𝑥)=√4−𝑥 的定义域为 ( )

A. (1,4] B. [4,+∞) C. (−∞,4] D. (−∞,1)∪(1,4] D. 20 D. (−∞,7)

4𝑎

3. 若函数𝑓(log2𝑥+1)=2𝑥+𝑥−9，则𝑓(3)=( )

A. 7 B. 10 C. 11 4. 函数𝑓(𝑥)=3𝑥+4|𝑥−𝑎|的单调递增区间是( )

A. (𝑎,+∞) B. (−∞,𝑎)

C. (7,+∞)

4𝑎

5. 设m，𝑛∈𝑅，给出下列结论：

①𝑚<𝑛<0则𝑚2<𝑛2； ②𝑚𝑎2<𝑛𝑎2则𝑚<𝑛；

③

𝑚𝑛

<𝑎则𝑚<𝑛𝑎；

𝑛

④𝑚<𝑛<0则𝑚<1． 其中正确的结论有( )

A. ②④

1

B. ①④

1

C. ②③

1

D. ③④

1

6. 已知𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑎−𝑥+1)+𝑏𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)是偶函数，则( )

A. 𝑏=2且𝑓(𝑎)>𝑓(𝑎) C. 𝑏=2且𝑓(𝑎+𝑎)>𝑓(𝑏)

7. 函数𝑦=

(𝑥−𝑥3)2𝑥4𝑥+11

1

1

B. 𝑏=−2且𝑓(𝑎)<𝑓(𝑎) D. 𝑏=−2且𝑓(𝑎+𝑎)<𝑓(𝑏)

1

1

1

的部分图象大致为( )

A.

B.

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C.

D.

8. 若𝑥0是函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2𝑥−𝑥的零点，则( )

1

A. −1<𝑥0<0

B. 0<𝑥0<1 C. 1<𝑥0<2 D. 2<𝑥0<4

9. 已知函数𝑓(2𝑥+1)=3𝑥+2，且𝑓(𝑎)=2，则a的值等于( )

A. 8 B. 1 C. 5 D. −1

10. 已知函数𝑓(𝑥)为定义在[−3,𝑡−2]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减，则满足𝑓(−𝑥2+2𝑥−

3)<𝑓(𝑥2+5)的x的取值范围( )

𝑡

A. (1,+∞)

11. 已知函数

B. (0,1]

是

C. (1,√2] D. [0,√2]

上的增函数，则a的取值范围为( )

A. (0,+∞)

12. 已知函数𝑓(𝑥)={

B. (−∞,1]

()𝑥−7,𝑥<0log2(𝑥+1),𝑥≥0

21

C. (0,1) D. (0,1]

，若𝑓(𝑎)<1，则实数a的取值范围是( )

A. (−∞ ,  −3)∪[0 ,  1) C. (−3,1)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

𝑥

B. (−3,0)⋃(−1,1) D. (−∞,−3)⋃(1,+∞)

13. 已知𝑓(2−1)=2𝑥+3，则𝑓(4)=________. 14. 已知幂函数过点(2,4)，则𝑓(3)= ______ ． 15. 国内快递1000 𝑔以内的包裹的邮资标准如表： 运送距离𝑥(𝑘𝑚) 邮资𝑦(元) 0<𝑥≤500 5.00 500<𝑥≤1000 6.00 1000<𝑥≤1500 7.00 … … 如果某人在西安寄快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是________．

16. 若𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑎>0)的图像过点(2,4)，则𝑓(2)=__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

1

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17. 计算：

1

(1)0.0273

−2(√3−√2)+5−1;

0

(2)𝑙𝑔25+𝑙𝑔4−log49·log916．

18. 已知全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|𝑥2−11𝑥+18<0}，𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤5}．

(1)求𝐴∩𝐵；𝐵∪(∁𝑈𝐴)；

(2)已知集合𝐶={𝑥|𝑎≤𝑥≤𝑎+2}，若𝐶∩∁𝑈=𝐶，求实数a的取值范围．

19. 如图为定义在R上的函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象，借助图象解不等式𝑥𝑓(𝑥)<

0．

20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎1−𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)．

(1)判断并证明函数𝑓(𝑥)的奇偶性；

(2)若𝑓(𝑡2−𝑡−1)+𝑓(𝑡−2)<0，求实数t的取值范围．

1+𝑥

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21. 已知𝑎>0且𝑎≠1，函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥+1),𝑔(𝑥)=log𝑎1−𝑥，记𝐹(𝑥)=2𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)．

(1)求函数𝐹(𝑥)的定义域D及其零点；

(2)若关于x的方程𝐹(𝑥)−𝑚=0在区间[0,1)内仅有一解，求实数m的取值范围．

1

22. 已知𝑓(𝑥)是定义域为R的奇函数，当𝑥<0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥−2，则𝑓(𝑥)的解析式．

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-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：解：𝑇={𝑥|𝑥>1}； ∴𝑆∩𝑇=(1,3]． 故选：B．

可求出集合T，然后进行交集的运算即可．

考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算． 2.答案：D

解析： 【分析】

本题考查求函数的定义域，属于基础题，列出使函数有意义的不等式组，解得即可． 【解答】

解：要使解析式有意义需满足：  

4−𝑥≥0 ，即 𝑥≤4 且 𝑥≠1 𝑥−1≠0

{

所以函数 𝑓(𝑥)=√4−𝑥  的定义域为(−∞,1)∪(1,4]．

𝑥−1故选D．

3.答案：C

解析：

【分析】

本题考查函数的值，属于基础题.由函数性质得𝑓(3)=𝑓(log24+1)，由此能求出结果． 【解答】

解：∵𝑓(log2𝑥+1)=2𝑥+𝑥−9，

∴𝑓(3)=𝑓(log24+1)=24+4−9=11． 故选C． 4.答案：A

解析： 【分析】

本题考查含绝对值的函数的单调区间的求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．

讨论当𝑥≥𝑎时，𝑥<𝑎时，去绝对值，由一次函数的单调性，即可得到所求增区间．

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【解答】

解：函数𝑓(𝑥)=3𝑥+4|𝑥−𝑎|，

当𝑥≥𝑎时，𝑓(𝑥)=3𝑥+4𝑥−4𝑎=7𝑥−4𝑎， 可得𝑓(𝑥)在(𝑎,+∞)递增；

当𝑥<𝑎时，𝑓(𝑥)=3𝑥+4𝑎−4𝑥=4𝑎−𝑥， 可得𝑓(𝑥)在(−∞,𝑎)递减． 故选：A． 5.答案：A

解析：解：①𝑚<𝑛<0则𝑚2>𝑛2，因此①不正确． ②𝑚𝑎2<𝑛𝑎2，则𝑎2>0，可得𝑚<𝑛，因此②正确； ③𝑛<𝑎，则𝑚<𝑛𝑎或𝑚>𝑛𝑎，因此不正确； ④𝑚<𝑛<0，则𝑚<1，正确．

其中正确的结论有②④． 故选：A．

利用不等式的基本性质即可判断出正误．

本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.答案：C

𝑛

𝑚

解析：解：∵𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑎−𝑥+1)+𝑏𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)是偶函数， ∴𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，即log𝑎(𝑎𝑥+1)−𝑏𝑥=log𝑎(𝑎−𝑥+1)+𝑏𝑥， ∴log𝑎(𝑎𝑥+1)−𝑏𝑥=log𝑎(𝑎𝑥+1)+(𝑏−1)𝑥， ∴−𝑏=𝑏−1，∴𝑏=2，

∴𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑎−𝑥+1)+𝑥，函数为增函数，

211

∵𝑎+𝑎>2=𝑏，∴𝑓(𝑎+𝑎)>𝑓(𝑏).

故选：C．

利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论．

本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 7.答案：A

1111

解析： 【分析】

本题考查函数图象及函数的奇偶性，同时考查对数函数的性质及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．

由已知函数为奇函数，然后结合导数和特殊点的函数值判断即可． 【解答】 解：令𝑓(𝑥)=所以𝑦=

(𝑥−𝑥3)2𝑥4𝑥+1

，则𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)=

(𝑥−𝑥3)·2𝑥4𝑥+1

+

(−𝑥+𝑥3)·2−𝑥

4−𝑥+1

=0，

(𝑥−𝑥3)2𝑥4𝑥+1

为奇函数，所以排除C，D，

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又在区间(0,1)上，𝑦>0，所以排除B． 故选A． 8.答案：C

解析： 【分析】

利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可． 本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查． 【解答】

解：𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2𝑥−𝑥，函数在𝑥>0时，是增函数， 可得：𝑓(1)=−1<0，𝑓(2)=1−2>0， 所以𝑓(1)𝑓(2)<0，

∴函数的零点所在区间为：(1,2)． 故选：C． 9.答案：B

1

1

解析：解：∵函数𝑓(2𝑥+1)=3𝑥+2，且𝑓(𝑎)=2，令3𝑥+2=2，解得𝑥=0， ∴𝑎=2×0+1=1． 故选：B．

函数𝑓(2𝑥+1)=3𝑥+2，且𝑓(𝑎)=2，令3𝑥+2=2，解得x，进而得到𝑎=2𝑥+1即可． 本题考查了函数的函数值与自变量问题，属于基础题． 10.答案：C

解析： 【分析】

根据函数的奇偶性和单调性可得．

本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题． 【解答】

解：因为函数𝑓(𝑥)为定义在[−3,𝑡−2]上的偶函数，所以−3+𝑡−2=0，𝑡=5， 因为函数𝑓(𝑥)为定义在[−3,3]上的偶函数，且在[−3,0]上单调递减， 所以𝑓(−𝑥2+2𝑥−3)<𝑓(𝑥2+5)等价于𝑓(−𝑥2+2𝑥−3)<𝑓(−𝑥2−1)， 即0≥−𝑥2+2𝑥−3>−𝑥2−1≥−3，1<𝑥≤√2． 故选：C．

𝑡

11.答案：D

解析：

【分析】

本题主要考查函数单调性的应用，要求熟练掌握分段函数单调性成立的条件，属于中档题． 根据分段函数单调性的性质，建立条件关系即可得到a的取值范围． 【解答】

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解：当𝑥≥1时，函数𝑓(𝑥)=log3(𝑥+2)单调递增， 要使

在

上为增函数，

则满足𝑎>0 

, 即 {

𝑎≤1

∴0<𝑎≤1，

即a的取值范围是(0,1]． 故选D ． 12.答案：A

解析： 【分析】

本题主要考查了分段函数的应用，解题的关键是熟练掌握分段函数的计算， 根据已知及分段函数的计算，求出𝑓(𝑎)=1，实数a的取值范围． 【解答】 解：∵函数𝑓(𝑥)={

(2)𝑥−7,𝑥<0

1

log2(𝑥+1),𝑥≥0

，若𝑓(𝑎)<1 𝑎<−3,∴{ 0≤𝑎<1,

∴实数a的取值范围是(−∞ ,  −3)∪[0 ,  1)．

故选A．

13.答案：23

解析： 【分析】

本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题． 利用函数的解析式，可得𝑓(4)=𝑓(2−1)，直接求解函数值即可． 【解答】

解：知𝑓(2−1)=2𝑥+3，则𝑓(4)=𝑓(2−1)=2×10+3=23． 故答案为23．

𝑥

1010

14.答案：9

解析：

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【分析】

本题考查了求幂函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．

设出幂函数的解析式，根据图象过点(2,2)求出函数的解析式，再计算𝑓(3)的值． 【解答】

解：设幂函数为𝑓(𝑥)=𝑥𝛼， 因为图象经过点(2,4)， 所以𝑓(2)=2𝛼=4， 解得𝛼=2；

所以函数的解析式为𝑓(𝑥)=𝑥2 所以𝑓(3)=9． 故答案为：9． 15.答案：7.00元

1

解析： 【分析】

本题主要考查分段函数，函数模型与应用.属于基础题． 【解答】

解：由800<1000(单位：𝑔)，故查表得：当距离为1200km时，对应的邮资为7.00(元)． 故答案为7.00． 16.答案：√2

解析： 【分析】

本题考查指数函数的解析式的求法和指数值的计算，将点(2,4)代入𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑎>0)，可得a值，再计算𝑓(2)即可．

【解答】

解：由题意，函数𝑓(𝑥)的图象过点(2,4)，可得4=𝑎2，解得𝑎=2， 即函数的解析式为𝑓(𝑥)=2𝑥，所以𝑓()=22=√2．

2故答案为√2．

1

1

1

1

17.答案：解：(1)原式=0.3−2×1+5=−1.5．

(2)原式=lg(25×4)−𝑙𝑔4×

4𝑙𝑔2

𝑙𝑔9

𝑙𝑔16𝑙𝑔9

=𝑙𝑔100−2𝑙𝑔2=2−2=0．

解析：本题考查了指数及指数运算，对数及对数运算，是基础题． (1)利用有理数指数幂的运算性质即可求解； (2)利用对数的运算性质即可．

18.答案：解：(1)集合𝐴={𝑥|𝑥2−11𝑥+18<0}={𝑥|2<𝑥<9}，…(1分) 全集𝑈=𝑅，则∁𝑈𝐴={𝑥|𝑥≤2或𝑥≥9}；…(2分)

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又𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤5}，则𝐴∩𝐵={𝑥|2<𝑥≤5}；…(3分) ∴𝐵∪(∁𝑈𝐴)={𝑥|𝑥≤5或𝑥≥9}；…(5分)

(2)集合𝐶={𝑥|𝑎≤𝑥≤𝑎+2}，𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤5}， 则：∁𝑈𝐵={𝑥|𝑥<−2或𝑥>5}，…(6分) ∵𝐶∩∁𝑈𝐵=𝐶， ∴𝐶⊆∁𝑈𝐵，…(7分)

∴需满足：𝑎+2<−2或𝑎>5，…(9分) 解得：𝑎<−4或𝑎>5，

所以实数a的取值范围是(−∞,−4)∪(5,+∞).…(10分)

解析：(1)化简集合A，根据补集与并集和交集的定义计算即可；

(2)根据题意，利用集合的定义与运算性质，列不等式组求出a的取值范围． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

19.答案：解：当𝑥>0时，𝑓(𝑥)<0，结合图象知0<𝑥<1或𝑥>3． 当𝑥<0时，𝑓(𝑥)>0，结合图象知−2<𝑥<0．

综上，原不等式的解集为{𝑥|−2<𝑥<0或0<𝑥<1或𝑥>3}．

解析：本题主要考查函数图象的应用．

根据图像，可分别求𝑥>0且𝑓(𝑥)<0时和𝑥<0且𝑓(𝑥)>0时x的取值，并求出并集，即为不等式𝑥𝑓(𝑥)<0的解集．

20.答案：解：(1)1−𝑥>0⇒𝐷=(−1,1)关于原点对称；

任意取𝑥∈(−1,1)，𝑓(−𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎1+𝑥=−𝑙𝑜𝑔𝑎1−𝑥=−𝑓(𝑥)， 故函数𝑓(𝑥)是奇函数;

(2)因为𝑥∈(−1,1)时，1−𝑥=−1+1−𝑥单调递增

故𝑎>1时，𝑓(𝑥)单调递增；0<𝑎<1时，𝑓(𝑥)单调递减，

因为𝑓(𝑥)是奇函数，故𝑓(𝑡2−𝑡−1)+𝑓(𝑡−2)<0⇔𝑓(𝑡2−𝑡−1)<𝑓(2−𝑡)， 当𝑎>1时，−1<𝑡2−𝑡−1<2−𝑡<1得𝑡∈(1,√3)， 当0<𝑎<1时，−1<2−𝑡<𝑡2−𝑡−1<1得𝑡∈(√3,2)．

1+𝑥

21−𝑥

1+𝑥

1+𝑥

解析：本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的判断，是基础知识的考查． (1)求出函数的定义域，利用奇偶性的定义判断函数𝑓(𝑥)的奇偶性；

(2)判断函数的单调性，然后通过𝑓(𝑡2−𝑡−1)+𝑓(𝑡−2)<0，求实数t的取值范围．

21.答案：解：(1)𝐹(𝑥)=2𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)=2log𝑎(𝑥+1)+log𝑎(1−𝑥)(𝑎>0且𝑎≠1)，

𝑥+1>0由{，方程变为log𝑎(𝑥+1)2=log𝑎(1−𝑥)， 1−𝑥>0可解得−1<𝑥<1，所以函数𝐹(𝑥)的定义域为(−1,1)， 令𝐹(𝑥)=0，则2log𝑎(𝑥+1)+log𝑎(1−𝑥)=0(∗)，

即(𝑥+1)2=1−𝑥，即𝑥2+3𝑥=0，解得𝑥1=0，𝑥2=−3， 经检验𝑥=−3是(∗)的增根，

1

1

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所以方程(∗)的解为𝑥=0，即函数𝐹(𝑥)的零点为0；

(2)𝑚==2log𝑎(𝑥+1)+log𝑎1−𝑥(𝑎>0,𝑎≠1) ，所以𝑚==2log𝑎4),𝑎𝑚=1−𝑥+

41−𝑥

1

𝑥2+2𝑥+11−𝑥

=log𝑎(1−𝑥+

41−𝑥

−

−4，

4

设1−𝑥=𝑡∈(0,1]，则函数𝑦=𝑡+𝑡在区间(0,1]上是减函数， 当𝑡=1时，此𝑥=1时，𝑦min=5，所以𝑎𝑚≥1， ①若𝑎>1，则𝑚≥0，方程有解； ②若0<𝑎<1，则𝑚≤0，方程有解．

解析：本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．

𝑥+1>0

(1)可得𝐹(𝑥)的解析式，由{得定义域，令𝐹(𝑥)=0，由对数函数的性质可解得x的值，注

1−𝑥>0意验证即可；

(2)分离参数，利用函数的单调性，确定参数的值．

22.答案：解析：设𝑥>0，则−𝑥<0，由已知得𝑓(−𝑥)=(−𝑥)2+(−𝑥)−2=𝑥2−𝑥−2，

∵𝑓(𝑥)是奇函数，∴𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥)=−𝑥2+𝑥+2， ∴当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=−𝑥2+𝑥+2；

又𝑓(𝑥)是定义域为R的奇函数，∴𝑓(−0)=−𝑓(0)，∴𝑓(0)=0． 𝑥2+𝑥−2,𝑥<0

综上所述：𝑓(𝑥)={0,𝑥=0

−𝑥2+𝑥+2,𝑥>0

解析：先利用𝑓(−0)=−𝑓(0)求出𝑓(0)=0；再设𝑥>0，由奇函数的性质𝑓(𝑥)=−𝑓(−𝑥)求𝑥<0的表达式．

本题重在考查函数的性质，关键是利用奇偶函数的性质解题，本题属于低档题．

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