浅谈数列通项的求法

浅谈数列通项的求法

作者：陈克高

来源：《中学生数理化·教与学》2012年第09期

江苏阜宁县东沟中学陈克高

数列是高中数学的重要内容之一，而求数列的通项公式又是研究和探讨数列问题的重要渠道。通项公式给

出了数列{an}中第n项an与项数n之间的函数关系。对于一个数列，特别是无穷数列来说，通项公式对认识

这个数列起到关键作用，掌握数列通项公式的求法，有助于学生理解和掌握数列的相关知识、加强知识的

横向联系、促进对知识的进一步掌握；有助于培养学生的创造力、观察力和思维能力，提高学生学习数学

的兴趣。本文通过具体实例对求数列通项公式的方法加以归纳整理。 一、观察法

观察法就是从横向和纵向两方面来观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内

在联系，而后将横向和纵向的规律加以整合得到数列通项的方法。 二、逐差求和法

单独看数列的各项之间似乎不存在明显的关系，但是它们连续两项之间的差有着明显的规律，此时通过求

它们差的和来推导数列通项的方法就是逐差求和法。符合上述条件的数列，我们不难想到等差数列，不妨

先来探讨一下等差数列通项公式的推导。

例如，如果一个数列a1,a2,a3,…an-1,an是等差数列，公差为d，求其通项公式。 分析：规律就是连续两项的差是一常数d，用式子可表示为

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a2-a1=d, a3-a2=d, …

an-an-1=d。

以上(n-1)个式子相加，得an-a1=(n-1)d。 于是an=a1+(n-1)d。

注意:最后一个式子出现an-1，必须验证n=1，此时a1=a1，上式恒成立． 所以an=a1+(n-1)d。 三、归纳法

运用归纳思想方法， 即“由特殊到一般”。这种方法经常帮助我们探索、发现并解决一些数学问题，甚

至得出很重要的数学结论。数学归纳法是解决这个问题的一种方法，应用这个方法可以通过“有限”来解

决“无限”的问题。我们在求数列的通项公式时，也可用归纳猜想的思想方法。 一般地有模式:“特例+

猜想+ 数学归纳法证明”。 在研究数列时，经常用此模式解决一些与自然数有关的问题。 四、公式法

等差数列与等比数列是两种最基本、最常见的数列，常常是设计数列问题的“中途点”，是解决问题的“

突破点”，其基础知识必须牢固掌握。在学习等差数列和等比数列的有关知识时，除了现行教材上介绍的

一些基础知识之外，还要注意它们之间的联系．

将等差数列定义中的减号换成除号，通项中的加号换成乘号，倍乘换成乘方，就可得到等比数列的定义及

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其通项公式，这使我们可以从等差数列的一些性质类比到等比数列的一些性质。 五、不动点法

用代换方法求数列通项时， 可用不动点法帮助寻找合适的代换，不动点法的定义和定理如下。

定义：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。

利用递推数列f(n)的不动点，可将某些递推关系为an=f(an-1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的

数列，这种方法称为不动点法。

定理1：若f(u)=au+b(a≠0,a≠1)，p是f的不动点，{un}满足递推关系un=f(un-1)(n≥1)，则un-p=a(uu-

1-p),即{un-p}是公比为a的等比数列。

定理2：设f(u)=au+bcu+d(c≠0,ad-bc≠0),并且{un}满足递推关系un=f(un-1)(n≥1)，初始条件x1≠f (x1)。

（1）f有两个相异的不动点p,q，则un-pun-q=kun-1-pun-1-q（这里k=a-pca-qc）； （2）若f只有唯一不动点p，则1un-p=1un-1-p+k（这里k=2ca+d）。

运用不动知识求数列通项公式在高考中也时常出现，求不动点时是作为技巧来要求学生掌握的，它的实质

就是不动点法求数列通项。

总之，考查数列的通项，既可考查等价转换和划归这些重要数学思想，又能反映学生对简单数列的理解深

度，同时也是对学生的逻辑推理能力、变通思维能力的考查。因此，探究数列的通项，总结其内在规律，