基本不等式的应用(适合高二必修五)

一．基本不等式

1.（1）若a,b

2. (1)

若a,b

R，则a2

b2

b

2ab (2)若a,b

ab (2)

若

R，则ab

a

2

b2

2

（当且仅当ab时取“=”）b时取“=”）

R，则

*

*

a2

a,b

R，则ab

b时取“=”）

*

2ab（当且仅当a

(3)若

a,b

R，则ab

1x

1xba

a2

b

2

(当且仅当a

3.若x若x4.若ab

0，则x0，则x0，则a

b

2 (当且仅当x

2即x

1x

2或x

1时取“=”）;若x

1x

0，则x

1x

2 (当且仅当x

1时取“=”）

-2 (当且仅当a

b时取“=”）

2 (当且仅当a

b时取“=”）ab

ba

若ab0，则

ab

ba

b2

)

2

2即

a

2

ab

ba

2

2或-2 (当且仅当ab时取“=”）

b时取“=”）

5.若a,b

R，则(a

b（当且仅当a2

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的

积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、应用一：求最值例1：求下列函数的值域

1

（1）y＝3x＋ 2

2x

2

．

证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

比较大小、求变量的取值范围、

1

（2）y＝x＋

x13x· 2

2x

2

解：（1）y＝3x＋

2

1

2≥22x

＝6 ∴值域为[6 ，+∞）1x·

x

＝2；

1x·

x

=－2

1

（2）当x＞0时，y＝x＋≥2

x

当x＜0时，y＝x＋

11

= －（－x－）≤－2xx2]∪[2，+∞）

∴值域为（－∞，－

解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x解：因4x

x

，求函数y

4x2

14x5

的最大值。

14x5

15

4x

不是常数，所以对4x

3

5

0，所以首先要“调整”符号，又(4x2)

4x

0，

y

4x2

14x5

5

4x

2要进行拆、凑项，

,5

231

当且仅当x

1x

，即x1时，上式等号成立，故当x

1时，ymax

1。

1

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当解析：由

时，求y知，

x(82x)的最大值。

，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子

积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号

当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

从而可利用基本不等式求最大值。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，变式：设0

但凑系数后可得到和为定值，

x

32x

，求函数y4x(32x)的最大值。

2x

32

2x

2

解：∵0

323

∴32x

0∴y

4x(32x)22x(32x)2

92

当且仅当2x2x,即x

34

0,

32

时等号成立。

技巧三：分离

例3. 求y

x

2

7x10x1

(x

1)的值域。

x＋1）的项，再将其分离。

解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（

当,即时,

y

2（x1)

4x1

59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

t=x＋1，化简原式在分离求最值。

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令

y

当

(t1)

2

）7(t1+10t

=

t

2

5tt

4

t

4t

5

,即t=时,

y2t

4t

0,B

59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y

mg(x)

Ag(x)

B(A0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

f(x)

x

ax

的单调性。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

例：求函数

y

x

22

的值域。

x

解：令

x

2

4t(t

2)，则y

1t

x

22

x

2

4

1x

2

x

因t

4

t

1t

(t2)

0,tt

1t1t

1，但t

在区间

解得t

1不在区间2,

，故等号不成立，考虑单调性。

因为y

1,

单调递增，所以在其子区间

2,

为单调递增函数，故

y

52

。

2

所以，所求函数的值域为

52

,

。

x的值.

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，

（1）

y

x

2

3x1x

,(x

0)（2）y

2x

1x3

,x3 (3)23

y2sinx

1sinx

,x(0,)

2．已知

0

x1，求函数yx(1x)的最大值

.；3．0x

，求函数

yx(23x)的最大值

.

条件求最值1.若实数满足a

b

2，则3a

3的最小值是 .

3

a

b

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且解：当3

a

3定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

ab

b

3和3都是正数，3

b

aba

3≥23b

ba

3

b

23

b

6

1即当a

b

1时，3

a

3时等号成立，由a2及3

a

3得ab3的最小值是6．

b

变式：若

log4xlog4y2，求

1x

1y

的最小值.并求x,y的值

。

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x

0,yx

0,y

0，且

1x1x

9y9y

1，求x1，

y的最小值。

1x

9y

9xy

错解．．：

0，且

xyxy22xy12

故

xy

min

12。

错因：解法中两次连用基本不等式，在

xy2xy等号成立条件是

x

y，在1

x

9y9等号成立

2xy

条件是

1x

9y

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出

等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：

x0,y0,

1x

9y

1，

xyxy

1x

9y

yx

9xy

1061016

y

当且仅当

x

变式：

9x

时，上式等号成立，又y

1x

9y

1，可得x

1x

4,y

12时，x

y

min

16。

（1）若

x,yR

且

2xR

y

by

1，求

1的最小值y

(2)已知

a,b,x,y

且ax

1，求

xy的最小值

3

技巧七、已知x，y为正实数，且

y2

x＋＝1，求x1＋y的最大值.

2

2

2

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式同时还应化简下面将x，

1＋y1y＋22

2

2

2

a＋b

ab≤

2x1＋y

2

2 2

。1＋y2·

2

2

中y前面的系数为分别看成两个因式：

1y＋222

2

2

1，2

＝x＝2 x·

1y＋22

2

2

x·

1y

＋22

x＋(≤

)

2

x＋＝

2

y1

＋222

2

3＝4

即x1＋y

2

＝2 ·x

1y

＋22

2

3

≤

4

2

技巧八：已知

1

a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

ab

一是通过消元，转化为一元函数问题

，再用单调

二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；的途径进行。

30－2b

法一：a＝，

b＋1

件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式

－2 b＋30b30－2b

ab＝·b＝

b＋1b＋1

2

2

由a＞0得，0＜b＜15

－2t＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2

ttt∴ab≤18

法二：由已知得：

令u＝∴

1

∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

18

∴ 30－ab≥22 ab

2

16t·

t

＝8

30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22 ab

ab

ab

则u＋22 u－30≤0，－52 ≤u≤32

1

≤32 ，ab≤18，∴y≥

18

点评：①本题考查不等式式ab式

a2

b

ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；

②如何由已知不等

ab

2b

30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等

ab的范围.

a2

ab（a,bR），这样将已知条件转换为含

ab的不等式，进而解得

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为

技巧九、取平方

1，求它的面积最大值。

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值. 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

3x＋2y

≤2

（3x）＋（

2

a＋ba＋b

≤22

2

2 2

，本题很简单

2y）

＝2 3x＋2y＝25

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

22

＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)·(2y)＝10＋(3x＋2y)＝20 W＞0，W

2

∴W≤20 ＝25

4

变式: 求函数y解析：注意到

2x152x(

12

x

5的最大值。)2

2x1与52x的和为定值。

52x)y

2

y

2

(2x1

又y

42(2x1)(5

32

2x)4(2x1)(52x)8

0，所以022

时取等号。

故

当且仅当

2x1=52x，即x

ymax

22。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用二：利用基本不等式证明不等式

1．已知

a,b,c为两两不相等的实数，求证：

a

2

b

2

c

2

abbcca

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、c分析：不等式右边数字1a

1

1aaa、b、c

bac

R，且ab

c1。求证：

1a

1

1b

1

1c

18

2”连乘，又

8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2bc，可由此变形入手。a

解：

R，a

bc1。

1a

1

1aa

bca

2bca

。同理

1b

1

2acb

，

1c

1

2abc

。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1a

1

1b

1

1c

1

2bc2ac2aba

b

c

8。当且仅当a

bc

13

时取等号。

应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知x

0,y0且

1x

9y0,y

1，求使不等式xy

m恒成立的实数m的取值范围。

解：令xy3k

k,x0,

1x

9y

1，

xkx

y9xky

9y

1.

10k

ykx

9xky

1

1

10kb

2

。

k

16，m,16

12

a2b

应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a

1,Pb

lgalgb,Q1∴lga

(lga0

lgb),Rlg(

)，则P,Q,R的大小关系是 .

分析：∵a

0,lgb

QR

12

（

lgalgb)

b2)

lg

ab

lgalgb

12lgab

p

Q

∴R>Q>P。

lg(

a

5

基本不等式练习题（1）

1、若实数x，y满足x

2

y

2

4，求xy的最大值

2、若x>0,求f(x)4x9

x

的最小值; 3、若x

0，求y

x1x

的最大值

4、若x<0,求f(x)4x9x

的最大值

5、求f(x)4x

9x5

(x>5)的最小值.

6、若x，yR，x+y=5，求xy的最值7、若x，y

R，2x+y=5，求xy的最值

8、已知直角三角形的面积为

4平方厘米，求该三角形周长的最小值

基本不等式练习题（2）

1、求y1x3

x (x3)的最小值. 2、求yx(5

x) (0

x5)的最大值. 3、求yx(14x)(0x

14

)的最大值。

4、求y12x

3x (x

0)的最大值. 5、若x2，求y2x5

1x2

的最小值

6、若x0，求yx2

x1

x

的最大值。

7、求y

x23x2

2

的最小值.

8、（1）用篱笆围成一个面积为100m2

的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最

短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少

?

6