康普顿散射公式的理论推导(5)

康普顿散射公式的理论推导 夏烆光 （中国船级社 大连分社 辽宁 大连 116091） 提要：本文从介绍康普顿实验结果入手，分别地讨论了康普顿散射的实验结果，以及经典教科书关于康普顿散射实验结果的理论推导。并指出，在经典的理论推导中，错误地利用了光子运动的横向相对论质量。事实上，在简化处理动量和能量的关系式中，已经彻底丢失了电子运动质量的相对论效应。因此说，这个理论结果并不能证明爱因斯坦质能关系式正确与否。纠正了经典教科书中的错误做法，利用广义时空相对论的质能关系式，精确地导出了康普顿散射公式的实验结果，从而间接证明广义时空相对论的质能关系式本身的正确性。 关键词：康普顿 爱因斯坦 狭义相对论 广义时空相对论 康普顿散射 光子的横质量 光子的纵质量 光的量子理论 光的波动理论 引 言 按照狭义相对论，只有假设电子的相对论质量为横向质量mm01V/c时，才能导出康2普顿散射的实验公式。然而在康普顿散射实验中，碰撞前电子是静止的，在碰撞过程中，光子把部分动量传给了电子，从而使电子产生运动。因为，电子的运动方向总是与其所获得动量的方向一致，所以，此时此刻，电子的相对论质量理应采用它的纵向质量m//m01V/c23而不是它的横向质量（见【1】第31～32页）。由此可见，在现行的教科书中，用电子横向质量mm01V/c来推导康2普顿散射公式的做法毫无道理（参见【2】）。 就康普顿散射实验而论，碰撞后电子的运动速度一般都远小于光速（Vc），因而，电子质量的相对论效应十分有限，所以我们完全可以近似地忽略电子质量的相对论效应，这样一来，把碰撞后电子的质量用静止质量m0代入，根据动量pm0、及广义时空相对论的能量Em0cc，并利用电子和光子的能量守恒定律和动量守恒定律，就可以严格地导出康普顿散射实验的理论结果。为了清晰地讨论这个问题，我们先介绍康普顿散射实验结果及其实验公式。 22 一 康普顿散射现象的实验公式 1.1、康普顿散射的经典实验。康普顿研究了X射线经物质散射的实验，进一步的证实了爱因斯坦的光子概念。散射实验与右图所示（参见【3】）：康普顿发现，在散射光中除了有与入射光波长0相同的射线之外，同时还出现一种波长这种改变波长的散射被称为康0的射线。普顿效应。 我国物理学家吴有训在与康普顿共同研究中还发现： 1（1）波长的偏移0随散射角而异；当散射角增大时，波长的偏移也随之增加，而且随着散射角的增大，原波长的谱线的强度增大。 （2）在同一散射角下，对所有散射物质，波长的偏移都相同，但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加，新波长的谱线强度随之减小。 传统的“光波理论”根本无法解释康普顿散射现象。于是，人们转而用光的量子理论来加以解释。 1.2、康普顿散射的光量子理论解释。康普顿效应是光子和自由电子做弹性碰撞的结果。其具体地解释如下：若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子，散射光子的能量减少，于是散射光的波长大于入射光的波长；若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞，光子与整个原子交换能量，由于光子质量远小于原子质量，根据碰撞理论，碰撞前后光子能量几乎不变，波长不变；因为碰撞中交换的能量与碰撞角度有关，所以波长改变与散射角度有关。 1.3、康普顿散射的定量分析。按着光子理论弹性碰撞的观点，则有 能量守恒定律：h0m0chmc； …………………………………………（1） 动量守恒定律：mV222h0chc2h0chccos。…………（2） 22m是电子和光子碰撞后的电子质量，矢量V是碰撞后电子的相对速度矢量，m0是电子的绝对静止质量，而V就是碰撞后电子的相对速度。经推导和整理，最后得到： 02hsin22csin2 ………………………………………（3） m0c2210其中的chm0c2.4310cm是电子的康普顿波长，或写成 02h2220sin2csin0.0486sinA …………（4） m0c222此式说明：波长改变与散射物质无关，仅决定于散射角，且波长改变随散射角增大而增加。计算的理论值与实验符合的非常好（参见【4】）。 二 传统教科书对康普顿散射公式的理论推导 按着经典教科书的解释，电磁辐射通过物质被散射的辐射应与入射辐射具有相同的波长，这是由于入射辐射使物质中原子核外的电子受到一个周期性的力而以入射波的频率振荡，进而由于振荡发射同频率的电磁波。但在康普顿散射实验中，被散射的X射线，除了与入射波相同波长的成分外，还有波长增长的部分。而增长的数量随散射角的不同而不同，这是经典电磁理论解释不了的现象。康普顿用“光的量子说”给出的解释，因而被称为“康普顿效应”。 22.1、光子理论的量子解释。康普顿假定，X射线由光子组成，光子的波长和动量满足于爱因斯坦于1905年提出的Eh和1917年提出的ph两个假定。波长为的光子与原子中质量为m0的静止自由电子碰撞后，在同入射方向成角方向散射，散射波长为（如右图所示）。 2.2、用光量子理论对康普顿散射实验结果的推导。考虑到这个体系的能量和动量均守恒（参见【5】第637~639页）并注意到矢量合成法则，故有： hmec2Ee …………………………………………………（5） pepp这里用me代表碰撞后电子的质量。假设电子以接近光的速度运动，所以我们需要利用电子质量和动量的相对论关系式，即： pm012VmeV …………………………………………（6） 式中，Vc，mem012，当电子的相对速度V0时， …………………………………………………（7） E0m0c2 称为电子的静止能量。——这就是著名的“爱因斯坦质-能关系式”。 总能量Eemec和静止能量E0之差，为电子的动能EK,即 21EKmecm0cm0c1 ………………………………（8） 21222因为1，上式可以按幂级数展开为 221V2m0Vp22EKm0c12c2.......m0c2m2m …………………（9） 002这就是经典力学“动能-动量关系式”。——显然，问题又回到经典的牛顿力学中！ 由此归纳出质量为me的电子，在相对论意义上的静止能量、以及能量-动量关系，即 Eemec2; ………………………………………………（10） 22224Eepecmec22224利用（10）式中的能量-动量关系式Eepecmec，将（5）式化简为 hmc2e22ppmec4 ……………………………………（11） 2为了方面理解，我们把（11）式两端拆分成三个步骤加以推导。其中， 第一步，（11）式的左端为： 3 hmc2e2h22222mec2hme2c4 第二步，（11）式右端的第一项，按着余弦定理展开为： 222pppp2ppcos22hhh2cos 22ccch22222cosc 第三步，（11）式右端的两项之和为： h2222cosme2c4 再回到等式（11）中，则有 h22222mec2hme2c4h2222cosme2c4 把上式化简后得出： 2h22me2hc22h2cos ……………………（12） 整理等式（12）的两端，则有 mec2h1cos121mech1cos ……………………………………（13） h111cos2mce由于c，将上式中最后一个式子两边同时乘以c，得出 h1cos ………………………………………（14） mec2hsin2 …………………………………………（15） mec2利用三角函数的半角公式，则上式可以改写成 的确，这个理论结果与康普顿散射的实验公式完全一致。于是，传统的教科书立刻得出结论：“上述理论结果与实验相符，故康普顿散射有力地支持了光的粒子性和狭义相对论”。——【按】其实，传统教科书的讨论，尽管在（6）式中引入了爱因斯坦的“质-能关系式”，但是经过（8）和（9）式的简化处理之后，在客观上，等于完全忽略了电子质量的“相对论效应”。以此为基础得出的理论结果只能说明：狭义相对论质-能关系在理论推导中并没有起作用。因此，并不能从这一点上说明“康普顿散射支持了狭义相对论”，而充其量只能说明“康普顿散射支持了光的量子性”。 顺便指出：狭义相对论根据四度速度的平方ui1的定义得出pimc，并证明pi的三个空 42222间分量就是动量P，而它的第4个分量（时间分量）为p4iEc，即pp1,2,3，p4iEc。由此，爱因斯坦得出微观物体的总能量E2p2c2m2c4（参见【1】第34~35页）。在广义时空相对论中，同样导出了H2p2c2m2c4，其中的H和E具有相同的物理意义，p也是粒子动量的绝对值。当粒子的绝对速度c时，其相对速度V将和绝对速度趋于一致，于是则有HEmc2p22m。——这就是经典力学的“能量-动量关系式”（参见【6】第239页）。 事实上，我国科技工作者，季灏先生通过“关于电子Lorentz力和能量测量的实验”指出：“电子的能量和动量满足经典力学的动量和能量定义”（参见右图）。其中，图1就是经典力学和狭义相对论关于“电子动量-动能关系的理论曲线”，而图5则是从另一个侧面上间接地反映出“实验值与理论值的比较”（参见【7】）。 诚如所述，在传统教科书中，所有关于康普顿散射的理论推导，都是用狭义相对论的横向质量公式，即mm01Vc来推2导。为此，我们这里必须严肃地指出：电子在相对论意义上的横向质量和光子的入射方向是垂直的，在康普顿散射中，只有电子的纵向质量m//m01V/c23和速度的乘积，才能满足光子与电子弹性碰撞的动量守恒定律。——因此说，用电子的横向质量来讨论它的动量公式的做法本身就不正确。 还有，早在1948年6月19日，爱因斯坦在给Barnet的信中就已经坦率地承认：“运动物体的质量mm0（参见【8】第136页）。所以说，1Vc是不正确的，因为对m没有给出明确的定义”2在传统的教科书中，使用电子横向质量表达式来计算康普顿散射公式的做法是错误的。由此可见，经典教科书的讨论结果，只能证明“光波”本身的“量子性”，而与爱因斯坦狭义相对论的“质-能关系式”正确与否毫不相关！ 三、广义时空相对论对康普顿散射公式的理论推导 因为c，所以碰撞结果造成,，以及c。用m0表示电子的静止质量，根据能量守恒定律和动量守恒定律，利用广义时空相对论的“质量-能量关系式”（参见【6】第138~142页），以及“动量关系式”写出 能量守恒定律 hm0c2hm0cc22 ……………………………………（16） 动量守恒定律 5m0hchc2hchccos ……………（17） 222以下的讨论，我们将继续使用电子的静止质量（m0）来代表碰撞后电子所具有的质量，其目的是为了验证碰撞速度对散射角的影响究竟有多大？进而从另一个侧面上来验证电子质量的相对论效应是否存在？如果有影响，则电子质量的相对论效应存在；如果没有任何影响，则说明：在康普顿散射实验中根本不存在电子质量的“相对论效应”这一问题。其实，季灏先生的实验已经清楚地证明：“在极高速度运动状态下，电子的动能和动量关系依然服从经典力学理论”，“狭义相对论并不正确”。 考虑到光速不变原理，那么，光子在碰撞前与碰撞后具有的动量将分别地变为 ch； ……………………………………………………………（18） 2cch2。 …………………………………………………………（19） pcp按着广义时空相对论，粒子的各种力学量只能与它的绝对速度（）有关，所以将（14）式改写成 m0进而得出 2hchchchc22222cos cccc22h2h22h22m222cos …………………………（20） 2ccc202222m0ch22h222h2cos …………………………（21） 整理上式得出 再将（16）式移项后平方，得出 m0cchm0c222222， 进一步整理后得出 mchm0c22022224m0c ………………………………（22） 注意到（21）和（22）式的左端完全相同，所以它们的右端必定相等，故有  hm0c2224m0ch22h222h2cos …………（23） 将上式左端的中括号打开，并整理后得出 m0c2hhcos ……………………………………（24） 显然，在上述讨论中，并没有利用到相对论给出的动量-能量关系式。 进一步地整理，把上式两边同除以，得出 m0c2h1cos 的关系式代入上式，得出  …………………………………………（25） 将c 6ch(1cos) ………………………………（26） m0c2并利用三角函数的半角公式（1cos2sin 2）代入上式，经过整理得出： h1cos2hsin2 …………………………………（27） m0cm0c228用h6.62531027erg.s，c2.997931010cm/s，m09.10810g代入上式，则有 2h2sinm0c226.625310272 sin281029.108102.9979310020.04853sin2A ………………………………（28） ——这一理论结果与康普顿散射的实验公式精确地一致。 在上述讨论中，我们并没有使用能量和动量之间任何形式的关系式，而是直接用广义时空相对论的质能关系式，根据能量和动量守恒定律，照样从理论上严格地导出康普顿散射的实验结果。这说明，从康普顿散射实验出发，并不能证明狭义相对论的质能关系式正确与否？而只能证明：广义时空相对论的质-能关系式是完全正确的。 结 论 总而言之，仅仅通过康普顿散射实验不能证明爱因斯坦狭义相对论的质能关系式正确与否，只能证明光子本身具有粒子性，进而证明光的量子理论是正确的。再者，传统教科书中利用康普顿散射实验来验证爱因斯坦质能关系式的做法存在着两个方面的错误：一是在简化处理的过程中，把电子运动的相对论效应已经简化的荡然无存了；二是电子运动横向质量表达式与康普顿效应毫不相关，只有电子的纵向质量表达式才有关，传统的教科书正是用电子横向质量的相对论效应来讨论康普顿散射实验，这是毫无道理的。事实证明，用广义时空相对论的质能关系式，且不考虑电子质量的相对论效应，反而能够完全正确地导出康普顿散射实验公式，这就有力地证明，广义时空相对论的质-能关系是完全正确的。 参考文献 【1】[苏]Л.Д.朗道、Е.М.栗弗席兹著，任 朗、袁炳南译《场论》北京：人民出版社， 1958年8月，第一版。 【2】夏烆光，广义时空相对论及其应用概述[J].产业与科技论坛，2014.15。 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