2019-2020学年北京市海淀区七年级上期末数学试卷及答案解析

2019-2020学年北京市海淀区七年级上期末数学试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．在一条直线上，依次有E、F、G、H四点．如果点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点，则有（ ） A．EF＝2GH

B．EF＞GH

C．EF＞2GH

D．EF＝GH

2．4的绝对值为（ ） A．±4

B．4

C．﹣4

D．2

3．天津到上海的铁路里程约1326000米，用科学记数法表示1326000的结果是（ ） A．0.1326×107

B．1.326×106

C．13.26×105

D．1.326×107

4．若x2+ax﹣2y+7﹣2（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与x的取值无关，则a﹣2b的值为（ ） A．﹣5

B．﹣3

C．3

D．4

5．若x＝﹣1是关于x的方程2x﹣m﹣5＝0的解，则m的值是（ ） A．7

B．﹣7

C．﹣1

D．1

6．下列换算中，错误的是（ ） A．0.25°＝900″ C．47.28°＝47°16′48″

B．16°5′24″＝16.09° D．80.5°＝80°50′

7．点A，B，C在同一直线上，已知AB＝3cm，BC＝1cm，则线段AC的长是（ ） A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．2cm或4cm

8．已知（2x﹣3）7＝a0x7+a1x6+a2x5+……+a6x+a7，则a0+a1+a2+……+a7＝（ ） A．1

B．﹣1

C．2

D．0

9．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是（ ）

A． B． C． D．

10．点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，其中O为原点，BC＝2，OA＝OB，若C点所表示的数为x，则A点所表示的数为（ ）

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A．﹣x+2

B．﹣x﹣2

C．x+2

D．﹣2

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

11．（2分）比较大小：﹣ ﹣（填“＞”“＜”或“＝”）

12．（2分）在一条直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm．如果点D是线段AC的中点，那么线段DB的长度是 cm．

13．（2分）已知多项式2+3x4﹣5xy2﹣4x2y+6x3，将其按x的降幂排列为 ． 14．（2分）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝ ．

15．（2分）如图，点O是直线AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中互为补角的角有 对．

16．（2分）某校七年级学生乘车去郊外秋游，如果每辆汽车坐45人，那么有16人坐不上汽车；如果每辆汽车坐50人，那么有一辆汽车空出9个座位，有x辆汽车，则根据题意可列出方程为 ．

17．（2分）点A在数轴上距原点2个单位长度，若一个点从点A处向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，此时终点所表示的数是 ．

18．（2分）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面100米处，同时出发去距离甲1300米的目的地，其中甲的速度比乙的速度快．设甲、乙之间的距离为y米，乙行驶的时间为x秒，y与x之间的关系如图所示．则甲的速度为每秒 米．

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三．解答题（共4小题，满分24分） 19．（8分）计算

（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15． （2）﹣0.25++﹣0.5． （3）

×（﹣）×

÷．

．

（4）﹣42﹣（﹣1）10×|﹣3|÷20．（8分）解方程 （1）4﹣3（2﹣x）＝5x （2）

＝

21．（4分）（1）设A＝2a2﹣a，B＝a2+a，若

，求A﹣2B的值；

（2）某公司有甲、乙两类经营收入，去年甲类收入是乙类收入的2倍，预计今年甲类年收入减少9%，乙类收入将增加19%．问今年该公司的年总收入比去年增加了吗？请说明理由．

22．（4分）如图，∠MON内有定点P．

（1）在射线OM上找点A，使点A到点P和点O的距离相等（保留作图痕迹）； （2）在射线ON上找点B，使△ABP周长最短（保留作图痕迹）．

四．解答题（共2小题，满分11分）

23．（6分）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、

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Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．

（1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝ （用含m的代数式表示）； （2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；

（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．

24．（5分）蜗牛沿10米高的柱往上爬，每天清晨到傍晚向上爬5米，晚上又滑下4米，像这样从某天清晨开始爬，第几天爬到柱顶？ 五．解答题（共3小题，满分19分） 25．（6分）解方程a（a﹣）x＝

．

26．（6分）如图1，O为直线AB上一点，OC为射线，∠AOC＝40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OA上，另一边OE与OC都在直线AB的上方．

（1）将三角板绕点O顺时针旋转，若OD恰好平分∠AOC（如图2），试说明OE平分∠BOC；

（2）将三角板绕点O在直线AB上方顺时针旋转，当OD落在∠BOC内部，且∠COD＝∠BOE时，求∠AOE的度数：

（3）将图1中的三角板和射线OC同时绕点O，分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，OD恰好与OC在同一条直线上？

27．（7分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+…+22017+22018① 则2S＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1

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∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29＝ ； （2）3+32+…+310＝ ；

（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．

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2019-2020学年北京市海淀区七年级上期末数学试卷

参与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．在一条直线上，依次有E、F、G、H四点．如果点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点，则有（ ） A．EF＝2GH

B．EF＞GH

C．EF＞2GH

D．EF＝GH

【分析】依据点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点，即可得到EF＝FG，FG＝GH，进而得出结论．

【解答】解：如图，∵点F是线段EG的中点，点G是线段FH的中点， ∴EF＝FG，FG＝GH， ∴EF＝GH， 故选：D．

【点评】本题主要考查了线段的中点，线段的中点就是把一条线段分成两条相等的线段的点．

2．4的绝对值为（ ） A．±4

B．4

C．﹣4

D．2

【分析】数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．根据绝对值的定义求解． 【解答】解：∵数轴上表示4的点与原点的距离为4， ∴4的绝对值是4， 故选：B．

【点评】此题考查了绝对值的定义，数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． 3．天津到上海的铁路里程约1326000米，用科学记数法表示1326000的结果是（ ） A．0.1326×107

B．1.326×106

C．13.26×105

D．1.326×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：用科学记数法表示1326000的结果是1.326×106，

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故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．若x2+ax﹣2y+7﹣2（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与x的取值无关，则a﹣2b的值为（ ） A．﹣5

B．﹣3

C．3

D．4

【分析】先将原式去括号、合并同类项化简，再由多项式的值与x无关知x的项的系数为0，据此求得a和b的值，最后代入计算可得． 【解答】解：x2+ax﹣2y+7﹣2（bx2﹣2x+9y﹣1） ＝x2+ax﹣2y+7﹣2bx2+4x﹣18y+2 ＝（1﹣2b）x2+（a+4）x﹣20y+9，

∵x2+ax﹣2y+7﹣2（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与x的取值无关， ∴1﹣2b＝0且a+4＝0， 则a＝﹣4，b＝，

∴a﹣2b＝﹣4﹣2×＝﹣5， 故选：A．

【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减混合运算顺序和运算法则．

5．若x＝﹣1是关于x的方程2x﹣m﹣5＝0的解，则m的值是（ ） A．7

B．﹣7

C．﹣1

D．1

【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出m的值． 【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：﹣2﹣m﹣5＝0， 解得：m＝﹣7， 故选：B．

【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

6．下列换算中，错误的是（ ） A．0.25°＝900″ C．47.28°＝47°16′48″

B．16°5′24″＝16.09° D．80.5°＝80°50′

【分析】直接利用度分秒转换法则分别计算得出答案．

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【解答】解：A、0.25°＝15′＝900″，正确，不合题意； B、16°5′24″＝16°5.4′＝16.09°，正确，不合题意； C、47.28°＝47°16′48″，正确，不合题意； D、80.5°＝80°30′，错误，符合题意． 故选：D．

【点评】此题主要考查了度分秒的换算，正确掌握运算法则是解题关键．

7．点A，B，C在同一直线上，已知AB＝3cm，BC＝1cm，则线段AC的长是（ ） A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．2cm或4cm

【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意画出的图形进行解答． 【解答】解：本题有两种情形：

（1）当点C在线段AB上时，如图，AC＝AB﹣BC，

又∵AB＝3cm，BC＝1cm， ∴AC＝3﹣1＝2cm；

（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC＝AB+BC，

又∵AB＝3cm，BC＝1cm， ∴AC＝3+1＝4cm． 故线段AC＝2cm或4cm． 故选：D．

【点评】考查了两点间的距离，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 8．已知（2x﹣3）7＝a0x7+a1x6+a2x5+……+a6x+a7，则a0+a1+a2+……+a7＝（ ） A．1

B．﹣1

C．2

D．0

【分析】令x＝1，即可求出所求．

【解答】解：当x＝1时，（2﹣3）7＝a0+a1+a2+……+a6+a7， 则a0+a1+a2+……+a7＝﹣1， 故选：B．

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【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得俯视图为正方形以及右下角一个三角形． 【解答】解：从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图：

故选：B．

【点评】本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．

10．点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，其中O为原点，BC＝2，OA＝OB，若C点所表示的数为x，则A点所表示的数为（ ）

A．﹣x+2

B．﹣x﹣2

C．x+2

D．﹣2

【分析】首先根据BC＝2，C点所表示的数为x，求出B表示的数是多少，然后根据OA＝OB，求出A点所表示的数是多少即可． 【解答】解：∵BC＝2，C点所表示的数为x， ∴B点表示的数是x﹣2， 又∵OA＝OB，

∴B点和A点表示的数互为相反数， ∴A点所表示的数是﹣（x﹣2），即﹣x+2． 故选：A．

【点评】此题主要考查了列代数式，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．

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二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

11．（2分）比较大小：﹣ ＞ ﹣（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案． 【解答】解：|∵

，

|＝，|﹣|＝，

∴﹣＞﹣， 故答案为：＞．

【点评】此题主要考查了有理数的大小比较，关键是掌握有理数比较大小的方法． 12．（2分）在一条直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm．如果点D是线段AC的中点，那么线段DB的长度是 1 cm．

【分析】先画出图象，则AC＝AB+BC＝5cm+3cm＝8cm，根据点D是线段AC的中点可得到AD＝4cm，然后利用DB＝AB﹣AD进行计算． 【解答】解：如图， ∵AB＝5cm，BC＝3cm，

∴AC＝AB+BC＝5cm+3cm＝8cm， ∵点D是线段AC的中点， ∴AD＝AC＝×8cm＝4cm， ∴DB＝AB﹣AD＝5cm﹣4cm＝1cm． 故答案为1．

【点评】本题考查了两点间的距离：两点间的连线段的长度叫这两点间的距离．也考查了线段中点的定义．

13．（2分）已知多项式2+3x4﹣5xy2﹣4x2y+6x3，将其按x的降幂排列为 3x4+6x3﹣4x2y﹣5xy2+2 ．

【分析】根据字母x的指数从大到小排列即可．

【解答】解：按x的降幂排列为：3x4+6x3﹣4x2y﹣5xy2+2， 故答案为：3x4+6x3﹣4x2y﹣5xy2+2．

【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握降幂排列定义．

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14．（2分）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝ ．

【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝2，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝2

，从而得出答案．

【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，

∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝4、GF＝CE＝2， ∴AD∥GF， ∴∠GFH＝∠PAH， 又∵H是AF的中点， ∴AH＝FH，

在△APH和△FGH中， ∵

，

∴△APH≌△FGH（ASA）， ∴AP＝GF＝2，PH＝HG＝PG，

∵PD＝AD﹣AP＝2，GD＝GC﹣CD＝4﹣2＝2 ∴GP＝

＝2

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∴GH＝GP＝故答案为：

【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．

15．（2分）如图，点O是直线AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中互为补角的角有 6 对．

【分析】根据补角的概念、角平分线的定义计算，得到答案． 【解答】解：∵∠AOD＝120°， ∴∠BOD＝180°﹣120°＝60°， ∵OE平分∠BOD，

∴∠DOE＝∠BOE＝∠BOD＝30°， ∴∠AOE＝150°，

则∠AOD+∠COE＝180°，∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE+∠DOE＝180°，∠AOD+∠DOC＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOD+∠EOC＝180°， ∴图中互为补角的角有6对， 故答案为：6．

【点评】本题考查的是补角的概念，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角． 16．（2分）某校七年级学生乘车去郊外秋游，如果每辆汽车坐45人，那么有16人坐不上汽车；如果每辆汽车坐50人，那么有一辆汽车空出9个座位，有x辆汽车，则根据题意可列出方程为 45x+16＝50x﹣9 ．

【分析】设有x辆汽车，根据去郊游的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：设有x辆汽车， 根据题意得：45x+16＝50x﹣9． 故答案为：45x+16＝50x﹣9．

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【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

17．（2分）点A在数轴上距原点2个单位长度，若一个点从点A处向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，此时终点所表示的数是 1或﹣3 ． 【分析】根据数轴上点的位置特征确定出终点表示的数即可． 【解答】解：根据题意得：2+3﹣4＝1或﹣2+3﹣4＝﹣3， 此时终点所表示的数是1或﹣3， 故答案为：1或﹣3

【点评】此题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键．

18．（2分）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面100米处，同时出发去距离甲1300米的目的地，其中甲的速度比乙的速度快．设甲、乙之间的距离为y米，乙行驶的时间为x秒，y与x之间的关系如图所示．则甲的速度为每秒 6 米．

【分析】设甲的速度为x米/秒，根据50秒时，甲追上乙列方程求出甲的速度． 【解答】解：由图可知：①50秒时，甲追上乙，②300秒时，乙到达目的地， ∴乙的速度为：设甲的速度为x米/秒， 则50x﹣50×4＝100， x＝6， 故答案为：6

【点评】本题是函数图象的信息题，又是行程问题，首先要明确三个量：路程、时间和速度，题中有三人：甲、乙、丙，正确读出图形中甲、乙相遇及到达目的地的时间是本题的关键；重点理解图象中x与y所表示的含义，也是本题的难点． 三．解答题（共4小题，满分24分） 19．（8分）计算

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＝4，

（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15． （2）﹣0.25++﹣0.5． （3）

×（﹣）×

÷．

．

（4）﹣42﹣（﹣1）10×|﹣3|÷

【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值； （2）原式通分后，计算即可求出值；

（3）原式先计算括号中的运算，再计算乘除运算即可求出值；

（4）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝12+18﹣7﹣15＝30﹣22＝8； （2）原式＝﹣（3）原式＝

+

+

﹣

＝

＝；

；

×（﹣）××＝﹣

（4）原式＝﹣16﹣1×3×＝﹣16﹣16＝﹣32．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（8分）解方程 （1）4﹣3（2﹣x）＝5x （2）

＝

【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：4﹣6+3x＝5x， 移项合并得：﹣2x＝2， 解得：x＝﹣1；

（2）去分母得：4x﹣2+6＝2x+1， 移项合并得：2x＝﹣3， 解得：x＝﹣1.5．

【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（4分）（1）设A＝2a2﹣a，B＝a2+a，若

，求A﹣2B的值；

（2）某公司有甲、乙两类经营收入，去年甲类收入是乙类收入的2倍，预计今年甲类年

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收入减少9%，乙类收入将增加19%．问今年该公司的年总收入比去年增加了吗？请说明理由．

【分析】（1）把A、B的值代入得出A﹣2B＝（2a2﹣a）﹣2（a2+a），去括号后合并后再代入计算即可求解；

（2）设去年乙类收入为a，则甲类收入是2a；进一步表示出预计今年甲类收入为（1﹣20%）×1.5a，乙类收入为（1+40%）a；分别算出两年甲类、乙类两种经营总收入，进一步比较得出答案． 【解答】解：（1）A﹣2B ＝（2a2﹣a）﹣2（a2+a） ＝2a2﹣a﹣2a2﹣2a ＝﹣3a， 当

（2）今年该公司的年总收入是增加．理由如下： 设去年乙类收入为a，则甲类收入是2a， 去年甲类、乙类两种经营总收入为：a+2a＝3a；

预计今年甲类年收入为（1﹣9%）×2a，B种年收入为（1+19%）a，

预计今年甲类、乙类两种经营总收入为：（1﹣9%）×2a+（1+19%）a＝3.01a； 因为3.01a＞3a，

所以今年该公司的年总收入是增加．

【点评】（1）考查了整式的加减﹣求值，主要考查学生化简能力和计算能力． （2）考查列代数式，比较有理数的大小，列式时注意单位“1”，以单位“1”为标准列示解决问题．

22．（4分）如图，∠MON内有定点P．

（1）在射线OM上找点A，使点A到点P和点O的距离相等（保留作图痕迹）； （2）在射线ON上找点B，使△ABP周长最短（保留作图痕迹）．

时，原式＝﹣3×（﹣）＝1；

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【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质即可作图；

（2）作点P关于ON的对称点P′，根据两点之间线段最短即可作图． 【解答】解：（1）如图点A即为所求作的点．

（2）如图点B即为所求作的点，此时△ABP周长最短．

【点评】本题考查了尺规作图、线段的垂直平分线的性质，解决本题的关键是准确画图． 四．解答题（共2小题，满分11分）

23．（6分）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP． （1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝

m （用含m的代数式表示）；

（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；

（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．

【分析】（1）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定答；

（2）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP；

（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ与1的

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大小关系．

【解答】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵点C恰好在线段AB中点， ∴AC＝BC＝AB， ∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝AB＝m； 故答案为：m；

（2）①点C在线段AB上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×（AC+BC）＝AB＝m； ②点C在线段BA的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m； ③点C在线段AB的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m； 故PQ是一个常数，即是常数m； （3）如图：

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∵CQ＝2AQ， ∴2AP+CQ﹣2PQ ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ） ＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ ＝CQ﹣2AQ ＝2AQ﹣2AQ ＝0，

∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．

【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．

24．（5分）蜗牛沿10米高的柱往上爬，每天清晨到傍晚向上爬5米，晚上又滑下4米，像这样从某天清晨开始爬，第几天爬到柱顶？

【分析】规定向上爬为“+”，则向下滑为“﹣”，然后根据题意，列出算式来解答． 【解答】解：设第x天爬到柱顶，规定向上爬为“+”，则向下滑为“﹣”，则根据题意，得

5x﹣4（x﹣1）＝10， 解得x＝6．

故蜗牛在第6天爬到柱顶．

【点评】在解答此题时注意，蜗牛在最后一天爬到顶端后，不用再滑下来了，即在计算天数时，上爬的天数应该比下滑的天数多一天． 五．解答题（共3小题，满分19分） 25．（6分）解方程a（a﹣）x＝

．

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【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：去括号得：a（a﹣）x＝a+x+， 移项合并得：（a2﹣﹣）x＝a+， 去分母得：（6a2﹣a﹣1）x＝3a+1， 解得：x＝

．

【点评】此题考查了单项式乘多项式，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

26．（6分）如图1，O为直线AB上一点，OC为射线，∠AOC＝40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OA上，另一边OE与OC都在直线AB的上方．

（1）将三角板绕点O顺时针旋转，若OD恰好平分∠AOC（如图2），试说明OE平分∠BOC；

（2）将三角板绕点O在直线AB上方顺时针旋转，当OD落在∠BOC内部，且∠COD＝∠BOE时，求∠AOE的度数：

（3）将图1中的三角板和射线OC同时绕点O，分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，OD恰好与OC在同一条直线上？ 【分析】（1）由角平分线的性质及同角的余角相等，可得答案；

（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，由题意得关于α的方程，求解即可； （3）分两种情况考虑：当OD与OC重合时；当OD与OC的反向延长线重合时． 【解答】解：（1）∵OD恰好平分∠AOC ∴∠AOD＝∠COD ∵∠DOE＝90°

∴∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠COE＝90° ∴∠BOE＝∠COE

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∴OE平分∠BOC．

（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，当OD在∠BOC的内部时， ∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+α ∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣90°＝90° ∴40°+α+3α＝90° ∴α＝12.5°

∴∠AOE＝180°﹣3α＝142.5° ∴∠AOE的度数为142.5°．

（3）设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则∠AOD＝6t，∠AOC＝2t+40°； 当OD与OC重合时，6t﹣2t＝40° ∴t＝10（秒）；

当OD与OC的反向延长线重合时，6t﹣2t＝180°+40° ∴t＝55（秒）

∴第10秒或第55秒时，OD恰好与OC在同一条直线上．

【点评】本题考查了余角和补角的计算，牢固掌握相关性质并正确列式，是解题的关键． 27．（7分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+…+22017+22018① 则2S＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1 ∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+…+29＝ 210﹣1 ； （2）3+32+…+310＝

；

（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．

【分析】（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+210，然后把两式相减计算出S即可；

（2）利用题中的方法设S＝3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可； （3）利用（2）的方法计算．

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【解答】解：（1）设S＝1+2+22+…+29① 则2S＝2+22+…+210② ②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1 ∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1； 故答案为：210﹣1

（2）设S＝3+32+33+34+…+310 ①， 则3S＝32+33+34+35+…+311 ②， ②﹣①得2S＝311﹣3， 所以S＝

，

；

即3+32+33+34+…+310＝故答案为：

；

（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①， 则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②， ②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，

a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1； a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝即1+a+a2+a3+a4+..+an＝

，

，

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．

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