2017-2018学年度第一学期期末素质测试人教版八年级数学(含解析)

……○○……………………线线……………………○○… _……___……___…_…：订号…考订…___…_…__…_…_：……级○班…__○_…___……__：……名……姓_…_装___装…___……___…:…校学………○○……………………外内……………………○○……………………2017-2018学年度第一学期期末素质测试

八年级数学

考试范围：人教版八年级；考试时间：100分钟；分数：120分

题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

一．选择题（10小题,3共30分）

1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A．

B．

C．

D．

2．若分式

有意义，则x满足的条件是（ ）

A．x＝1 B．x＝3 C．x≠1 D．x≠3

3．下列运算中正确的是（ ） A．a2•a3＝a5

B．（a2）3＝a5

C．a6÷a2＝a3

D．a5+a5＝2a10

4．石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 034米，将这个数用科学记数法表示为（ ）米 A．0.34×10﹣9

B．3.4×10﹣9

C．3.4×10﹣10

D．3.4×10﹣11

5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．下列分式中是最简分式的是（ ）

试卷第1页，总6页

A．

B．

C．

D．

7．若x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（ ） A．6

B．﹣6

C．9

D．6或﹣6

8．如果方程

有增根，那么m的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．无解

9． 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴

于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于

MN的长为半

径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（3a﹣1，b），则a与b的数量关系为（ ）

A．3a+b＝1 B．3a+b＝﹣1 C．3a﹣b＝1 D．a＝b

10．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（ ）

A． B．

C．2 D．4

二．填空题（5小题，共15分）

11．一个n边形的内角和是0°，那么n＝ ． 12．若分式

的值为零，则x的值为 ．

13．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC

试卷第2页，总6页

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于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝ cm．

14．D为等腰Rt△ABC斜边BC上一点（不与B、C重合），DE⊥BC于点D，交直线BA于点E，作∠EDF＝45°，DF交AC于F，连接EF，BD＝nDC，当n＝ 时，△DEF为等腰直角三角形．

15．如图，是我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式（a+b）n（n为整数）的展开时的系数规律，（按a的次数由大到小的顺序），此规律称之为“杨辉三角”．请依据此规律，写出（a+b）2018展开式中含a2017项的系数是 ．

（a+b）0＝1 1 （a+b）1＝a+b 11 （a+b）2＝a2+2ab+b2 1 2 1 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 1 3 3 1 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b3 1 4 6 4 1 …… …… 评卷人 得 分 三．解答题（75分） 16．（10分）计算：

（1）（x﹣y）（x+2y）+（2x﹣y）（2x+y）

（2）（3m﹣4n）（3m+4n）﹣（2m﹣n）（2m+n） 17．（8分）把下面各式分解因式：

试卷第3页，总6页

（1）4x2﹣8x+4

（2）x2+2x（x﹣3y）+（x﹣3y）2． 18．（9分）先化简代数式

，然后选取一个使原式有意义的x值代入求值．

19．（10分）解分式方程： （1）

（2）

．

20．（10分）某市火车站北广场将于2016年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共 6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600 棵． （1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？

（2）如果园林处安排13人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40 棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？

21．（8分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G．连接AG．求证：△ABG≌

试卷第4页，总6页

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△AFG．

22．（10分）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．

（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD； （2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．

23．（10分）已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；

试卷第5页，总6页

…………○…………

点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）， （1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB； （2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；

（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．

…………○…………

试卷第6页，总6页

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参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】结合选项根据轴对称图形的概念求解即可． 【解答】解：：A、不是轴对称图形，本选项正确； B、是轴对称图形，本选项错误； C、是轴对称图形，本选项错误； D、是轴对称图形，本选项错误． 故选：A．

【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．若分式

有意义，则x满足的条件是（ ）

A．x＝1 B．x＝3 C．x≠1 D．x≠3

【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．

【解答】解：分式有意义，得

x﹣3≠0． 解得x≠3， 故选：D．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义是解题关键．

3．下列运算中正确的是（ ） A．a2•a3＝a5

B．（a2）3＝a5

C．a6÷a2＝a3

D．a5+a5＝2a10

【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据同底数幂的除法，可判断C；根据合并同类项，可判断D．

1

【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A正确； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误； C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误； D、合并同类项系数相加字母部分不变，故D错误； 故选：A．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 4．石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 034米，将这个数用科学记数法表示为（ ）米 A．0.34×109

﹣

B．3.4×109

﹣

C．3.4×10

﹣10

D．3.4×10

﹣11

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000 000 000 034＝3.4×10﹣11． 故选：D．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD，

∴S△ABD AB•DE 10•DE＝15，

2

解得DE＝3． 故选：A．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键． 6．下列分式中是最简分式的是（ ） A．C．

B．

D．

【分析】判断分式是否是最简式，看分式能否进行因式分解，是否能约分． 【解答】解：A、是最简分式，故正确；

，故错误；

C、不是最简分式，因为 ，故错误；

D、不是最简分式，因为 ，故错误．

故选：A．

B、不是最简分式，因为

【点评】在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．

7．若x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（ ） A．6

B．﹣6

C．9

D．6或﹣6

【分析】本题是完全平方公式的应用，这里首末两项是x和9这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和9乘积的2倍． 【解答】解：∵x2+kx+9是一个完全平方式， ∴这两个数是x和3， ∴kx＝±2×3x＝±6x， 解得k＝±6． 故选：D．

3

【点评】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．

8．如果方程 有增根，那么m的值为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．无解

【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣3）， 得x＝3m． ∵原方程有增根，

∴最简公分母（x﹣3）＝0， 解得x＝3．

m x＝1，

故选：A．

【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

9． 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴

于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半

径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（3a﹣1，b），则a与b的数量关系为（ ）

A．3a+b＝1 B．3a+b＝﹣1 C．3a﹣b＝1 D．a＝b

【分析】由题意知点P在第二象限角平分线上，即可得3a﹣1＝﹣b，从而得出答案．

4

【解答】解：由题意知，点P在第二象限角平分线上， ∴3a﹣1＝﹣b， 则3a+b＝1， 故选：A．

【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握角平分线的尺规作图及第二象限角平分线上点的坐标特点是解题的关键．

10．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（ ）

A． B．

C．2 D．4

【分析】根据折叠的性质，在图②中得到DB＝8﹣6＝2，∠EAD＝45°；在图③中，得到AB＝AD﹣DB＝6﹣2＝4，△ABF为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和矩形的性质得到BF＝AB＝4，CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2，EC＝DB＝2，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵AB＝8，AD＝6，纸片折叠，使得AD边落在AB边上， ∴DB＝8﹣6＝2，∠EAD＝45°，

又∵△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F， ∴AB＝AD﹣DB＝6﹣2＝4，△ABF为等腰直角三角形， ∴BF＝AB＝4，

∴CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2， 而EC＝DB＝2， 2×2＝2．

故选：C．

5

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和矩形的性质． 二．填空题（共5小题）

11．一个n边形的内角和是0°，那么n＝ 5 ．

【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝0°，然后解方程即可．

【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得 （n﹣2）•180°＝0°， 解得n＝5． 故答案为：5．

【点评】本题考查了多边的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°． 12．若分式

的值为零，则x的值为 1 ．

【分析】分式的值为零：分子等于零，分母不等于零． 【解答】解：依题意得 |x|﹣1＝0，且x+1≠0， 解得 x＝1． 故答案是：1．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 13．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝ 16 cm．

【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB，据此求出AB的长度是多少即可．

【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE；

6

∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，△EBC的周长＝BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC，

∴△ABC的周长﹣△EBC的周长＝AB， ∴AB＝40﹣24＝16（cm）． 故答案为：16．

【点评】（1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．

14．D为等腰Rt△ABC斜边BC上一点（不与B、C重合），DE⊥BC于点D，交直线BA于点E，作∠EDF＝45°，DF交AC于F，连接EF，BD＝nDC，

当n＝ 或1 时，△DEF为等腰直角三角形．

【分析】分两种情况：①当∠DEF＝90°时，由题意得出EF∥BC，作FG⊥BC于G，证出△CFG、△BDE是等腰直角三角形，四边形EFGD是正方形，得出BD＝DE＝EF＝DG＝FG＝CG，即可得出结果；

②当∠EFD＝90°时，求出∠DEF＝45°，得出E与A重合，D是BC的中点，BD＝CD，即可得出结果． 【解答】解：分两种情况：

①当∠DEF＝90°时，如图1所示： ∵DE⊥BC，

∴∠BDE＝90°＝∠DEF， ∴EF∥BC， 作FG⊥BC于G，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴△CFG、△BDE是等腰直角三角形，四边形EFGD是正方形， ∴BD＝DE＝EF＝DG＝FG＝CG，

∴BD CD， ∴n ；

②当∠EFD＝90°时，如图2所示： ∵∠EDF＝45°，

∴∠DEF＝45°，此时E与A重合，D是BC的中点，

7

∴BD＝CD， ∴n＝1．

故答案为：或1．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、正方形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，分两种情况讨论是解决问题的关键．

15．如图，是我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式（a+b）n（n为整数）的展开时的系数规律，（按a的次数由大到小的顺序），此规律称之为“杨辉三角”．请依据此规律，写出（a+b）2018展开式中含a2017项的系数是 2018 ．

（a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b3 …… 1 11 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 【分析】根据表格中的系数找出规律确定出所求即可．

2018【解答】解：依据此规律，写出（a+b）展开式中含a2017项的系数是2017+1

＝2018， 故答案为：2018

【点评】此题考查了完全平方公式，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 三．解答题（共8小题）

8

16．计算：

（1）（x﹣y）（x+2y）+（2x﹣y）（2x+y） （2）（3m﹣4n）（3m+4n）﹣（2m﹣n）（2m+n） 【分析】（1）利用整式的混合运算的顺序求解即可， （2）利用平方差公式及混合运算的顺序求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣y）（x+2y）+（2x﹣y）（2x+y） ＝x2+2xy﹣xy﹣2y2+4x2﹣y2 ＝5x2+xy﹣3y2．

（2）（3m﹣4n）（3m+4n）﹣（2m﹣n）（2m+n） ＝9m2﹣16n2﹣（4m2﹣n2） ＝9m2﹣16n2﹣4m2+n2 ＝5m2﹣15n2．

【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟记整式的混合运算的顺序．

17．把下面各式分解因式： （1）4x2﹣8x+4

（2）x2+2x（x﹣3y）+（x﹣3y）2．

【分析】（1）首先提取公因式4，进而利用完全平方公式分解因式得出答案； （2）直接利用完全平方公式分解因式进而得出答案． 【解答】解：（1）4x2﹣8x+4 ＝4（x2﹣2x+1） ＝4（x﹣1）2；

（2）x2+2x（x﹣3y）+（x﹣3y）2 ＝（x+x﹣3y）2 ＝（2x﹣3y）2．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．

18．先化简代数式： ，然后选取一个使原式有意义的x

的值代入求值．

【分析】先算小括号里的，小括号里面的先对第二项的分母分解因式，然后

9

找出两项分母的最简公因式（x﹣1）（x+1），对小括号里的第一项的分子分母都乘以x﹣1，第二项不变，然后根据同分母相加减的法则，分母不变．只把分子相加减，再把除法统一成乘法，约分化为最简．注意化简后，代入的数不能使分母的值为0．

【解答】解：

（2分）

（4分）

＝x2+1；（15分）

当x＝0时，原式的值为1．（6分）

说明：只要x≠±1，且代入求值正确，均可记满分（6分）．

【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．注意化简后，代入的数不能使分母的值为0． 19．解分式方程： （1）

（2） ．

【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去分母得：4x＝﹣3+x﹣2， 移项合并得：3x＝﹣5，

解得：x ，

经检验x 是分式方程的解；

（2）去分母得：x（x﹣1）＝x2﹣1﹣2x+1， 整理得：x＝0，

经检验x＝0是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 20．火车站北广场将于2016年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．

10

（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？

（2）如果园林处安排25人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木70棵或B花木60棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？

【分析】（1）首先设A种花木的数量为x棵，B种花木的数量为y棵，根据题意可得等量关系：①A、B两种花木共6600棵；②A花木数量＝B花木数量的2倍﹣600棵，根据等量关系列出方程，再解即可得A、B两种花木的数量；

（2）设应安排a人种植A花木，则安排（25﹣a）人种植B花木，由题意可等量关系：种植A花木所用时间＝种植B花木所用时间，根据等量关系列出方程，再解即可判断．

【解答】解：（1）设A种花木的数量为x棵，B种花木的数量为y棵， 由题意得： ，

解得： ，

答：A种花木的数量为4200棵，B种花木的数量为2400棵；

（2）设安排a人种植A花木，由题意得：解得：a＝15，

经检验：a＝15是原分式方程的解， 25﹣a＝25﹣15＝10，

，

答：应安排15人种植A花木和10人种植B花木，才能确保同时完成各自的任务．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组．

21．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G．连接AG．求证：△ABG≌△AFG．

11

【分析】根据正方形的性质得出∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，根据折叠的性质得出AD＝AF，∠AFG＝∠D＝90°，求出∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，根据HL推出全等即可．

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，

由折叠的性质可知：AD＝AF，∠AFG＝∠D＝90°， ∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF， 在Rt△ABG和Rt△AFG中

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， 即△ABG≌△AFG．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定的应用，能求出证三角形全等的条件是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL定理．

22．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．

（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD； （2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．

【分析】（1）由∠BAC＝∠EDF＝60°，推出△ABC、△DEF为等边三角形，于是得到∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，推出△BCE≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得到AD＝BE，即可得到结论；

（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM，推出△AED≌△MFD（SAS），根据全等三角形的性质得到DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，证得∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，推出△ABC≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质得到AM＝BC，即可得到结论．

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【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°， ∴△ABC、△DEF为等边三角形，

∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°， 在△BCE和△ACD中

∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE，

∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF；

（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM， ∵∠BAC＝∠EDF， ∴∠AED＝∠MFD， 在△AED和△MFD中

，

∴△AED≌△MFD（SAS），

∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF， ∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM， 即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC， 在△ABC和△DAM中，

，

∴△ABC≌△DAM（SAS）， ∴AM＝BC，

∴AE+BC＝FM+AM＝AF． 即AF＝AE+BC．

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【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

23．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；

点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）， （1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB； （2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；

（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．

【分析】（1）首先得出△PQC为等边三角形，进而表示出PC＝4﹣x，CQ＝2x，由4﹣x＝2x，求出答案；

（2）根据题意得出CQ PC，即2x （4﹣x），求出即可；

（3）根据题意得出QH＝DP，进而判断出△OQH≌△OPD（AAS），即可得出答案．

【解答】解：（1）∵∠C＝60°，

∴当PC＝CQ时，△PQC为等边三角形， 于是∠QPC＝60°＝∠B， 从而PQ∥AB，

∵PC＝4﹣x，CQ＝2x， 由4﹣x＝2x，

解得：x ，

∴当x 时，PQ∥AB；

（2）∵PQ⊥AC，∠C＝60°， ∴∠QPC＝30°，

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∴CQ PC，

即2x （4﹣x）， 解得：x ；

（3）OQ＝PO，理由如下： 作QH⊥AD于H，如图（3）， ∵AD⊥BC，

∴∠QAH＝30°，BD BC＝2，

∴QH AQ （2x﹣4）＝x﹣2，

∵DP＝BP﹣BD＝x﹣2， ∴QH＝DP，

在△OQH和△OPD中，

，

∠ ∠

∴△OQH≌△OPD（AAS）， ∴OQ＝OP．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

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