量子力学第四章表象

4.1 态的表象变换和态的矩阵表示

1．态的表象变换

ˆ在F表象中的本征函数组展开， 将F表象中的态函数对力学量算符Q则展开系数就是在Q表象

中的态函数。这就是将F表象中的态函数变换到Q表象中的态函数的方法。为了便于求出展开系数，

ˆ的本征函数组为幺正基组。 通常要求Qˆ的本征值为分立谱 以从r表象变换到Q表象为例。r表象中的态函数为(r,t)[或(r)]。设QQn，对应的本征函数为n(r)。当各Qn都无简并时，(r,t)对n(r)的展开式为：

（4.1-1） (r,t)ant(n)r( )n若Qn表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n应表示几个对应的量子数的集合。当Qn存在简并时，展开式为：

(r,t)an(t)n(r) （4.1-2）

niii其中i为描写简并的角标。下面只讨论无简并的情况。在（4.1-1）式中，an(t)是Qn与t的函数，an(t)相当于a(Qn,t)的简写。当Qn在整个展开系数中变动。由于Qn为分立谱，所以函数关系an(t)-Qn不是连续的。an(t)就是(r,t)变换到Ｑ表象中的态函数。例如，将r表象中的某态函数(r,,)对

ˆ2与Lˆ的共同本征函数组Y(,)展开： Llmz(r,,)Clm(r)Ylm(,) （4.1-3）

l0mll上式相当于（4.1-1）式中的n表示两个量子数lm的集合。上式中的Clm(r)就是在L与Lz共同表象中的态函数。 2．本征态的排序

本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。

对于分立谱的本征值，通常存在公认的排序约定。例如：一维谐振子对应能级En(n)hw的

212ˆ的本征波函数为n(x)，n的排序为：n=0，1，2……。氢原子束缚定态为nlm，主量子数n[对应Hˆ的本征值l(l1)h]的排序为：l=0，1，2……，值En]的排序为：n=1，2，3……，角量子数[对应L22ˆ的本征值mh]的排序为：m=l，l-1，…，-l；lm的综合排序为：lm=∞，11，10，磁量子数m[对应Lz

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1-1，22，21，20，2-1，2-2……；nlm的综合排序即力学量完全集合各量子数的综合排序为：nlm=100,200,211,210,21-1……。

在综合排序中，某量子数重复出现的个数就是该量子数对应的本征值的简并度。值得注意的是：

ˆ本征值的简并度与对应的本征态所处空间的维数有关。例如Lz对应的本征态为

h的本征值mh在一维空间中i1ime，这时的本征值mh无简并，而在二维空间中对应的本征态可取为2ˆ2与Lˆ的两Ylm(,)，则本征值mh的简并度很大。L相当于描写简并度的角标。但Ylm()对于Lz个本征值的集合而言又是无简并的。

对于连续谱本征值，在数值计算中常按步长进行离散化处理后再排序，当步长趋于零时便可过渡到连续排序。离散变量的排序是可数的，而连续变量的排序是不可数的。 3、态的矩阵表示

在（4.1-1）式中，设Qn的排序为：Q1，Q2，……，按此排序可将an(t)排列为下述列矩阵A：

a1(t)a2(t) （4.1-4） A(t)则A(t)称为Q表象中态的矩阵表示，而an(t)称为Q表象中态的函数表示。A的能量共轭为行矩阵A+：

**A(t)(a1(t)a2(t)) （4.1-5） **在态的函数表示中，an(t)an(t)an(t)an(t)，但在态的矩阵表示中，AAAA，AA是一

个数，而AA是一个方矩阵。

ˆ的本征值Q为连续谱，则（4.1-1）式应改变： 若Q(r,t)aQ(t)A(r)dQ （4.1-6）

按Q的排序可将aQ(t)排列为下述列矩阵A：

A(t)aQ(t) （4.1-7）

A(t)为Q表象中态的矩阵表示，而aQ(t)为Q表象中态的函数表示。显然，上式中A的行角标

是不可数的，而（4.1-4）式中A的行角标是可数的。同理，（4.1-1）式中的(r,t)为r表象中态的

函数表示，按r的排序可将(r,t)排列为列矩阵(t)((r,t))，的行角标也是不可数的。

从以上的讨论可知，一个物理体系的状态在任何表象中都有两种表示法，即函数表示法与矩阵表示法。当本征态排序确定后，这两种表示法是完合等价的。一般说来，在分立谱表象中采用矩阵表示较好，而在连续谱表象中采用函数表示较好。

4．力学量算符在自身表象中的本征函数

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ˆ的自身表象中，若Qˆ的本征值为连续谱，则由（4.1-6）式可知，当(r,t)(r)时，应在QQˆQ对应本征值Q的本征函数为(QQ)。因 有aQ(t)(QQ)，所以Q(QQ)(QQ)dQ(QQ)

ˆ的本征函数在自身表象中的函数表示。所以(QQ)构成幺正基组。(QQ)是Q(QQ)对应的矩阵表示是一个连续的列矩阵，其矩阵元在QQ点处为∞而其余各处都为零。ˆQ对应本征值Qm的ˆ的本征值为分立谱，则由（4.1-1）式或由（(QQ)0可知，Q若Qnmnmn本征函数为nm，nm是QnQm的简写。因

nnmnmmm

ˆ的本征函数，在自身表象中的函数表示。对应的矩阵表示所以nm构成幺正基组。nm是Qnm是只有一个元素为1（对应QnQm）而其余元素都为零的列矩阵。

ˆ与Qˆ与Qˆ对歇脚，ˆ如果G则它们有构成完备系的共同本征函数。在G与Q的共同表象中，设G的本征值都为分立谱，则它们的共同本征函数的函数表示为GG2nmQQ，其中Gm与Qj为本征值，而

ijˆ对应本征值l(l1)h2而Lˆ对应本征值mh的共Gn与Qi为变量。例如在L与Lz的共同表象中，Lz2同本征函数的函数表示为llmm，或者说r表象中的Ylm()变换到L2与Lz的共同表象便成为根据lm的综合排序可得到llmm对应的列矩阵表示。例如当l1，m0llmm[见（4.1-3）式]。

时，l1m0对应的矩阵表示是第三行元素为1而其余元素都为零的列矩阵。

4.2 算符的表象变换和算符的矩隈表示

1．算符的表象变换

许多算符的表示式都是在r表象与p表象中给出，从而可实现这些算符在r表象与p表象之间的变换。但r表象中的

1等算符不易变换到p表象，r表象中的算符也不易变换到任意Q表象。下x面将讨论算符表象变换的一般方法。

ˆ设在r表象中，算符F(r,P)作用于函数u(r,t)后得到函数v(r,t)。即

hv(r,t)F(r,V)u(r,t) （4.2-1）

iˆ的本征值为分立谱，对应本征值Qn的本征函数为(r上式可变换到Q表象。设Q，)(r)构成幺nnˆ表示几个对易算符的集合，则n表示几个对应的量子数的集合。将u(r,t)和v(r,t)对正基组。若Q

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n(r)展开：

u(r,t)an(t)n(r) （4.2-2） v(r,t)bn(t)n(r)nn将上式代入（4.2-1）式得：

hˆb(t)(r)[F(r,V)(r)]an(t) nnninn*以m(r)左乘上式两连，再对整个r空间积分得：

*ˆhbm(t)m(r)F(r,V)n(r)dran(t)

in其中drdxdydz。设

ˆhˆ|*(rFmnm|F)F(r,V)(r)dr （4.2-3） nnmi则得：

bm(t)Fmnan(t) （4.2-4）

n上式就是（4.2-1）式变换到Q表象后的表示式。上式右边的符形式。

Fnmnˆ在Q表象中的算可视为Fˆ的本征值为连续谱时，当Q（4.2-3）式应化为：

hˆ|*(rFggg|F,)(rggig)dr （4.2-5）

（4.2-4）式应化为：

bg(g)Fggag(t)dg

ˆ在Q表象中的算符形式。上式就是（4.2-1）变换到Q表象的表示式。上式右边的Fggdg可视为F

值得注意的是：r表象中的（4.2-1）式与Q表象中的（4.2-6）式在形式上并不是严格对称的这

ˆ是由于在（4.2-6）式中含有对q的积分之故。当Qr时，（4.2-6）式化为：

u(r,t)dr （4.2-7） v(r,t)Frr上式与（4.2-1）式在形式上并不相同，但上式可以化为（4.2-1）式。因rr对应本征值r与r的

本征函数分别为(rr)与(rr)，则

ˆhˆh(rFrrr)F(r,)(rr)drF(r,)(rr) =ii

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则（4.2-7）式化为：

hˆhˆ(rv(r,t)[F,)(rr)]u(r,t)drF(r,)(rr)u(r,t)dr

ii则可得：

hˆ(rv(r,t)F,)u(r,t) idr化为作用于u(r,t)的上式即是（4.2-1）式。可见利用（4.2-6）式可将作用于u(r,t)的算符Frrhˆ在P表象中可表示为Fˆ(p(t)的算符Fdp可以化为)。同理，若F)，则作用于apppiˆ(t)的算符Fd可以化为作用于a(t)的算符F作用于ap(ih,p)。 pppppˆ(r,算符F2．算符的矩阵表示

按Qn的排序将（4.2-4）式写成矩阵形成为：

b1(t)F11b(t)2F21 b(t)mFm1B=FA

F12F22Fm2a(t)1Fn2a(t)2 （4.2-8）

Fmnan(t)1Fn在上式中，若以B表示左边的列矩阵，以F1与A表示右边的方矩阵与列矩阵，则上式可写为：

ˆ在Q表象中（4.2-8）式或（4.2-9）式即为（4.2-1）式在Q表象中的矩阵表示。F即为算符F的矩阵表示式。F的矩阵元由（4.2-3）式给出。

ˆ在Q表象的矩阵表示，ˆ的本征值为连续谱，则以（4.2-5）式中的F为矩阵元可以得到F 若Qggˆ在Q表象的矩阵表示ˆ的本征值既有分立谱又有连续谱，则F但该矩阵的行与列都是不可数的。若Q既有可数的行与列又有不可数的行与列。

（4.2-4）式与（4.2-6）式都是在幺正基组下导出的。根据（4.2-3）式或（4.2-5）式很易证明：

ˆ为单位算符，则F是单位矩阵，即F=1（这里的1表示单位矩阵）ˆ为厄在幺正基础下，若F；若Fˆ为幺正算符，则F是幺正矩阵，满足FF密算符，则F是厄密矩阵，满足FF；若F1。F为F的转置共轭矩阵，F1或F为F的逆矩阵，F的转置矩阵可以记为F1。

从以上的讨论可知，算符在任何表象中都有两种表示法，即算符形式表示与矩阵形式表示。一般说来，在分立谱表象中采用矩阵形式表示交好；在连续表象中采用算符形式表示较好。 3．工作表象

ˆ的表示式以及Qˆ的本征函数都是在r表象中给在（4.2-3）式与（4.2-5）式中计算矩阵元时，F

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ˆ的表示以及Qˆ的本征函数都是在P出的，积分是在r空是进行的，这时的工作表象是r表象，若F表象中给出的，积分是在P空间中进行的，则工作表象是P表象。工作表象是可以任间选取的，只

ˆ与Qˆ在Q表象中矩阵表示的矩阵元时，ˆ在ˆ在工作表象的表示式即可。要能给出F当求F若能给出FQ表象中的表示式，则选取Q表象作为工作表象可使计算最简便。

4．算符在自身表象中的矩阵表示

ˆ在自身表象中的矩阵表示且Qˆ的本征值为分立谱的情况。当Qˆ的本身值无简并时，由考虑Q（4.2-3）式可得：

*ˆ*Qmnm(r)Qn(r)drm(r)Qnn(r)drQnmn （4.2-10）

由此可以得出结论：算符在自身表象中的矩阵表示是一个对角矩阵，对角元素就是各本征值。对角

ˆ的本征值有简并时，元素从左上角到右下角的排序与本征值的排序一致。当Q（4.2-10）式应改为：

*ˆQmi,njmi(r)Qnj(r)drQnmnij （4.2-1）

ˆ的矩阵表示仍为对角矩其中mi为行角标，nj为列角标，i与j为描写简并的角标。由上式可知，Q阵。若Qm的简并度为f，则当m=n时，i与j相等的次数为f，所以对角元素中将出现f个Qm。各Qm所在的位置由mi（或nj）的排序决定。行角标的排序与列角标的排序应该相同。

5．矩阵运算的几个公式

矩阵运算应满足一些基本的运算法则。例如，只有行数与列都相等的矩阵才能相加；数a与矩阵A的乘积定义为a乘A的所有矩阵元，aA=Aa；乘积AB中要求A的列数等于B的行数；对于方矩阵，一般AB也不等于BA，若AB=BA，则称A与B对易；矩阵的微分与积分定义为对所有矩阵元进地微分与积分等。

下面再介绍几个基本运算公式：

 （4.2-12） ABBA证明如下：

BB(BA) (AB)mn(AB)nmAnlBlmAlnmlAlnmlBmlAlnllllmn。 ABBA所以(AB)*A*B* （4.2-13）

根据（4.2-12）式与（4.2-13）式可得：

(AB)BA （4.2-14）

同理可得：

(ABCD)DCBA

如果，方矩阵A的行列式|A|0[|A|也常计为detA]，则称A为非奇异矩阵，非奇异矩阵A存

在逆矩阵A，AAAA111111（单位矩阵）。因(AB)1与BA都是AB的逆矩阵，则得：

(AB)1B1A1 （4.2-15）

此外，还可证明：

)1((AA1),(A*)1(A1)*,(A)1(A1) （4.2-16）

方矩阵A的对角元素之和称为A的阵迹，记为TrA。方矩阵的行数或列数称为矩阵的阶。有限阶矩阵的阵迹不可能发散，这时，当A与B不对易时仍有：

TrABTrBA （4.2-17）

证明如下：

TrAB(AB)mmAmnBnmBnmAmn(AB)nmRrBA

mmnnmn证毕。还可证：

|AB||A||B| （4.2-18）

4.3 希耳伯特（Hilbert）空间与狄拉克符号 1．三维矢量空间

希耳伯特空间可视为三维矢量空间的推广，所以先讨论几何图象较清晰的三维矢量空间。设r是

三维矢量空间纲的矢量。选取三维彼此垂直的单位矢量i,j,k作为基矢，i,j,k合在一起称为基组。

xrxiyjzk(i,j,k)y

zx通常x，y，z都是实数，现在推广为都可为复数。在基组i,j,k中，r可用列矩阵y表示。

z**在三维矢量空间中定义适量ri与矢量r2的标识为r，矢量与矢量的标积为rrrr21122r1。

x2*****r1*r2(r2r1)(x1y1z1)y2 （4.3-1）

z2若两个矢量的标识等于零，则称这两个矢量正交。若两个相同矢量的标积等于1，则称这个矢量是归一的，或称为单位矢量。

在r的集合中，可以选取三个彼此的复矢量i,j,k构成新的基组，若i,j,k按（4.3-1）

式正交归一，则称其组i,j,k的幺正基组。还可引入其他幺正基组e1,e2,e3等，设

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e1iei(ijk)e2i 其中i=1，2，3

e3ie1ie则在幺正基组i,j,kFe可以用列矩阵i1ie2i

e3ie11e12e13表示，基组e1,e2,e3可以用方矩阵ee21e22e23

e31e32e33表示，(e1,e2,e3)(ijk)e。显然，基组e1,e2,e3在自身基组下的矩阵表示e为单位矩阵。 a在幺正基组e1,e2,e3下，设rae1be2ce3，则r可用列矩阵Rb表示。这时，矢量r1与

c矢量r2的标积可定义为：

a2***r1*r2(a1b1c1)b2R1R2(R1,R2) （4.3-2）

c2上式中的（R1,R2）称为R1与R2的内积，而R2与R1的内积为(R2，R1)=(R1，R2)*。定义内积时要求（R1,R2）是一个数（通常为复数）。在三维矢量空间中，坐标系可以绕原点旋转，坐标轴也可以反向，幺正基组将随坐标系的选择而变化，凡与坐标系选择无关的量便称为该空间中的标量。

**标积应与坐标系的选择无关，所以是标量。标积r1r2所强调的是r1r是标量。

,e3之间的变换矩阵为T，变换表示为： 设幺正基组e1,e2,e3与幺正基组e1,e2,e2,e3)(e1e2e3)T （4.3-3） (e1在幺正基组i,j,k下，上式的矩阵表示式为：

e12e11e21e22ee3132e11e12e13e21e22e23e33e31e32e13T11T12T13e23T21T22T23 即eeT （4.3-4）

e33T31T32T331111注意到ee1,ee1可得TeeTTT1，同理，由eeT可得：(T)T11，

再根据（4.2-16）式与（4.2-15）可得：TT1，则必有：T1T （4.3-5）

1，则称为正交矩阵。实的正交矩阵也是幺正矩阵；实的幺正矩阵也是正交矩阵。在幺正基组e1,e2,e3下，e应

所以T为幺正矩阵，可见幺正基组之间的变换是幺正变换。顺便指出，若

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为单位矩阵，则由eeT可知：Te。

,e3下的列矩阵表示为R，则设r在幺正基组e1,e2,e3下的列矩阵表示为R，在幺正基组e1,e2e2e3)R，根据（4.3-3）式可得： r(e1e2e3)R(e1e2e3)TT1R(e1aaRT1R 即bT1b （4.3-6）

cc上式为矢量矩阵表示的幺正交换关系式。由上式可得：

RRT 即(a*b*c*)(a*b*c*)T （4.3-7）

设在基组e下，可作用于R的三行三列矩阵为Ω，Ω可变换为基组e下的，可作用于R。因标积与坐标系的选择无关，则应有：

RRRTT1TT1RRR

注意到（4.3-6）式与（4.3-7）式可得：

T1T （4.3-8） ˆr因R可视为的矩阵表示式，所以上式可视为算符矩阵表示的幺正变换关系式。若令

Tu1[易证u也是幺正矩阵]，则可得：

eeu1RuRuu1 （4.3-9）

2．希耳伯特空间的概念

希耳伯特空间可以视为三维矢量空间的推广，其维数已不是三维而是，函数(r)是希耳伯特空间中的矢量。函数(r)与函数(r)的标积定义为：

|*(r)(r)dr

上式即（3.2-2）式。(r)可对一组完备的函数族n(r)展开，按上式正交归一的(r)称为幺正基组。在量子力学中，(r)[或(r,t)]就是波函数或态函数，也称为波矢或态矢。n(r)就是力学量算符的本征函数，也称为本征矢或基矢。从一个完备基组到另一个完备基组的变换可以看作希耳伯特空间的坐标系变换，在量子力学中就是表象变换。表象变换通常都是幺正变换。标积与表象无关，或者说幺正变换不改变标积，所以也不改变正交性与归一性。一个基组中的基矢个数可称为希耳伯特空间的维数。在量子力学中，无限维希耳伯特空间通常可根据需要而分解为有限个或无限个正交子空间，许多子空间的维数也是有限的。也有些子空间是无限维的。

3．状态数守恒

ˆ，自由粒子的哈密顿算符为Hˆ，粒子的任意波函数可以设一粒子在势场中的哈密顿算符为H0

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ˆ的本征函数展开，也可以对P的本征函数即Hˆ的本征函数展开。由于希耳伯特空间中每个基对H0ˆ的束缚态数与散射态数之和应等于自由粒子的状态总数。又如，若组中的基矢个数应相同，所以H在某势场中能级存在简并，再附加一势场后只能使简并度改变而不可能改变状态数，所以状态数守恒的。在无限维希耳伯特空间中，尽管状态数守恒在量子力学中已被应用，但尚未得到证明，状态数守恒与量子力学中关于力学量算符本征函数的完备性假设有关。

4．狄拉克符号

几何学和经典力学的规律与所选用的坐标系无关，坐标系不同仅影响计算的繁易程度。同样，量子力学的规律也与所选用的表象无关，选用什么表象也是只看哪种表象便于问题的讨论。

在几何学和经典力学中，常用矢量形式讨论问题，而不选取坐标系。同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不用具体的表象，则态函数和力学量算符一般都没有具体的表示式。这种描写方式是狄拉克最先引进的，在这种描写方式中，他所使用的一套符号被称为狄拉克符号。下面介绍这种描写方式。微观体系的状态可以用一种矢量来描写，这种矢量用符号1>标记，称为刃矢。通常把力学量的本征值或对应的量子数写在符号1>内部，以表征状态的特性。例如氢原子的束缚态可表示

ˆˆ的本征态，而不一定ˆ,Lˆ2,Lˆ的共同本征态。如果把状态写为1n>，则仅表示H为1nlm>，1nlm>是Hzˆ与Lˆ的本征态。对于一般情况，可以用抽象地表征状态的特性，而把刃矢写为1>。当状是Lz2态的特性与时间t有关时，可将|>写为|(t)，但1>不能写成|(r)。体系的状态在任何表象中都有两种表示方法，即函数表示与列矩表示，1>虽然不是列矢量，但应认为刃矢1>的性质与列矢量的性质类似。1>就是没有选取表象时的波矢（或态矢）。刃矢1>的转置共轭记为<|，称为刀矢<|的性质应与共轭行矩阵的性质类似。

刀矢<|左乘刃矢|>即为标积|。因标积是一个数，则||，而由|*|得：||*，所以得：

||* （4.3-10）

ˆ也不能写为ˆ不能写为x，P采用狄拉克符号时，算符一般设有具体的表示式。例如，xxˆih但某些能适用于任何表象的算符如E仍可以有具体的表示式。 th。ixˆ的本征矢的展开 5．态矢对Fˆ的本征方程为： 采用狄克符号时，力学量算符Fˆ|| （4.3-11） Fˆ的本征值，|为对应的本征矢。ˆ是厄密算符，其中为F由于F所以在任何表象中，|都

可以构成幺正基组。设为连续谱，则|的正交归一条件为：

93

X|() （4.3-12）

态矢|对|的展开式为：

|a||d

以|左乘上式两边得：

|a|d （4.3-14）

如果不采用狄拉克符号，而采用r表象，则（4.3-13）式化为：

(r)a(r)d

*以(r)乘上式两边并对整个r空间积分得： **(r)dr(r)(r)(r)drada

上式就是（4.3-14）式在r表象中的具体表示式。（4.3-14）式可改写为：

a| （ 4.3-15）

与三维矢量空间类似，标积|也称为|在|上的投影。由于展开系数a就是在F表象中的态函数，所以r|就是在r表象中的态函数；p|就是在p表象中的态函数。将（4.3-15）式代入（4.3-13）式得：

||d|

上式右边可以视为算符|d|作用于|，因|是任意的。则得：

|d|1 （4.3-16）

上式是在|可对|展开且|是幺正基组的条件下得出的，所以上式称为幺正基组下的完备性条件，简称完备性条件。

若本征值为分立谱，则|的正交归一条件为：

| （4.3-17）

展开式为：

|a| （4.3-18）

以|左乘上式两边可得展开系数为：

a| （4.3-19）

将上式代入（4.3-18）式可得完备性条件为：

||1 （4.3-20） ||也称为投影算符。如果本征值既有分立谱部分，又有连续谱部分，则可得完备性条

94

件为：

|||d1 （4.3-21） 上式中的求和与积分分别对应的分立谱部分与连续谱部分。

4.4 量子力学公式的矩阵表示

1．平均值公式

力学量G在|中的平均值为：

ˆ||G （4.4-1） G|若|已归一化，即|1，则

ˆ| （4.4-2） G|Gˆ的本征值Fn为分立谱，Fˆ的本征方程为： 现在考虑平均值公式在F表象中的矩阵表示。设Fˆ|nFn|n FFn对应的本征矢|n构成幺正基组，满足

m/nmn

|对|n的展开式为：

|an|n

n按Fn的排序，an可构成列矩阵A。将完备性条件

|nn|1排入（4.4-2）式得：

nˆ|nn|a*Ga G|mm|GmmnnmnmnG11G12G21G22*** (a1,a2,am)Gm1Gm2上式可简写为：

GnG1n2Gnma1a2 （4.4-3）

GnmanGnmGAGA （4.4-4）

若|未归一化，则

*||nn|ananAA （4.4-5）

nn 95

则（4.4-1）式化为：

AGAG （4.4-6）

AA上式就是在F表象中平均值公式（4.4-1）式的矩阵表示。也可以直接把（4.4-1）在F表象中写成（4.4-6）式。

2．薛定谔方程

采用狄拉克符号时，薛定谔方程为：

ihˆ| （4.4-7） |Htˆ与t无关，则Fˆ的本征矢1n>与t无关。在上式中插入完备性条件设F|nn11得：

nihˆ|nn/ |Htn以m|左乘上式两边得：

ˆ|nn|gm| m|Gnˆ|n,Cn|，则得： 设Gmnm|GnGnmnCngCm

将上式写成矩阵形式为：

G11G12G21G22Gm1Gm2G1nG2nGmnC1C1C2C2g （4.4-12） CnCm设上式中的列矩阵以表示，方矩阵以G表示，则得：

Gg （4.4-13）

上式即为本征方程（4.4-11）在F表象中的矩阵表示。上式中的列矩阵可称为g对应的本征矢量，但通常仍称为g对应的本征函数。值得注意的是：（4.4-12）式的形式是一个线性代数方程组（齐次），但未必完全是一个线性代数方程组。例如，由（4.1-3）式可知，Cn是r的函数（n表示lm的集合），各Gnm中可能含有微分方程。如果矩阵元Cn(r)用一个连续的列矩阵表示，则矩阵元Gmn

ˆ的有限将化为连续的方矩阵。当Cn为常数时，（4.4-12）式便完全是一个线性代数方程组。如果Fˆ的本征矢张开一个个本征矢量1n>张开一个有限维子空间[例如，当l确定时，L（2l+1）维子空间]，z则在此子空间中，G为有限阶方矩阵。

96

4．有限阶方矩阵本征方程的一般求解

设（4.4-13）式中的G为n阶方矩阵且n为有限值。（4.4-13）式可改写为：

(GgI)0 (4.4-14)

其中I为n阶单位矩阵。上方程是的n个元素Ci，（i=1,2,…n）的齐次线性代数方程组，此方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零。即

|G-gI|=0 （4.4-15） 或写为：

G11gG21Gn1G12Gn2G1nG2n0

G22gGnng这个关于g的方程称为久期方程。将行列式展开后是g的n次多项式，所以g有n个根，其中可能有重根，g的各可能值可记为gk。将每个gk代入（4.4-14）式可以求出本征值gk所对应的一征

*函数k。k的归一化条件为kk1。

设矩阵A中含n个行矩阵与n个列矩阵，线性无关的行距阵的个数（可以证明必等于线性无关的列矩阵的个数）称为矩阵A的轶，记为rankA。当某个gk为fk重根时有：

rank(GgkI)nfk （4.4-16）

若某个gk无重根，则rank(G-gkI)=n-1，说明（4.4-14）式的n个方程中只有（n-1）个方程是的，所以可去掉其中的一个方程，余下的（n-1）个方程应该是线性无关的。这时，k的n个Ci中将存在一个任意常数，这个任意常数将由k的归一化条件确定。只要k的n个Ci都能确定，则说明所去掉的那个方程是可以去掉的。当gk无重根时，gk将对应惟一一个本征函数，所以无简并。

若某个gk为fk重根，则在方程组（4.4-14）式中应去掉fk个方程，余下的（n-fk）个方程应该是线性无关的。这时，在k的n个Ci中可以选取fk个元素作为可任意给定但不都为零的常数，这fk个元素通常的给值方式是：将其中的一个元素作为可由归一化条件确定的常数，而取其他元素均为零。这样的给值方式正好是fk个，所以gk将对应fk个本征函数，可见gk的简并度为fk。Gk所对应的fk个本征函数的任意线性组合仍是gk的本征函数。

若G存在逆，则由（4.4-13）式可得：G则

1一般说来，设G的函数为f(G)，若Gkgg1。kk,

f(G)kf(gk)k (4.4-17)

4.5 幺正变换

1．态与算符矩阵表示的表象变换

97

下面的讨论与三维矢量空间的坐标系变换是类似的，只是在希耳伯特空间来讨论而已。 （1）幺正基组间的变换

ˆ的本征值Fn也为分立谱。在Q表象中，Fˆ的矩阵表示为FQ,FQˆ的本征值Qi为分立谱。F设Q的幺正本征基组为n，每一个n为列矩阵表示，基组n可以用方矩阵的列的排序就是Fn的排

ˆ的本征值Gk为分立谱，在Q表象中，Qˆ的矩阵表示为GQ,GQ幺正本征基且组为GQ，

序。同样，设G基组k可以用方矩阵表示。的行的排序也是Qi的排 序，而的到的排序为Gk的排序。n与

k的正交归一条件分别为：

mnmn （4.5-1） lklk将k对n展开：

knTnk （4.5-2）

n展开系数Tnk应为|k应为|n上的投影。以m左乘上式两边得：

Tnkn|knk （4.5-3）

因n的个数与k的个数应相同，所以以Tnk为矩阵元可以构成方矩阵T。因标积n/k与

ˆ取定后，T与表象无关。由于各与各都可各含一个任意因子，所以Tˆ与G表象无关，所以当Fnk不是唯一确定的。（4.2-2）式可改写为：

T （4.5-4）

由类似于（4.3-5）式的证明可得：

T1T （4.5-5）

i由TT1两边取行列式可得|T|e，其中为实数。通常可选取各n与各k的相因子，使

0或。各相因子取定后，T也就确定了。上式表明，T为幺正矩阵。（4.5-4）式为Q表象中幺ˆFˆ时]，因=1，则（4.5-4）式化为T。在G表象中[即正基组间的变换式。在F表象中[即QˆGˆ时]，因1，则（4.5-4）式化为T1。因T与表象无关，所以基组在基组Qkn下的矩阵表示等于基组n在基组k下的矩阵表示的转置共轭。

（2）态的矩阵表示的表象变换

在Q表象中，设态的列矩阵表示为，既可以对n展开又可对k展开：

annbkkbknTnkTnkbkn

nkknnk 98

展开系数an与bk分别为在F表象与G表示中的态函数。根据Fn与Gk的排序由an与bk可得到列矩阵A与B。可见由Q表象中的态的列矩阵表示可以变换到F表象与G表象中态的列矩阵表示A与B，由上式可得：

anTnkbk即ATB

k则得

BT1A （4.5-6）

上式为F表象中态的列矩阵表示A变换到G表象中态的列矩表示B的正变换关系式。

（3）算符矩阵表示的表象变换

1在F表象中的矩阵表示为○1f，在G表象中的矩阵表示为DG。在F表象中，设DF设算符○

作用于列矩阵A后得到列矩阵A’，即

A'DFA （4.5-7）

上式在G表象中的对应关系式为：

B'DGB （4.5-8）

以T作用于（4.5-7）式两边得：

1T1A'T1DFTT1A

由（4.5-6）式可知，T1A'B',T1AB，则得：

B'T1DFT

将上式与（4.5-8）式比较得：

DGT1DFT （4.5-9）

ˆ在F表象中的矩阵表示DF变换到G表象中的矩阵表示DG的正变换关系式。 上式即为Dˆ，则（4.5-9）式化为GT1GT。其中GG就是Gˆ在自身表象中的矩阵，所以ˆG如果DGFGG应为对象矩阵。注意到在F表象中，T，则得：

1GFGG （4.5-10）

其中即GF的幺正本征函数组，中的各列k可由GF的本征方程解出。中各列的排序应与对象矩阵GG中各时角元素Gk的排序相同。上式也是GF作幺正变换而化为对角矩阵的方法。厄密矩阵的本征函数一定可以构成幺正基组，所以厄密矩阵一定可以作幺正变换而化为对角矩阵。顺便指出：满足DDDD的矩阵D称为正规矩阵，正规矩阵一定可以作幺正变换而对角比。 在（4.5-9）式中，若T不是幺正矩阵但仍是非奇异矩阵，则（4.5-9）式称为矩阵的等价变换，也称为相似变换。可见矩阵的幺正变换是一种特殊的等价变换。幺正变换不应改变矩阵的本征值，可证等价变换也不改变矩阵的本征值。根据）（4.5-9）式易证，对于有限阶矩阵有：

99

TrDFTrDG （4.5-11）

DFDG （4.5-12）

2.波函数的幺正变换

ˆ为幺正算符，若uˆ可作用于波函数，则uˆ可作用ˆ可称为对波函数作幺正变换。若u设u1ˆ1可称为对作幺正变换。对波函数作幺正变换的结果将得到另一个等价的波函数。 于，则u（1）表象变换中的幺正变换算符

以波函数从r表象变换到p表象为例。在(p)中插入幺正基组r的完备性条件得：

pprdrrprdrr

设pC(p,t)，rr,t则上式可写为：

ˆ(r,t),简写为CuˆC(p,t)uipr （4.5-13） 1ˆdrprdreu3/2(2)ˆ可称为付里叶变换算符，uˆ可称为付里叶递变换算符。由于标积与表象无关，所以上式中的uˆuˆ1，ˆˆ1，ˆ可证在任意标积内，uˆ1c可证有任意标积内，uuCC。由Cu由u1ˆ必为幺正算符。 所以u（2）r表象内波函数的幺正变换

ˆ为幺正算符，幺正变换uˆ(r,t)的表示式为： 设uˆ(r,t) （4.5-14） '(r',t')u上式中的r与r'，t与t’ 以及函数关系与'都有可能相同。下面只讨论r与r'，t与t’都相

同的情况，则上式化为：

ˆ(r,t) （4.5-15） '(r,t)u很易证明，幺正变换不改变波函数的标积。如果(r,t)是归一化的，则'(r,t)也是归一化的。上式也可称为表象变换，但(r,t)所在的表象与'(r,t)所在的表象不能再用力学量表象命名，而应冠以其他命名。不妨设(r,t)所在的表象为S表象，而'(r,t)所在的表象为S’表象。也可不作表象命名而只对所作的幺正变换命名。

ˆ应能变换为S’表象中能作用于'(r,t)的算符Fˆ'。设 在S表象中能作用于(r,t)的算符Fˆ(r,t) (r,t)Fˆ作用于上式两边得： 以uˆ(r,t)uFuˆˆˆ1uˆˆˆˆ1'(r,t) '(r,t)uFu所以得：

100

ˆ'uFuˆˆˆ1 （4.5-16） F上式为与（4.5-15）式对应的算符变换式，或称为算符从S表象变换到S’表象的幺正变换关系式。

ˆ，则（4.5-15）式与（4.5-16）式化为： ˆT如果u1ˆ1(r,t) （4.5-17） '(r,t)Tˆ'Tˆ1FTˆˆ （4.5-18） F由类似于（4.5-16）式的推导可知，算符在不同力学量表象间的变换也满足（4.5-16）式或（4.5-18）式。很易证明，幺正变换不改变算符的对易关系式。

4.6 薛定谔表象和海森伯表象

1．时间平移幺正变换

ˆ(tt)作用在t时刻的波函数(t)上可得到t时刻的波函数(t)： 设算符U00s0ˆ(tt)(t) （4.6-1） (t)Us00显然有：

ˆ(tt)Uˆ(tt)1Us00sˆˆ(tt)Uˆ(tt) （4.6-2） Us(tt0)Us1s10ˆ1ˆ(tt)U(tt)Us0s0ˆ为厄密算符时，总几率守恒。则应有： 由2。4可知，当哈密顿算符H(t)(t)(t0)(t0)

ˆ1(tt)(t)可证Uˆ(tt)应为幺正算符，所以（4.6-1）式称为波由（4.6-1）式以及(t0)Us0s0函数的时间平移幺正变换。

ˆ不是含t时，可以求出Uˆ(tt)的表示式。将(t)在t点展开为泰勒级数为： 当H0s01ˆ(t)Us(tt0)(t0)()n(t)n0n!ttt0(tt0)n

11ˆnE(t)nn0n!(i)tt0(tt0)n

ˆiˆ不显含t时，E当Hˆ对易，则 与Htˆn(t)Eˆn1HEˆˆ(t)HEˆˆn1(t)...Hˆn(t) E所以得：

101

iˆH1innnˆ(tt)(t)()Hˆ(t)(tt)e(tt0)(t) Us00000n0n!因(t0)是任意的，则得：

ˆ(tt)eUs0iˆH(tt0)(t0)

ˆ是厄密算符，所以根据上式也易证Uˆ(tt)是幺正算符。当t0时，将Uˆ(t0)记为uˆ，因H0s0s则上式化为：

ˆeuiˆHt （4.6-4）

2．薛定谔表象和海森伯表象

ˆ不显含t。在此这前，描写状态的波函数如等是与t有关的，而力学量算符如xˆ等是ˆ,pˆx,L设Hx与t有关的，这种描写方式称写薛定谔表象（或称为薛定谔绘景）。量子力学中还存在另外两种描写

ˆ与t有关的情况，这将在5.6中方式，即海森伯表象与相互作用表象。在相互作用表象中将讨论Hˆ仍不显含t，波函数与t无关，而力学量算符一般与t相关。 讲述。在海森伯表象中，Hˆ表示薛定谔表象中的波函数与算符，以表示海森伯表象中的波函数与算符。则（4.6-4）以s,Fsˆ应与Hˆ相同。当t0时，式中的H（4.6-1）式应改为： 0sˆs(0)es(t)uiˆHts(0) （4.6-5）

设H就是t00时刻的s，即

H(t)s(0) （4.6-6）

在求解薛定谔方程时，初始条件s(0)应该是已知的，所以H(t)也是已知的而无需求解。（4.6-5）式可改写为：

ˆs(t)es(t) （4.6-7） H(t)u上式与（4.5-17）式的形式相同，则由（4.5-18）式得：

iˆHtiˆHt1iˆHtˆuˆuˆFˆFHse1ˆeFs （4.6-8）

根据上式可知：

ˆHˆHˆ （4.6-9） HHsˆ表示。uˆ又是薛定谔表象内可见薛定谔表象与海森伯表象中的哈密顿算符相同，所以都以H1ˆuˆˆ在薛定谔表象内表示Hˆ具有时间平ˆ(0)Hˆ(t)，这说明HˆHu的时间平移幺正算符，所以H1ˆ不显含t时才有Hˆ不显含t时，ˆ(0)Hˆ(t)。在3。5中已说明：当H移对称性（不变性）。只有当H

102

ˆ具有时间平移对称性时，同样能说明能量是守恒量。 能量是守恒量。可见当H（4.6-8）式可称为海森伯表象中算符随时间变化的积分形式运动方程。以i式得：

iˆiˆiˆiˆHtHHHˆˆˆeˆeHˆHFˆˆFˆHˆ iFHHeFeFssHHt作用于（4.6-8）t则得：

ˆF1ˆˆH[FHH]ti （4.6-10） FˆˆHt0Fs上式为海森伯表象中算符随时间变化的微分形式运动方程。也称为海森伯方程。海森伯方程在海森伯表象中的地位就如同薛定谔方程在薛定谔表象中的地位一样。在海森伯表象中算符之间的对易关第式与薛定谔表象中的对易关系式相同，这是由于幺正变换不改变算符的对易关系式之故。

（4.6-5）式可称为薛定谔表象中波函数随时间变化的积分形式运动方程。以i式得：

作用于（4.6-5）tiˆ(t) （4.6-11） s(t)Hst这正是薛定谔方程，这个方程是薛定谔表象中波函数随时间变化的微分形式运动方程。 一般说来，求解薛定谔方程比求解海森伯方程较方便，而且波函数初始条件的选取也往往与薛定谔方程的解有关。但海森伯表象比较类似经典力学的描写方式。在经典力学中，力学量与t 有关，与（4.6-10）式对应的运动方程为：

dF[FH] （4.6-12） Fcldt其中[FH]cl称为经典泊松括号

FHFH[FH]cl （4.6-13）

zipipizii上式中的zi为第i个广义坐标，pi为对应的广义动量。根据（4.6-12）式与（4.6-13）式可得经典力学中的哈密顿正则方程为：

HHclpiii （4.6-14） HpipHiclpi3．空间平移幺正变换

103

空间平移以及旋转变换可分为主动变换与被动变换。如果物理体系不动而坐标系平移或旋转，则称为被动变换；如果坐标不动而物理体系平移或旋转，则称为主动变换。主动变换也可以视为物理体系不动而坐标系反向平移或反向旋转，所以主动变换也可以视为被动变换的逆变换。 在被动变换中，设坐标系沿x 轴正方向平移一段距离a，平移前的坐标系记为S，平移后的坐标系记为S’，在S中，设x点处的波函数为(x)[还应是y,.z及t的函数，但未标出]；在S’中，设x

ˆ(a)作用于(x)后得可得到'(x)。显然，'(x)应与点处的波函数为'(x)，并设空间平移算符u平移前（x+a）点处的波函数(xa)相等，所以得：

ˆ(a)(x) （4.6-15） '(x)(xa)U将(xa)视为a的函数，在a=0点作泰勒级数展开为：

ann(xa)ann(x) (xa)nnann!a0nn!xiˆxapaninnˆx(x)e(x) ()pnn!则得：

ˆ(a)eUiˆxap （4.6-16）

当坐标系沿任意方向平移a时，（4.6-15）式应改为：

ˆ(a)(r) （4.6-17） '(r)(ra)U（4.6-16）式应改为：

ˆapˆ （4.6-18） U(a)eiˆ(aˆ为厄密算符，所以U因p)为幺正算符。与（4.6-17）式对应的算符变换式为：

ˆˆ1ˆ'Uˆ(aF)FU(a) （4.6-19）

ˆ2pˆˆ1ˆ'Hˆ，即Fˆˆ'Uˆ(aˆ(a对于自由粒子，H与U)FU(a)，或写为)对易，则可得：H2ˆˆ(aˆ具有空间平移对称性。根据（4.6-17）式有： U)H0，可见自由粒子的哈密顿算符Hˆˆˆ(aˆ(rU)H(r)(r)Ha)U(a)(r)

ˆ(a)Hˆ0比较可知，空间平移对称性即Hˆ(ra)Hˆ(r)。因则将上式与对易关系式Uˆ满足Hˆ(rˆ(r；所以自由粒子的H（4.6-18）式化为：a)H)。对于无限小平移，

(xiai)xiiˆ(aˆ，则由[Uˆ]0，所以由3.5可知：自由粒子哈密顿算符ˆ(a)Hˆ]0可得：[pˆHU)1ap

104

的空间平移对称性导致自由粒子的动量是守恒量。

4．空间旋转幺正变换

在被动变换中，设坐标系绕z轴旋转角，则类似于（4.6-15）式应有：

ˆ()() （4.6-20） '()()U由类似于（4.6-16）式的推导可得：

Lzˆ （4.6-21） U()eiˆˆ()是幺正算符。如果Uˆ()HUˆˆ1()Hˆ，则Lz是守恒量。对于绕任意轴n（n为单位矢量）U的旋转，（4.6-21）式应改为：

ˆ()eUiˆLz，n （4.6-22）

ˆ具有绕任意轴的旋转对称性，将导致角动量守恒量。 在有心力场中，H在坐标系中作绕n轴旋转角的变换时，设物理体系中的某点在原坐标中以r变为r'。r'在新坐标系中的坐标分量应与在原坐标系中将r绕n轴旋转()角后的坐标分量相同。如果将空间旋转幺正变换定义为将r绕n轴旋转角后变为r'的变换，则实际上相当于主动变换，这时，在（4.6-22）式中应将改为()。



4.7 线性谐振子与占有数表象

1．线性谐振子的经典哈密顿量

在经典力学中，各广义坐标i及对应的广义动量pi的集合可称为相守中点的坐标。哈密顿量H是i与pi的函数，即H是相守中点的坐标的函数。如果广 义坐标的个数为S，则相守为2S维空间。线性谐振子的哈量顿量为：

2px122 （4.7-1） Hwx22上式中的H是二维相守中的函数。在二维相守中可以引入直角坐标系，极坐标系以及复坐标系，图象比较清晰。为了将上式无量纲比，取w为基准能量，将上式两边除以w，然后令：

1w22xwxx2w22px1wypx （4.7-2） 2ww2HNw

105

则x,y及N都无量纲。以x为横坐标以y为纵坐标可构成直角坐标第。在此坐标系中，当H为恒量时，

Hx2y2对应一个圆。以n为径向变量以为角度变量可以构成极坐标系。 wxNcos （4.7-3） yNsin复坐标系中的坐标变量为b与b+:

w1ii2bNexiy()(xpx)2w （4.7-4） 1bNeixiy(w)2(xip)2wx哈密顿量可表示为：

Hw(x2y2)wNwbb （4.7-5） ˆ与bˆ 2．算符bˆ，bˆ都应变为算符。由于是角度变量， 且坐标原点处的值不在量子力学中，x,y以及b确定，所以量子化方程比较复杂，其讨论从略。由（4.7-4）式得：

ˆw1i2ˆˆ)b()(xpx2w （4.7-6） 1ibˆ(w)2(xˆˆ)px2wˆ仍是一个向左作用的算符，只有在标积内bˆ才能视为的转置共轭算符。在量注意，上式中的b子力学中，力学量有算符表示与矩阵表示两种表示方法。在此之前，为了把概念叙述清楚而将这两种表示方法比较严格地区分开来了，由于这两种表示方法是等价的，所以这种严格区分在有些情况

ˆ对波函数的作用时，可将Fˆ视为矩阵。这时，若Fˆ下并没有必要，因此可作如下约定：当不涉及FˆˆFˆ，而不必说明这个关系式只有在标积内才成立。在这种约定下，上式中的b是厄密算符，则Fˆ可视为互为转置共轭算符。由上式可知，bˆ与bˆ都不是厄密算符。 与b由（4.7-6）式可得：

ˆbˆbbˆˆbˆbˆ1 （4.7-7） b1ˆbˆ)ˆ()2(bx2w （4.7-8） 1ˆ1w2ˆˆpx()(bb)i2 106

2p122xˆwxˆ将上式代入H得：

22ˆˆ1)wH(N2 （4.7-9） 其中Nˆbˆˆbˆ是厄密算符。上式中出现的零点能显然，NˆwNˆ而不出现式量子化，则只能得到H1ˆ与bˆ不对易所致。如果将（4.7-5）w是由于b21w，这是由于在推导（4.7-5）式时，x与y可对易之2故。可见将经黄力学量公式经量子化而变为量子力学中的算符公式时与量子化的先后次序有关。不过除对易关系式以及零点能零点电荷等量的少数计算外，其他可观测量的计算基本与量子化的先后次序有无关。例如，零点能的变化并不影响对能级差的计算。

线性谐振子的能级为En(n)w,n0,1,2.......。能级差只能为w的整数倍。如果将w称为一个粒子的能量。则n表示粒子数。通常将这种能量粒子称为声子。基态中没有声子，所以可称为

12ˆ的本征值，Nˆ可称为粒子数算符。由真空态。将En(n)w与（4.7-9）比较可知，n是算符Nˆ与Nˆ对易，它们有共同的本征函数组。在x表象中，由2.11中求出的(x)就（4.7-9）式可知，Hn12ˆ的本征态记为E是它们的共同本征函数。为了区分H表象与N表象，将Hnˆ的本征矢，而将N记为n0实际上Enn0。以n0为基组的表象称为占有数表象。在占有表象中，变量为n。而在能量表象中，变能为En。

ˆ的本征方程为： Nˆnnn,n0,1,2..... （4.7-10） Nn的正交归一化条件为：

n'nn'n （4.7-11）

ˆ右乘（4.7-7）式两边再作用n得： 以bˆˆNbˆn,即Nbˆn ˆˆ)nbˆˆn(n1)b(bNˆn存在（不等于零）ˆn也是Nˆ的本征矢，对应的本征应为（n-1）如果b，则由上式可知，bˆn与n1之间只能相差一个常数因子。即 所以，bˆncn1 bn

107

ˆbˆnn1c*cn1即nc*c可取cn，则得： 则nbnnnnnˆnnn1 （4.7-12） bˆ对n的作用可使粒子数减少一个，所以bˆ称为湮灭算符。由上式可以得： 由上式可知，bˆ00 （4.7-13） bˆ左乘（4.7-7）式两边再作用于n得： 以bˆNˆ|n，即Nbˆn ˆˆbˆ)nbˆˆn(n1)b(Nbˆn与n1之间只能相差一个常数因子。即 则bˆnDn1 bnˆˆnnNˆ1nn1D*D 则nbbnn可取Dnn1，则得：

ˆnn1n1 （4.7-14） bˆ对n的作用可使粒子数增加一个，所以bˆ称产生算符。 由上式可知，b3．算符在占有数表象中的矩阵表示

ˆ的矩阵表示的矩阵元为： 由（4.7-10）式可得Nˆnnn'n （4.7-15） n'Nˆ的矩阵表示N为： 设n的排序为：n=0,1,2……。则N000...010...N （4.7-16）

002............ˆ在自身表象中的矩阵表示，N为对角矩阵。由（4.7-12）式与（4.7-14）式可得： 上式即Nˆnnn'n1 （4.7-17） n'bˆnn1n'n1 （4.7-18） n'b在（4.7-17）式中，因n'n1只有当n'n1时才不等于零， 则（4.7-17）式的右边也可改写为：

nn'n1n'1n'n1n'1nn'1

所以将（4.7-17）式两边取得转置共轭后再将n与n’互换便可以得到（4.7-18）式。根据（4.7-17）

108

ˆ与bˆ的矩阵表示b与b为： 与（4.7-18）式可得到b0100...20...b00 （4.7-19） 0003.......................000...100...b020... （4.7-20）

003.......................b为b的转置共轭矩阵。由（4.7-8）式可得：

1ˆn()2nn'n1n1n'n1n'x2w （4.7-21） 11w2ˆn'pn()nn'n1n1n'n1xi2ˆ的矩阵表示为x，pˆx的矩阵表示为px，则将（4.7-8）式直接写成矩阵关在占有数表象中，设x系式为：

1)2(bb)x(2w （4.7-22） 11w2p()(bb)xi2ˆ的本征矢，所以（4.7-21）式与（4.7-22）ˆ的本征矢，也是HX与px都是厄密矩阵。因n即是Nˆ与pˆx在能量表象中的矩阵表示式。 式也是x

习 题

ˆ和Lˆ2在动量表象中矩阵表示的矩阵元。 1．求Lxxˆ和pˆx在能量表象中矩阵表示的矩阵元。 2．求一维无限深方势阱中x3．求在动量表象中一维线性谐振子的能量本征函数。

ˆ14．求在x表象中的算符表示。

px5．设体系的哈密顿算符不显含时间t，证明在能量表象中有：

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(EnnEm)xnm22 26．设n(r)为氢原子对应能级En的波函数，求证：

n'ˆn'pn2e222(En'En)n(0)

807．设

与为任意态矢，证明施瓦兹（Schwartz）不等式：

2

2ˆx]的本征值。i,j1,2,3。 8．求矩阵Mijxi[Ljˆ与Lˆ的矩阵表示为： 9．当l=1时，在Lz表象中，已知Lxz0100i0Lx101，Lyi0i

220100i0ˆ的矩阵表示L。 （1）根据角动量的对易关系求出Lzz（2）设r表象中一体系处在c1Y11c2Y10态中，并设已归一化，求在态中力学量Lx的可能值及相应的几率。

（3）用幺正变换将Lx对象比。 10．求连续性方程的矩阵表示。

11．设坐标系绕任意轴旋转角，试推导波函数的变换式。 12．设T为幺正矩阵

（1）设T的各列为j证明T的各列正交归一，即j,jj,j；证明T的各行也正交归一。 （2）证明T-1及T*也是幺正矩阵 （3）证明幺正矩阵的乘积也是幺正矩阵。 13．求自由粒子坐标算符的海森伯表示。

14．求一维线性谐振子坐标算符和动量算符的海森伯表示。

ˆˆ1，求征对作任意数有： 15．已知bbeb

ˆ*bˆˆbˆ*bˆbˆ be3ˆ的矩阵表示及矩阵元表示式。 16．在一维线性谐振子的能量表象中，求x 110