内含报酬率计算方法

计算内含报酬率是长期投资决策分析中重要方法之一，它优于其他投资分析的主要原因在一于：计算中考虑到货币的时间价值。其理论介绍多见于《管理会计》、《投资决策》等教科书，其计算方法多囿于插值法（内插值法、外插值法）、几何法（平面几何相似三角形线段比）。近期，关于内含报酬率的解法问题，又在一些会计刑物展开纷纷扬扬、连篇累牍的讨论。以下笔者将多年研究的成果——内含报酬率新的解法理论介绍于后。

(1)内含报酬率计算公式的数学描述

内含报酬率是指项目寿命期内，资金流入量的现值总额与资金流出量现值总额相等面净现值等于零时的折现率。现金净流量则是项目投资所引起的未来的现金流入量减流出量后的净额。

为便于公式的推导，将下文中所涉及的因素用以下符号表示：

N-净现值；NCFt—第t期的现金净流量；i—利息率，折现率；NCF0—初始投资额；I-内含报酬率；n—项目有效期；a、b、c分别为常数。

根据现金净流量及净现值定义，净现值的通项公式可用以下关系式表示：

N=NCF1（1+i）-1+ NCF2（1+i）-2+……+ NCFt（1+i）-t –NCF0

=NCFt(1i)t1ntNCF0 （1）

下面我们来看i变动对N的影响，也即讨论值现值与折现率、折现率与内含报酬率的关系：

①当i=0时：

N0=limN=limNCFt(1+i)-t-NCF0

i0ni0t1

=NCFt- NCF0 (2)

t1n

即当折现率趋于零时，净现值恰是未折现的现金流入量与流出量之间的差。

②当i=I时

NI= NCFt(1+i)-t-NCF0=0 (3)

t1n

即内含报酬率正是净现值为零时的折现率，它表明了折现率与内含报酬率的关系。

③当i→∞时：

N∞=limNlimNCFt(1+i)-t-NCF0=-NCF0 （4）

it1n

表明净现值趋于原始投入的相反值，现金流入量趋于零，N的值汽车于N=-NCF0直线。

图示一：

以上i变动与净现值的关系，以及折现率与内含报酬率的关系，可用解析图一表示：

由以上数学分析和图示解析可见：i由0→∞时，N由N0→NCF0，N随i增大而减少，随i减小而增大，这说明净现值与折现率之间存在着反比例曲线关系。

净现值与折现率的关系线 (0，N0

P（I,0）内含报酬率点

i (0，0)

(0，N-NCF0) N-NCF0

(2)关于内含报酬率的近似值的问题

现行的内含报酬率的解多采用插值法（也有用平面几何相似三角形线段比求得），其实质是以直代曲，故通常我们求出的“内含报酬率” 是其近似值，即净现值与折现率之间虽是反比例曲线关系，但我们假设小区间内或瞬间表现为直线，这样就可以求出I的近似值。以下，我们通过图示和计算实例来讨论选择不同测试点对内含报酬率的影响。

[例]某企业拟投资340万元建一产业项目，投资建设期为0年。项目有效经营期为10年，期末无残值，每年的现金净流量为60万元。即已知：N0=340，N1~10=60，n=10。则该投资项目在不同折现率条件下的净现值如下表所示： 折现率(i) 年金值系数 净观值（I） 10% 3.145 28.7 11% 5.8 13.34 12% 5.650 -1 13% 5.426 -14.44 14% 5.216 -27.04 ①当测试值选择在P两侧临近点：11%、12%时，则内插法计算（见解折图示二）

图示二：

C(i，0)

(0，0)

P（I，0） B（12%，-1）

i

N

A(11%，13.34) 折现率：

11%X% ?%1%

12%

净现值：

13.3413.34 014.34 1

∴x=13.34/14.34=0.930265 i=11%+0.930365%=11.930265%

这里“以直代曲”计算出的i=11.930265>I，它只是内含报酬率的近似值。

②当选择测试值在P点一侧（同向）10%、11%时，适用外插法计算（见解析图三） 图示三：

C（i，0）

折现率：

(0，0)

B(11%，13.34) N

A(10%，28.7) 10%1% 11%

?%x

净现值：

28.7 13.3428.7

0

x/(1+x)=13.34/28.7

x=13.34/15.36=0.86849

∴i=11%+0.86849%=11.86849%

可见，求得的内含报酬率的近似值iN

(0,0)

折现率：

i

P（I，0） B（14%，-27.04）

C（i,0） A(10%，28.7) 10%X% ?%4%

14%

净现值：

28.728.7 055.74

27.04

x/4=28.7/55.74

x=2.05956

∴i=10%+2.05956%=12。05956%

计算出的内含报酬率的近似值i>11.930265%>I。通过以上选择不同测试点计算结果比较得知：(1)“以直代曲”计算出的i值，只是I的近似值；（2）当测试点选择在P点两侧时，计算出的内含报酬率的近似值大于I；（3）当测试点选择在P点同侧时，计算出的内含报酬率的近似值i小于I；(4)测试点越临近P点，其近似于I的值精确度越高。

(3)3.内含报酬率新角——解析公式法1（直线性方程式）

①理论依据。设净现值与折现率之间存在着直线性关系，有ai+bN=C成立，那么只要测算出两点A、（i，N1）、B（i2，N2），就能得出净现值与折现率的特定式；再根据N=0时，求出i即内含报酬率I的近似值，其解析图形见图示五。

由A、B两点知：

A(i1，N1) AB：ai+bN=c

内含报酬率点 P(i,0) B(i2，N2) 

ai1bN1Cai2bN2C(5)(6)

（5）-（6）得：a(i1-i2)+b(N1-N2)=0

b/a=-(i1-i2)/(N1-N2) (7) 又∵c/a=i1+N1b/a=i1-N1(i1-i2)/(N1-N2) (8) 将一般式变为：i=c/a-Nb/a （9） 将（7）、（8）代入(9)得：

i=i1-N1(i1-i2)/(N1-N2)+ (i1-i2)N/(N1-N2)

= i1+(N1-N2) (i1-i2)/(N1-N2)

当N=0时

i= i1+N1(i1-i2)/(N1-N2) （10）

②实例计算。为便于与“插值法”计算结果对比，仍用以上例题，并选相应的测蔗点代入计算。

(1)取折现率分别为11%、12%的测试值代入(10)式：

i=11%+13.34×(12%-11%)/[13.34-(-1)]

=11%+13.34/1434=11.930265%

(2)取折现率分别为10%、11%的测试值代入(10)式：

i=10%+28.7×(11%-10%)/(28.7-13.34)

=10%28.7/1536=11.86849%

(3)取折现率分别为10%、14%的测试值代入(100式：

i=10%+28.7×(14%-10%)/[28.7-(-27.04)]

=10%+0.0205956=12.05956%

(4)内含报酬率新解一解析公式法2(反比例曲线性方程式)

①理论依据。根据净现值通项公式(1)，假设折现率与净现值的关系可用以下反比例曲线方程式描述：

N=a/(1+i)+b

同样，我们只要测试两次，就可计算出内含报酬率的近似值，其解析图见图示六

其公式推导如下：

已知：A(i1，N1)、B(i2、N2)两点

图示六：

N

A(i1，N1) ·

(0，0) 内含报酬率点 B(i2，N2) N=a/(1+i)+b 有

N1a/(1i1)bN2a/(1i2)b(11)(12)

由（11）-（12）得： N1-N2=a[(1+i1)-1-(1+i2)-1]

a=(N1-N2)(1+i1)(1+i2)(i2-i1)-1 (13) 将(13)代入(11)得：

b= N1-(N1-N2)(1+i1)(1+i2)(i2-i1)-1 (14) 当N=0时，I=-(a+b)/b （15） 将(13)、（14）代入(15)得：

(N1N2)(1i1)(1i2)1N1(N1N2)(1i2)(i2i1)1 i=

N1(N1N2)(1i2)/(i2i1)

=[i2N1(i1+1)-i1N2(i2+1)]/[N1(i1+1)-N2(i2+1)] (16)

②实例计算

选折现率分别为11%、12%的测试值代入(16)式（仍用插值法中举例） i= = =

12%13.34(11%1)11%(1)(12%1)

13.34(11%1)(1)(12%1)177.688812.32

100(14.80741.12)190.0088

1592.74

=11.92968%

选折现率分别为10%、11%的测试值代入(16)式： i= = =

14%28.7(10%1)10%13.34(11%1)

28.7(10%1)13.34(11%1)347.27148.074

100(31.5714.8074)199.196=11。88336%

1676.26

选择折现率分别为10%、14%的测试值代入(16)式： i=

14%28.7(10%1)10%(27.04)(14%1)

28.7(10%1)(27.04)(14%1) =

441.98312.36

100(31.5731.236)

=7.34/6280.6=12.010%

(5)三种方法计算结果比较

以上三种方法取相同测试点的计算结果见下表： 采用方法与取点 两侧近点测试值 同向测试值 11.86849% 11.86849% 两侧远点测试值 12.05956% 12.05956% 插值法（或几何法）11.930265% （以直代曲） 解析公式法1 （以直代曲） 解析公式法2 （以曲代曲） 公式法2与以上方法计算结果比较 11.930265% 11.92968% 11.88336% 12.010% -5.85×10-5 1.487×10-4 -4.2×10-4 计算结果表明：1. “插值法”、“几何法”、“解析公式法1”，实质都是以直代曲的比例法，

计算结果一致；1.在以直代曲的计算中，测试值临近P点（内含报酬率点）两侧时，救出的I>I，而采用以曲代曲解析公式法2计算出的i小于用以上各法计算出的内含报酬率近似值，这说明公式法2计算出的结果精确度高；3.当测试值取P点同向一侧时，以直代曲计算出的i综上所述，本文所推导出的内含报酬率解析公式法1——“以直代曲”直线方程式，不仅适应“内插法”，而且也能取代“外插法”，它只须将两次测试值直接代入公式便求出，因而它比平面几何相似三角形线段比又简便，故不失其广泛应该性。本文所导出解析公式法2-“以曲代曲”反比例曲线方程式，其计算出的内含报酬率的精确度高于其它各法，证实了其科学性所在。但愿此两法能得到诸同仁的肯定并广泛应用。