2019-2020学年青海省海东市高二下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)

+2i对应的点位于（ ） B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．在极坐标系中，4ρcos2θ＝3sinθ表示的曲线是（ ） A．双曲线

B．抛物线

C．椭圆

D．圆

3．命题p：∃x0＞1，log2x0＞0，则￢p为（ ） A．∀x＞1，log2x＞0 C．∃x0≤1，log2x0≤0

B．∃x0＞1，log2x0≤0 D．∀x＞1，log2x≤0

4．若复数z满足3z+＝﹣4+2i，则z＝（ ） A．1+i

B．1﹣i

C．﹣1﹣i

D．﹣1+i

5．对数函数y＝logax是增函数，而y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ） A．结论是正确的 C．小前提是错误的 6．下面是关于复数z＝A．|z|＝5 C．z﹣1为纯虚数

B．推理的形式错误 D．大前提是错误的

的四个结论，其中正确的是（ ）

B．z2＝3﹣4i

D．z的共轭复数为﹣1﹣2i

7．若抛物线x2＝ay的准线与抛物线y＝﹣x2﹣2x+1相切，则a＝（ ） A．8

B．﹣8

C．﹣4

D．4

8．根据最小二乘法由一组样本点（xi，yi）（其中i＝1，2，…，500），求得的回归方程是

＝x+，则下列说法不正确的是（ ） A．样本点可能全部都不在回归直线＝x+上

B．若所有样本点都在回归直线＝x+上，则变量间的相关系数为1 C．若所有的样本点都在回归直线＝x+上，则xi+的值与yi相等 D．若回归直线＝x+的斜率＜0，则变量x与y呈负相关

9．在直角坐标系xOy中，曲线C：的距离的最小值为（ ） A．

B．

，（t为参数）上的点到直线l：x﹣y+3＝0

C． D．

10．数列6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）

A．276 B．325 C．231 D．190

11．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）

A．0

12．已知双曲线W：

B．1 C．2 D．

＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线

W的左、右两支分别交于A，B两点，以AB为直径的圆过点F，延长BF交右支于C点，若|CF|＝2|FB|，则双曲线W的渐近线方程是（ ） A．y＝±2

x

B．y＝±

x

C．y＝±

x

D．y＝±3x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上． 13．复数（1﹣2i）2的实部为a，虚部为b，则a﹣b＝ ．

14．某设备的使用年限x与所支出的维修费用y呈线性相关，部分统计数据如表：

使用年限x（单位：年）

2.5

3

4

5

5.5

维修费用y（单位：万元） 2 4 5.5 6.5 7

根据如表可得y关于x的回归直线方程为＝1.5x+，据此模型预测，若使用年限为16年，估计维修费用为 万元．

15．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝xex+1，则f（x）的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为 ．

16．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，从上往下第10行的数字之和为 ．（用数字作答）

三、解答题：本题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知复数z＝1+mi（m∈R），（1）求复数z；

（2）若复数z0＝m+z﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的根，求实数b和c的值． 18．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（α为参数），以坐标原点

）+1

是实数．

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣＝0．

（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与圆C交于点A，B两点，求|AB|．

19．某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎的新药的效果，选60名患者服药一段时间后， 记录了这些患者的生理指标x和y的数据，并统计得到如表的2×2列联表（不完整）：

x≤1.8 x＞1.8

y≤65 11

y＞65 9

合计 42

合计

B组为生理指标y＞65的人，在生理指标x＞1.8的人中，设A组为生理指标y≤65的人，将他们服用这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16，17，19． B组：12，13，14，15，16，17，20，21，25．

（1）填写如表，并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标x和y有关系； （2）从A，B两组人中随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙，求乙的康复时间比甲的康复时间长的概率． 附：K2＝P（K2≥k0） k0

1.323

2.072

2.706

3.841

．

5.024

6.635

7.879

10.828

0.25

0.15

0.10

，其中n＝a+b+c+d．

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

20．已知函数f（x）＝2ax﹣e2x，g（x）＝（1）讨论f（x）的单调性；

（2）∃x0∈（0，+∞），f（x0）≤g（x0）﹣e21．（1）用分析法证明：若x＞1，则3x2+

，求a的取值范围．

．

＞3x+＞3

（2）用反证法证明：若a＜e2，则函数f（x）＝ax2﹣4ex（x＞0）无零点． 22．设椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），

离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F2作一条直线与椭圆C交于P，Q两点，过P，Q作直线l：x＝

的垂线，

垂足为S，T．试问：直线PT与QS是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．

参

一、选择题（共12小题）. 1．在复平面内，复数A．第一象限 解：∵∴复数故选：A．

2．在极坐标系中，4ρcos2θ＝3sinθ表示的曲线是（ ） A．双曲线

B．抛物线

C．椭圆

D．圆

+2i＝

+4i对应的点位于第一象限．

+2i对应的点位于（ ） B．第二象限

C．第三象限

＝

，

D．第四象限

解：极坐标系中，4ρcos2θ＝3sinθ整理得4（ρcosθ）2＝4ρsinθ，根据

转

换为普通方程为故选：B．

．

3．命题p：∃x0＞1，log2x0＞0，则￢p为（ ） A．∀x＞1，log2x＞0 C．∃x0≤1，log2x0≤0

解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以，命题p：∃x0＞1，log2x0＞0，则￢p为：∀x＞1，log2x≤0． 故选：D．

4．若复数z满足3z+＝﹣4+2i，则z＝（ ） A．1+i

B．1﹣i

C．﹣1﹣i

D．﹣1+i

B．∃x0＞1，log2x0≤0 D．∀x＞1，log2x≤0

解：设z＝a+bi（a，b∈R），

则3z+＝3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣2+2i， ∴z＝﹣1+i． 故选：D．

5．对数函数y＝logax是增函数，而y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数，关于上面推理正确的说法是（ ） A．结论是正确的 C．小前提是错误的

解：当a＞1时，函数y＝logax为增函数， 若0＜a＜1，则函数y＝logax为减函数， 故选：D． 6．下面是关于复数z＝A．|z|＝5 C．z﹣1为纯虚数 解：∵z＝∴|z|＝

＝

，

．

的四个结论，其中正确的是（ ）

B．z2＝3﹣4i

B．推理的形式错误 D．大前提是错误的

D．z的共轭复数为﹣1﹣2i

；z8＝（1﹣2i）2＝﹣1﹣4i；z﹣1＝﹣7i；

故选：C．

7．若抛物线x2＝ay的准线与抛物线y＝﹣x2﹣2x+1相切，则a＝（ ） A．8

B．﹣8

C．﹣4

D．4

解：抛物线x2＝ay的准线为y＝﹣，抛物线y＝﹣x8﹣2x+1的顶点坐标（﹣1，2）， 抛物线x4＝ay的准线与抛物线y＝﹣x2﹣2x+1相切， 故选：B．

8．根据最小二乘法由一组样本点（xi，yi）（其中i＝1，2，…，500），求得的回归方程是

＝x+，则下列说法不正确的是（ ） A．样本点可能全部都不在回归直线＝x+上

B．若所有样本点都在回归直线＝x+上，则变量间的相关系数为1 C．若所有的样本点都在回归直线＝x+上，则xi+的值与yi相等 D．若回归直线＝x+的斜率＜0，则变量x与y呈负相关

解：回归直线一定经过样本中心点，但是样本点可能全部不在回归直线上，所以A正确；所有样本点都在回归直线＝x+上，则变量间的相关系数为±1，所以B不正确；

回归直线＝x+的斜率＜0，则r＜0，样本点分布应该从左到右是下降的，则变量x与y呈负相关，所以D正确； 故选：B．

9．在直角坐标系xOy中，曲线C：的距离的最小值为（ ） A．

B．

C．），

．

D．

，（t为参数）上的点到直线l：x﹣

y+3＝0

解：由题意设曲线C上的点为（t2，则点（t2，故选：C．

）到直线l的距离d＝

10．数列6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）

A．276 B．325 C．231 D．190

解：数列6，15，28，45，…，

所以a1＝6＝2×3，a2＝15＝3×5，a3＝28＝2×7，a4＝45＝5×9，…， 则：a11＝12×23＝276． 故选：A．

11．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（ ）

A．0 B．1

+cos

＝S+

C．2sin

，

D．

解：由题意，S＝S+sin

模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出 故选：D． 12．已知双曲线W：

＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线

W的左、右两支分别交于A，B两点，以AB为直径的圆过点F，延长BF交右支于C点，若|CF|＝2|FB|，则双曲线W的渐近线方程是（ ） A．y＝±2

x

B．y＝±

x

C．y＝±

x

D．y＝±3x

解：设双曲线的左焦点为F′，连接BF′，AF′，CF′， 设|BF|＝t，则|CF|＝2t，|BF′|＝2a+t，|CF′|＝2t+2a，

在Rt△BCF′中，|CF′|2＝|CB|6+|BF′|2，即（2t+2a）2＝（2t）2+（2a+t）4，解得t＝，

∴＝﹣1＝，

故选：C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上． 13．复数（1﹣2i）2的实部为a，虚部为b，则a﹣b＝ 1 ． 解：∵（1﹣2i）2＝﹣6﹣4i， ∴a＝﹣3，b＝﹣4． 故答案为：1．

14．某设备的使用年限x与所支出的维修费用y呈线性相关，部分统计数据如表：

使用年限x（单位：年） 维修费用y（单位：万元）

2.5 2

3 4

4 5.5

5 6.5

5.5 7

根据如表可得y关于x的回归直线方程为＝1.5x+，据此模型预测，若使用年限为16年，估计维修费用为 23 万元．

解：根据题意，计算＝×（2.5+3+8+5+5.5）＝4， ＝×（2+4+5.5+2.5+7）＝5， 所以＝5﹣1.5×5＝﹣1，

据此模型预测，当x＝16时，＝1.5×16﹣1＝23（万元）． 故答案为：23．

15．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝xex+1，则f（x）的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为 2e ．

解：∵函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝xex+1， ∴当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝﹣xe﹣x+3，

∴f（x）的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为k＝f'（﹣1）＝2e．

故答案为：2e．

16．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，从上往下第10行的数字之和为 512 ．（用数字作答）

解：第1行的数字之和为20，第8行的数字之和为21，第3行的数字之和为22， 以此类推，即每一行数字之和是首项为1，公比为3的等比数列中的项， 故答案为：512．

三、解答题：本题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知复数z＝1+mi（m∈R），（1）求复数z；

（2）若复数z0＝m+z﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的根，求实数b和c的值． 解：（1）∵z＝1+mi， ∴

＝

，

是实数．

∴z＝1﹣4i；

∴（﹣4﹣4i）2+b（﹣2﹣4i）+c＝0， 则

，解得b＝4，c＝20．

（α为参数），以坐标原点

）+1

18．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣＝0．

（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与圆C交于点A，B两点，求|AB|． 解：（1）∵曲线C的参数方程为

（α为参数），

消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2+（y﹣3）2＝16，

∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，

∵直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣∴直线l的直角坐标方程为则圆心到直线l的距离d＝故|AB|＝2×

．

）+1＝0， ； ．

19．某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎的新药的效果，选60名患者服药一段时间后， 记录了这些患者的生理指标x和y的数据，并统计得到如表的2×2列联表（不完整）：

x≤1.8 x＞1.8 合计

y≤65 11

y＞65 9

合计 42

B组为生理指标y＞65的人，在生理指标x＞1.8的人中，设A组为生理指标y≤65的人，将他们服用这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16，17，19． B组：12，13，14，15，16，17，20，21，25．

（1）填写如表，并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标x和y有关系； （2）从A，B两组人中随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙，求乙的康复时间比甲的康复时间长的概率． 附：K2＝P（K2≥k0） k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

0.25

0.15

0.10

，其中n＝a+b+c+d．

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

解：（1）统计得到如表的2×2列联表：

x≤1.8 x＞1.6 合计

y≤65 11 9 20

y＞65 31 9 40

合计 42 18 60

所以K2＝＝＝≈3.214＜3.841．

故没有95%的把握认为患者的两项生理指标x和y有关系；

设甲的康复时间为ξ，乙的康复时间为η，则选取病人的康复时间的基本事件空间为{（ξ，η）|ξ∈M，η∈N}．共81个基本事件，

（15，15），（16，12），（16，13），（16，14），（16，15），（16，16），（17，12），（17，13），（17，14），（17，15），（17，16），

从而乙的康复时间比甲的康复时间长的概率为P（ξ＜η）＝1﹣P（ξ≥η）＝1﹣20．已知函数f（x）＝2ax﹣e2x，g（x）＝（1）讨论f（x）的单调性；

（2）∃x0∈（0，+∞），f（x0）≤g（x0）﹣e

，求a的取值范围． ．

＝，

解：（1）∵f（x）＝2ax﹣e2x，∴f'（x）＝8a﹣2e2x，x∈R， 当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在R上单调递减； 令f'（x）＜0，得x＞

，f（x）在（

，+∞）上单调递减．

当a≤0时，f（x）在R上单调递减； （2）∵∃x0∈（0，+∞），f（x0）≤g（x7）﹣e设h（x）＝

，则h'（x）＝

，x＞0．

，+∞）上单调递减．

，

令h'（x）＜0，得x＞，则h（x）在（

]．

故a的取值范围是（﹣∞，

21．（1）用分析法证明：若x＞1，则3x2+＞3x+＞3．

（2）用反证法证明：若a＜e2，则函数f（x）＝ax2﹣4ex（x＞0）无零点． 【解答】证明：（1）∵x＞1，∴要证3x2+只需证3x4+6＞3x3+x， ∴只需证3x3＞4． 令t＝故3x2+

＞1，则3x+＞＞3x+＞3

．

等价于

＞3t+． ＞3x+，

则方程f（x）＝0在（8，+∞）上有解，即a＝在（0，+∞）上有解．

当0＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞8时，g′（x）＞0， 故假设不成立，原命题得证． 22．设椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），

离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F2作一条直线与椭圆C交于P，Q两点，过P，Q作直线l：x＝

的垂线，

垂足为S，T．试问：直线PT与QS是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．

解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝3，则椭圆的标椎方程为+

＝1；

（2）设直线PQ的方程为：x＝my+1，P（x1，y7），N（x2，y2），则S（4，y6）， ∴y1+y2＝﹣

，y1y2＝﹣

，

∵直线PT的方程为：（y﹣y2）（x1﹣4）＝（x﹣4）（y1﹣y7）， ∴直线PT恒过点（，0）， ∴直线PT与QS交于定点（，0）．