复化辛普森公式应用 精品

用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果完全能保证坐标计算的精度要求。因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线坐标的万能公式。下面本人就该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析。 一、复化辛卜生公式

式中： H=（Zi－ZA）/n

(公式2)

(公式3)

Zi —待求点桩号 ZA—曲线元起点桩号 ZB—曲线元终点桩号 ρA—曲线元起点曲率 ρB—曲线元终点曲率

a i曲线上任意一点处切线方位角的计算方法有以下三种方法： 1．利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算

2．利用曲线元上已知起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算 3．利用切线角公式计算 二、算例

例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A匝道一卵形曲线（卵形曲线相关参数见图一，其计算略。），相关设计数据见下表。现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标。

图一

已知相关设计数据见下表：

主点 桩号 坐 标 （m） X Y 切线方位角 （θ） ° ’ ” ZH AK0+090 HY1 AK0+160 YH1 HY2 YH2 HZ 9987.403 10059.378 92 17 26.2 9968.981 10125.341 132 23 51.6 9910.603 10136.791 205 24 33.6 AK0+223.715 9880.438 10100.904 251 24 18.5 AK0+271.881 9922.316 10007.909 337 04 .2 AK0+384.032 9981.363 10000.000 0 00 00 AK0+444.032

（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐标，n取2等分 用公式(3)、公式（2）计算+247.798处曲线及方位角:

ρ+247.798=1÷75+(1÷50-1÷75)(247.798-271.881) ÷(223.715-271.881) =0.01666666666666667

a+247.798=71°24’18.5” +(0.016666667+1÷75)(247.798-271.881)×180÷π÷2 =50°42’26.37”

其它各点依次代入公式计算，结果见下表: 曲率及切线方位角计算表 n等分点处曲线曲率 桩号 公式(3) 计 算 内插法 计 算 n等分点2n等分点处曲线曲率 处 切线方位角 公式(3) 内插法 计 算 计 算 ° ’ ” 71 24 18.5 0.015 0.015 2n等分点处 切线方位角 ° ’ ” 61 37 52.2 +271.880.013333333=1/75 1 +259.84 0 +247.790.016666660.0166666650 42 8 7 7 26.4 +235.75 7 +223.710.02=1/50 5 0.018333330.01833333338 38 3 3 0.96 25 24 36

切线方位角图示1

将计算出的数据代入公式（1）求得+223.715中桩坐标如下：

X=9880.438+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos71°24’18.5”+4(cos61°37’52.22”+cos38°38’0.96”)

+2cos50°42’26.37”+ cos25°24’35.99”) =9910.5975 (设计值：9910.603)

Y=10100.904+(223.715-271.881)÷2÷6×(sin71°24’18.5”+4(sin61°37’52.22”+sin38°38’0.96”) +2sin50°42’26.37”+ sin25°24’35.99”) =10136.7945 (设计值：10136.791)

（二）由+223.715推算Zi=+271.881的坐标，n取2等分 用公式(3)计算+247.798处曲线及方位角:

ρ+247.798=1÷50+(1÷75-1÷50)(247.798-223.715)÷(271.881-223.715) =.01666666666666667

a+247.798=205°24’33.6”+ (0.016666667+1÷50)(247.798-223.715)×180÷π÷2 =230°42’23.98”

其它各点依次代入公式计算，结果见下表: 曲率及切线方位角计算表 n等分点处曲线曲率 桩号 公式(3) 计 算 +223.710.02=1/50 5 +235.75 7 内插法 计 算 n等分点2n等分点处曲线曲率 处 切线方位角 公式(3) 内插法 计 算 计 算 ° ’ ” 205 24 33.6 2n等分点处 切线方位角 ° ’ ” 0.018333330.018333333218 37 3 3 58.6 0.015 241 37 49.8 +247.790.016666660.01666666230 42 8 6 6 24.0 +259.84 0 +271.880.013333333=1/75 1 0.015 251 24 18.5

切线方位角图示2

X=9910.603+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos205°24’33.6”+4(cos218°37’58.87”+cos241°37’49.83”)

+2cos230°42’23.98”+ cos251°24’16.11”) =9880.4431 (设计值：9880.438)

Y=10136.791+(271.881-223.715)÷2÷6×(sin205°24’33.6”+4(sin218°37’58.87”+sin241°37’49.83”)

+2sin230°42’23.98”+ sin251°24’16.11”) =10100.9008 (设计值：10100.904)

由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。

（三）前面正、反向的计算均是从卵形曲线的部分推算的，现在我们从卵形曲线所在完整缓和曲线的起点HZ’=+368.213点来推算终点+223.715和中间点+271.881. ai=aA-90L2÷(πRLS)公式(4) 1.计算Zi=+223.715中桩坐标

曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分) n等分点处 曲线曲率 桩 号 公式(3) n等分点处 切线方位角 ° ’ ” 2n等分点处 2n等分点处曲线切线方位角 曲率 ° ’ ” 内插公式(3) 内插法 公式(2)公式(4)法 公式(2)公式(4)计算 计算 计算 计 算 计 算 计算 计 算 计 算 108 12 02.1 0.0025 0.0025 106 106 25.16 25.22 96 33 28.83 75 51 37.22 44 48 75 51 37. 96 33 28. +368.213 0 +350.151 103 01 103 01 +332.0 0.005 0.005 34.33 34.58 +314.026 +295.9 0.01 0.01 +277.902 87 30 09.97 61 37 51.35 87 30 9.97 0.0075 0.0075 0.0125 0.0125 61 37 +259.840 0.015 0.015 50.58 +241.777 0.0175 0.0175 44 48 48.25 +223.715 0.02=1/50 25 24 33.58 25 24 33.58 47.8

切线方位角图示3

X=90.293+(368.213-223.715)÷4÷6×(cos108°12’02.1”+4(cos106°’25.22”+cos96°33’28.” + cos75°51’37.”+ cos44°48’47.8”)+2(cos103°01’34.58”+ cos87°30’9.97” +cos61°37’51.35”) + cos25°24’33.58”)

=9910.5963 (设计值：9910.603)

Y=10006.838+ (368.213-223.715)÷4÷6×(sin108°12’02.1”+4(sin106°’25.22”+sin96°33’28.” + sin75°51’37.”+ sin44°48’47.8”)+2(sin103°01’34.58”+ sin87°30’9.97” +sin61°37’51.35”) + sin25°24’33.58”)

=10136.7925 (设计值：10136.791) 2.计算zi=+271.881中桩坐标

曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分) n等分点处 曲线曲率 桩号 内插法 计 算 +368.213 0 +356.172 +344.130 0.003333333 n等分点处 切线方位角 ° ’ ” 2n等分点处 2n等分点处曲切线方位角 线曲率 ° ’ ” 公式公式(4)(2)计计算 算 107 37 32.49 公式(2)公式(4)内插法 计算 计算 计 算 108 12 02.1 0.001666667 105 02.97 +332.0 +320.047 0.006666667 +308.006 +295.9 0.01 +283.923 71 24 16.09 87 30 09.97 99 00 05.6 0.005 0.008333333 0.011666667 103 01 34.58 93 49 38.42 80 01 44.02 +271.881 0.013333333=1/75 +223.715 0.02=1/50 25 24 25 24 33.58 33.58

切线方位角图示4

X=90.293+(368.213-271.881)÷4÷6×(cos108°12’2.1”+4(cos107°37’32.49”+cos103°01’34.58” + cos93°49’38.42”+ cos80°01’44.02”)+2(cos105°’02..97”+ cos99°00’05.6” +cos87°30’09.97”) + cos71°24’16.09”)

=9880.4416 (设计值：9880.438)

Y=10006.838+ (368.213-271.881)÷4÷6×(sin108°12’2.1”+4(sin107°37’32.49”+sin103°01’34.58” + sin93°49’38.42”+ sin80°01’44.02”)+2(sin105°’02.97”+ sin99°00’05.6” +sin87°30’09.97”) + sin71°24’16.09”)

=10100.9008 (设计值：10100.904)

由此我们不难看出，利用复化辛卜生公式计算公路中桩坐标不仅顺逆向很方便，而且可从中任取一段进行计算。而计算中的关键是计算各等分点处的切线方位角，同时应分清n与2n等分点，注意不要混淆。对于n的取值，从上我们可以看出：对一般缓和曲线取2-3即可，对卵形曲线视推算基准点而言不少于4。

其它如圆曲线、直线等中桩坐标的计算方法是一样的，在此就不一一简述。