【中考模拟】辽宁省沈阳市和平区2015届中考数学二模试题(A卷,含解析)

辽宁省沈阳市和平区2015届中考数学二模试题（A卷）

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．

的绝对值是（ ）

A．3 B．﹣3 C． D．

2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2

3．一元二次方程x﹣4=0的根为（ ）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4

22

4．把x﹣xy分解因式，结果正确的是（ ）

222

A．（x+xy）（x﹣xy） B．x（x﹣y） C．x（x﹣y） D．x（x﹣y）（x+y）

5．下列说法正确的是（ ）

A．为了了解东北地区中学生每天体育锻炼的时间，应采用普查的方式 B．平均数相同的甲乙两组数据，若甲组数据的方差s则乙组数据比甲组数据稳定

C．掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 D．数据1，3，4，6，7，8的中位数是5

6．如果点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，并且x1＜x2＜0，那么下列各式正确的是（ ）

A．y2＞y1＞0 B．y1＜y2＜0 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0

7．数轴上A，B，C三个点分别对应着a，b，c三个数，若a＜b＜c，且AC=2BC，则下列关系式成立的是（ ）

A．c=2a+b B．c=a+2b C．c=2b﹣a D．c=2a﹣b

2

8．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列四个结论：

2

①ac＜0；②a+b+c＞0；③4a﹣2b+c＜0；④4ac﹣b＞0． 其中正确的结论有（ ）

=0.03，乙组数据的方差s

=0.2，

A．1 B．2 D．4

二、填空题（本题8小题，每小题4分，共32分）

9．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 ． 10．如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为 ．

C．3

11．不等式组的解集是 ．

12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．

13．如果从九年级（1），（2），（3），（4），（5）班中随机抽取一个班与九年级（6）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到九年级（1）班的概率是 ． 14．观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形中小正方形的个数为 ．

15．如图，小明从A地出发向B地行走，同时小亮从B地出发向A地行走，线段l1，l2分别表示小明、小亮离B地的距离与已用时间之间的关系，当x= h时，小明与小亮相距7.7km．

16．如图，将锐角△ABC绕点B逆时针旋转α（其中0°＜α≤360°），得到△A′BC′，点D是边AB的中点，点P是边AC（含端点）上的一个动点，在△ABC绕点B逆时针旋转的过程中，点P的对应点是点P′．若AB=10，AC=8的取值范围是 ．

，∠ACB=45°，DP′的长度为x，则x

三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

2

17．先化简，再求值：（a﹣2b）﹣（a+3b）（a﹣3b），其中a=tan45°，b=cos60°．

18．甲、乙两名同学分别标有数字0，﹣

，﹣1，4的四张卡片（除了数字不同以外，其

余都相同）做游戏，他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，甲先随机抽取一张，抽出的卡片不放回，乙再从余下的卡片中随机抽取一张． （1）甲同学抽到的卡片上的数字是无理数的概率是 ；

（2）若规定甲同学抽到卡片上的数字比乙同学抽取到卡片上的数字大，则甲同学获胜；否则乙同学获胜．请你用列表法或画树状图法求乙同学获胜的概率．

19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO=CO，E，F是AC上的两点，且AE=CF，BE∥DF．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）若AO=BO，求证：四边形ABCD是矩形．

20．本学期开学初，某校体育组对九年级（1）班50名学生进行了第一次跳绳项目的测试（成

绩为整数，满分5分），根据该班学生的测试成绩绘制了两个不完整的统计图．

根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）第一次测试得分的众数是 ；

（2）在扇形统计图中，“5分”所在扇形的圆心角的度数是 °； （3）第一次测试的平均分是多少分？

（4）通过一段时间的训练，体育组对该班50名学生的跳绳项目进行第二次测试，测试成绩的最低分为3分，且得4分和5分的人数共有40人，平均分达到了4.3分，则第二次测试中得4分和5分的学生分别有 人．

21．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线，交AC边于点E，交AB边的延长线于点F． （1）求证：∠AEF=90°； （2）若∠F=30°，BF=5，求

的长．

22．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，点A的坐标是

（3，1），连接OA．

（1）线段OA的垂直平分线与x轴交点的横坐标是 ；

（2）在网格中用2B铅笔画出线段OA绕点O逆时针方向旋转90°后的对应线段OB，连接AB，求AB的长； （3）在（2）的条件下，若△A′OB′与△AOB位似，点O是位似中心，点A的对应点是点A′，且A′B′=

，则点A′的坐标是 ．

23．某商场购进A，B两种型号产品，其中A种型号产品的进货单价比B种型号产品的进货单价多5元，花600元购进A种型号产品的数量与花500元购进B种型号产品的数量相同，根据相关部门规定这种型号产品的每件的销售利润不得超过该产品的进货单价的60%，销售中发现A种型号产品的每天销售量yA（件）与售价x（元/件）满足函数关系式yA=﹣x+65，B种型号产品的每天的销售量yB（件）与售价x（元/件）满足关系式yB=﹣x+60． （1）求A，B两种型号产品的进货单价（要求列分式方程求解）； （2）已知A种型号产品的售价比B种型号产品的售价高6元/件，设B种型号产品的售价为t元/件，每天销售这两种型号产品的利润为w元． ①求w与t的函数关系式；

②当A，B两种型号产品的售价各为多少时，每天销售这两种型号产品的总利润最大．

24．如图1，在▱ABCD中，AB=2

，tanB=2，点E是AD边的中点，CE的延长线与BA的延

长线相交于点P． （1）求证：AP=AB；

（2）点F是线段BP上一点，且CF⊥BP，连接EF； ①若AF=AB，直接写出EF的长； ②如图2，若BC=4

，∠FED与∠PFE之间的数量关系满足∠FED=n∠PFE，求n的值．

25．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．

（1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式； （2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S． ①求S与a的函数关系式；

②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由； （3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为 ．

2015年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷（A） 参与试题解析

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1．

的绝对值是（ ）

A．3 B．﹣3 C． D． 【考点】绝对值．

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 【解答】解：|﹣|=．

故﹣的绝对值是． 故选：C．

【点评】此题考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误． 故选：A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2

3．一元二次方程x﹣4=0的根为（ ）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 【分析】根据开平方法，可得方程的解． 【解答】解：移项，得 2

x=4， 开方，得

x1=2，x2=﹣2．

故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方，解这类问题要移项，把所含未知数的项

2

移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接

22

求解．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x=a（a≥0）；ax=b（a，b同号且a≠0）；

22

（x+a）=b（b≥0）；a（x+b）=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

22

4．把x﹣xy分解因式，结果正确的是（ ）

222

A．（x+xy）（x﹣xy） B．x（x﹣y） C．x（x﹣y） D．x（x﹣y）（x+y） 【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】根据公因式的定义确定公因式是x，然后提取公因式即可选取答案．

222

【解答】解：x﹣xy=x（x﹣y）． 故选C．

【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，只要提取公因式x即可．

5．下列说法正确的是（ ）

A．为了了解东北地区中学生每天体育锻炼的时间，应采用普查的方式 B．平均数相同的甲乙两组数据，若甲组数据的方差s

=0.03，乙组数据的方差s

=0.2，

则乙组数据比甲组数据稳定

C．掷一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上 D．数据1，3，4，6，7，8的中位数是5

【考点】方差；全面调查与抽样调查；中位数；随机事件．

【分析】根据方差的意义、全面调查与抽样调查、随机事件、中位数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．

【解答】解：A、为了了解东北地区中学生每天体育锻炼的时间，应采用抽查的方式，故本选项错误；

B、平均数相同的甲乙两组数据，若甲组数据的方差s则甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误；

C、掷一枚质地均匀的硬币2次，硬币正面朝上的概率也是，不一定有1次正面朝上，故本选项错误；

D、数据1，3，4，6，7，8的中位数是=5，故本选项正确； 故选D．

【点评】此题考查了方差、全面调查与抽样调查、随机事件、中位数，掌握方差的意义、全面调查与抽样调查、随机事件、中位数的定义是本题的关键．

6．如果点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y=﹣的图象上，并且x1＜x2＜0，那么下列各式正确的是（ ）

A．y2＞y1＞0 B．y1＜y2＜0 C．y1＞y2＞0 D．y2＜y1＜0

=0.03，乙组数据的方差s

=0.2，

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】先根据反比例函数y=﹣判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据反比例函数的增减性即可解答．

【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣2＜0，

∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∵x1＜x2＜0，

∴A（x1，y1）、B（x2，y2）两点均位于第二象限， ∴y2＞y1＞0． 故选：A．

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．

7．数轴上A，B，C三个点分别对应着a，b，c三个数，若a＜b＜c，且AC=2BC，则下列关系式成立的是（ ）

A．c=2a+b B．c=a+2b C．c=2b﹣a D．c=2a﹣b 【考点】数轴．

【分析】根据a＜b＜c，且AC=2BC，所以点B为AC的中点，根据中点的定义得到b=即可解答．

【解答】解：如图，

∵a＜b＜c，AC=2BC， ∴点B为AC的中点，

∴b=， ∴c=2b﹣a， 故选：C．

【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是借助于数轴明确点B为AC的中点．

2

8．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列四个结论：

2

①ac＜0；②a+b+c＞0；③4a﹣2b+c＜0；④4ac﹣b＞0． 其中正确的结论有（ ）

，

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，

然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下，交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0，

∴ac＜0，故①正确； ∵x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，故②错误；

由图象可知：当x=﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故③正确； 由抛物线交x轴于两点， 2

∴b﹣4ac＞0，

2

∴4ac﹣b＜0，故④错误； 故选B．

【点评】本题考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根据图象判断其值．

二、填空题（本题8小题，每小题4分，共32分）

5

9．太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 6.96×10 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【专题】应用题．

n

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．

5

【解答】解：696 000=6.96×10．

n

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

10．如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为 120° ．

【考点】三角形中位线定理．

【分析】根据等边三角形的性质，可得∠C的度数，根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行线的性质，可得答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C=60°，

∵点D、E分别为边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，

∴∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°， 故答案为：120°． 【点评】本题考查了三角形中位线定理以及等边三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

11．不等式组的解集是 ＜x≤2 ．

【考点】解一元一次不等式组． 【专题】计算题． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集．

【解答】解：由①得：x＞； 由②得：x≤2，

，

则不等式组的解集为＜x≤2． 故答案为： 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．

12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ． 【考点】多边形内角与外角． 【专题】计算题．

【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．

【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍， 则内角和是720度， 720÷180+2=6，

∴这个多边形是六边形． 故答案为：6．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．

13．如果从九年级（1），（2），（3），（4），（5）班中随机抽取一个班与九年级（6）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到九年级（1）班的概率是 ． 【考点】概率公式．

【分析】由从九年级（1），（2），（3），（4），（5）班中随机抽取一个班与九年级（6）班进行一场拔河比赛，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：∵从九年级（1），（2），（3），（4），（5）班中随机抽取一个班与九年级（6）班进行一场拔河比赛，

∴恰好抽到九年级（1）班的概率是：．

故答案为：．

【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14．观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形中小正方形的个数为 29 ．

【考点】规律型：图形的变化类．

【分析】由图形可知：第1个图形中小正方形的个数为2，第2个图形中小正方形的个数为2+3=5，第3个图形中小正方形的个数为2+3×2=8，第4个图形中小正方形的个数为2+3×3=11，„由此得出第n个图形中小正方形的个数为2+3（n﹣1）=3n﹣1，进一步代入求得答案即可．

【解答】解：∵第1个图形中小正方形的个数为2， 第2个图形中小正方形的个数为2+3=5， 第3个图形中小正方形的个数为2+3×2=8， 第4个图形中小正方形的个数为2+3×3=11， „

∴第n个图形中小正方形的个数为2+3（n﹣1）=3n﹣1， ∴第10个图形中小正方形的个数为3×10﹣1=29． 故答案为：29．

【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律解决问题．

15．如图，小明从A地出发向B地行走，同时小亮从B地出发向A地行走，线段l1，l2分别表示小明、小亮离B地的距离与已用时间之间的关系，当x= 0.5或2.7 h时，小明与小亮相距7.7km．

【考点】一次函数的应用．

【分析】由待定系数法分别求出l1，l2的解析式，当y1﹣y2=7.7或y2﹣y1=7.7时求出x的值即可．

【解答】解：设l1的解析式为y=k1x+b，由题意，得

，

解得：，

∴y=﹣4x+11.2；

设l2的解析式为y=k2x，由题意，得

4.8=1.6k2， ∴k2=3， ∴y=3x．

当﹣4x+11.2﹣3x=7.7时． ∴x=0.5．

当3x﹣（﹣4x+11.2）=7.7时， x=2.7．

故答案为：0.5或2.7． 【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．

16．如图，将锐角△ABC绕点B逆时针旋转α（其中0°＜α≤360°），得到△A′BC′，点D是边AB的中点，点P是边AC（含端点）上的一个动点，在△ABC绕点B逆时针旋转的过程中，点P的对应点是点P′．若AB=10，AC=8的取值范围是 7

﹣5≤x≤19 ．

，∠ACB=45°，DP′的长度为x，则x

【考点】旋转的性质．

【分析】由于D为AB的中点，P′为动点，则当DP⊥A′C′时，DP′最短，而在△ABC绕点B逆时针旋转（0°＜a≤360°）的过程中，当DP′在直线AB上时，DP′最短，然后根据旋转的性质得到∠C′=∠C=45°，BC′=BC=14，再利用含45度的直角三角形三边的关系得到BP′=7

，而BD=5，所以DP′=BP1﹣BD=7

﹣5，当D、B、P′在一条直线上，且P′在

点C′处时，DP′最长，此时BP′=14，BD=5，则BP′=14+5=19，从而求得x的取值范围是7

﹣5≤x≤19．

【解答】解：过A点作AE⊥BC于E， ∵AB=10，AC=8

，∠ACB=45°，

∴AE=CE=∴BE=

AC=8，

=6，

∴BC=14，

∵D为AB的中点，P′为动点， ∴当DP′⊥A′C′时，DP′最短， ∵在△ABC绕点B逆时针旋转a角（0°＜a≤360°）的过程中，当DP′在直线AB上时，DP′最短，

∴P′点为A1C1与AB垂直时的垂足，DP′最短，如图1，

∵△ABC绕点B逆时针旋转a角（0°＜a≤360°）得到△A′BC′， ∴∠C′=∠C=45°，BC′=BC=14， ∴BP′=BC′=7， ∵AB=10，D为AB的中点， ∴BD=5， ∴P′D=BP′﹣BD=7

﹣5．

∵在△ABC绕点B逆时针旋转a角（0°＜a≤360°）的过程中，当D、B、P′在一条直线上，且P′在点C′处时，DP′最长，如图2， ∵BC′=BC=14， ∴BP′=14， ∵BD=5，

∴BP′=14+5=19， ∴7

﹣5≤x≤19．

﹣5≤x≤19．

故答案为7

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

2

17．先化简，再求值：（a﹣2b）﹣（a+3b）（a﹣3b），其中a=tan45°，b=cos60°． 【考点】整式的混合运算—化简求值；特殊角的三角函数值．

【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

22222

【解答】解：原式=a﹣4ab+4b﹣a+9b=13b﹣4ab，

当a=tan45°=1，b=cos60°=时，原式=．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．甲、乙两名同学分别标有数字0，﹣

，﹣1，4的四张卡片（除了数字不同以外，其

余都相同）做游戏，他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，甲先随机抽取一张，抽出的卡片不放回，乙再从余下的卡片中随机抽取一张．

（1）甲同学抽到的卡片上的数字是无理数的概率是 ；

（2）若规定甲同学抽到卡片上的数字比乙同学抽取到卡片上的数字大，则甲同学获胜；否则乙同学获胜．请你用列表法或画树状图法求乙同学获胜的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）由数字0，﹣

，﹣1，4中是无理数的有：﹣

，直接利用概率公式求解

即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与乙同学获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）∵数字0，﹣

，﹣1，4中是无理数的有：﹣

，

∴甲同学抽到的卡片上的数字是无理数的概率是：； 故答案为：；

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，乙同学获胜的有6种情况，

∴乙同学获胜的概率为： =．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO=CO，E，F是AC上的两点，且AE=CF，BE∥DF．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）若AO=BO，求证：四边形ABCD是矩形．

【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）求出OE=OF，根据平行线的性质求出∠DFO=∠BEO，根据ASA推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出OD=OB，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出AC=BD，根据矩形的判定得出即可． 【解答】证明：（1）∵AO=CO，AE=CF， ∴AO﹣AE=CO﹣CF， ∴OE=OF， ∵BE∥DF，

∴∠DFO=∠BEO， 在△BOE和△DOF中

∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）∵△BOE≌△DOF， ∴OD=OB， ∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OD=OB，OA=OC，OA=OB， ∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形．

【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 20．本学期开学初，某校体育组对九年级（1）班50名学生进行了第一次跳绳项目的测试（成绩为整数，满分5分），根据该班学生的测试成绩绘制了两个不完整的统计图．

根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）第一次测试得分的众数是 4分 ；

（2）在扇形统计图中，“5分”所在扇形的圆心角的度数是 72 °； （3）第一次测试的平均分是多少分？

（4）通过一段时间的训练，体育组对该班50名学生的跳绳项目进行第二次测试，测试成绩的最低分为3分，且得4分和5分的人数共有40人，平均分达到了4.3分，则第二次测试中得4分和5分的学生分别有 15和25 人． 【考点】条形统计图；扇形统计图．

【分析】（1）根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，就可得出答案； （2）用360°乘以“5分”的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）根据平均数的计算公式进行计算即可；

（4）设第二次测试中得4分的学生有x人，得5分的学生有y人，根据得4分和5分的人数共有40人和平均分达到了4.3分，列出方程组，求出x，y的值即可． 【解答】解：（1）根据条形统计图可得：第一次测试得分的众数是4分； 故答案为：4分；

（2）“5分”所在扇形的圆心角的度数是360°×故答案为：72；

（3）根据题意得：

=72°；

=3.7（分），

答：第一次测试的平均分是3.7分；

（4）设第二次测试中得4分的学生有x人，得5分的学生有y人，根据题意得：

，

解得：．

答：第二次测试中得4分和5分的学生分别有15人和25人． 故答案为：15和25．

【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数和二元一次方程组的解法，掌握平均数的计算公式以及二元一次方程组的解法，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线，交AC边于点E，交AB边的延长线于点F． （1）求证：∠AEF=90°； （2）若∠F=30°，BF=5，求

的长．

【考点】切线的性质；弧长的计算．

【专题】证明题．

【分析】（1）连结OD，如图，根据切线的性质得OD⊥EF，再证明OD∥AC，所以AC⊥EF，则∠AEF=90°； （2）由OD⊥DF得∠ODF=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系OF=2OD，即OB+5=2OD，可解得OD=5，再计算出∠AOD=90°+∠F=120°，然后根据弧长公式求解． 【解答】（1）证明：连结OD，如图， ∵EF为切线， ∴OD⊥EF， ∵OD=OB，

∴∠OBD=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∴AC⊥EF， ∴∠AEF=90°；

（2）解：∵OD⊥DF， ∴∠ODF=90°， ∵∠F=30°，

∴OF=2OD，即OB+5=2OD， 而OB=OD， ∴OD=5，

∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°， ∴

的长度=

=

π．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了弧长公式．

22．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，点A的坐标是

（3，1），连接OA．

（1）线段OA的垂直平分线与x轴交点的横坐标是 ；

（2）在网格中用2B铅笔画出线段OA绕点O逆时针方向旋转90°后的对应线段OB，连接AB，求AB的长； （3）在（2）的条件下，若△A′OB′与△AOB位似，点O是位似中心，点A的对应点是点A′，且A′B′=，则点A′的坐标是 （，）或（﹣，﹣） ． 【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．

【分析】（1）利用勾股定理得出AO的长，再利用锐角三角函数关系得出DO的长； （2）利用旋转的性质得出B点位置进而得出AB的长； （3）利用位似图形的性质，得出点A′的坐标有2个． 【解答】解：（1）作OA的垂直平分线CD，交x轴于点D， ∵AO=

=

，则OC=

，

故cos∠AOD=解得：OD=，

==，

则线段OA的垂直平分线与x轴交点的横坐标是：； 故答案为：；

（2）如图所示： ∵OA=

，

在△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO，

222

由勾股定理得：AB=AO+BO=20， 则AB=2

；

（3）∵△A′OB′与△AOB位似，点O是位似中心，点A的对应点是点A′，且A′B′=，

∴==，

则点A′的坐标是：（，）或（﹣，﹣）． 故答案为：（，）或（﹣，﹣）．

【点评】此题主要考查了旋转变换以及位似变换的性质，正确掌握位似图形的性质是解题关键．

23．某商场购进A，B两种型号产品，其中A种型号产品的进货单价比B种型号产品的进货单价多5元，花600元购进A种型号产品的数量与花500元购进B种型号产品的数量相同，根据相关部门规定这种型号产品的每件的销售利润不得超过该产品的进货单价的60%，销售中发现A种型号产品的每天销售量yA（件）与售价x（元/件）满足函数关系式yA=﹣x+65，B种型号产品的每天的销售量yB（件）与售价x（元/件）满足关系式yB=﹣x+60． （1）求A，B两种型号产品的进货单价（要求列分式方程求解）； （2）已知A种型号产品的售价比B种型号产品的售价高6元/件，设B种型号产品的售价为t元/件，每天销售这两种型号产品的利润为w元． ①求w与t的函数关系式；

②当A，B两种型号产品的售价各为多少时，每天销售这两种型号产品的总利润最大． 【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据“花600元购进A种型号产品的数量与花500元购进B种型号产品的数量相同”列方程解答即可；

（2）①根据总利润w=A，B两种型号产品的利润和，列出函数表达式；

②根据函数的性质和每件的销售利润不得超过该产品的进货单价的60%，求出A，B两种型号产品的售价各为多少时，每天销售这两种型号产品的总利润最大． 【解答】解：（1）设A型号产品的进货单价为m元，根据题意得：

解得：m=30，

经检验m=30是所列方程的解， 30﹣5=25，

答：A，B两种型号产品的进货单价分别为30元和25元． （2）①根据题意得：

W=（t+6﹣30）[﹣（t+6）+65]+（t﹣25）（﹣t+60）

2

=﹣2t+168t﹣2916；

22

②W=﹣2t+168t﹣2916=﹣2（t﹣42）+612， ∵a=﹣2＜0，

∴在对称轴t=42的左侧W随t的增大而增大， 又∵30×（1+60%）=48，25×（1+60%）=40， ∵40+6＜48，

∴当t=40时，W有最大值，

答：当A，B两种型号产品的售价分别为48元、40元时，每天销售这两种型号产品的总利润最大．

【点评】本题主要考查了方程的应用和二次函数的实际应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定售价在多少元时，总利润最大是解决问题的关键．

24．如图1，在▱ABCD中，AB=2

，tanB=2，点E是AD边的中点，CE的延长线与BA的延

长线相交于点P． （1）求证：AP=AB；

（2）点F是线段BP上一点，且CF⊥BP，连接EF； ①若AF=AB，直接写出EF的长； ②如图2，若BC=4

，∠FED与∠PFE之间的数量关系满足∠FED=n∠PFE，求n的值．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可知AE∥BC，根据平行线的性质和点E是AD边的中点，得到答案；

（2）①根据AB=2，AF=AB，求出AF的长和BF的长，根据勾股定理求出PC，根据直角三角形的性质得到答案；

②证明∠FED=3∠PFE，求出n的值．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BC，

∴=，

又∵点E是AD边的中点， ∴PB=2PA， 即AP=AB； （2）∵AF=AB=∴BF=

，

，

又∵CF⊥BP，tanB=2， ∴FC=2

，

，

=

，

PF=PA+AF=3

根据勾股定理，PC=由（1）得，PE=EC， ∵CF⊥BP，PE=EC，

∴EF=PC=； ②∵EF=PE=EC，

∴∠P=∠PFE，∠FEC=∠P+∠PFE=2∠PFE， 又∵AP=AE，

∴∠P=∠AEP=∠CED， ∴∠FED=3∠PFE， ∴n=3．

【点评】本题考查的是平行四边形的性质、直角三角形的性质和平行线的性质，灵活运用性质进行解答是解题的关键，直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线是斜边的一半．

25．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．

（1）如图1，当CG=OD时，直接写出点D和点G的坐标，并求直线DG的函数表达式； （2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S． ①求S与a的函数关系式；

②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由； （3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为

．

【考点】一次函数综合题． 【专题】压轴题；数形结合．

【分析】（1）将x=0代入y=mx+2得y=2，故此点D的坐标为（0，2），由CG=OD=2可知点G的坐标为（2，6），将点G（2，6）代入y=mx+2可求得m=2；

（2）①如图1所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴与点N．先证明Rt△GHF≌Rt△EOD，从而得到FH=DO=2，由三角形的面积公式可知：S=6﹣a．②当s=1时，a=5，在△CGD中由勾股定理可求得DG=中由勾股定理可求得OE=

，由菱形的性质可知；DG=DE=

，在Rt△DOE

＞6，故S≠1；

（3）如图2所示：连接DF交EG于点M，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．由菱形的性质可知：DM⊥GM，点M为DF的中点，根据角平分线的性质可知：MD=CD=4，由中点坐标公式可知点M的纵坐标为3，于是得到ND=1，根据勾股定理可求得MN=

，于是得到点M的坐标为（

，

3）然后利用待定系数法求得DM、GM的解析式，从而可得到点G的坐标，最后将点G的坐标代入y=mx+2可求得m=．

【解答】（1）∵将x=0代入y=mx+2得；y=2， ∴点D的坐标为（0，2）． ∵CG=OD=2，

∴点G的坐标为（2，6）．

将点G（2，6）代入y=mx+2得：2m+2=6． 解得：m=2．

∴直线DG的函数表达式为y=2x+2．

（2）①如图1所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴与点N．

∵四边形DEFG为菱形， ∴GF=DE，GF∥DE． ∴∠GNC=∠EDO．

∴∠NGC=∠DEO． ∴∠HGF=∠DEO．

在Rt△GHF和Rt△EOD中，

，

∴Rt△GHF≌Rt△EOD． ∴FH=DO=2．

∴=×2×（6﹣a）=6﹣a． ∴S与a之间的函数关系式为：S=6﹣a． ②当s=1时，则6﹣a=1． 解得：a=5．

∴点G的坐标为（5，6）． 在△DCG中，由勾股定理可知；DG=∵四边形GDEF是菱形， ∴DE=DG=

．

=

=

＞6．

=

=

．

在Rt△DOE中，由勾股定理可知OE=

∴OE＞OA．

∴点E不在OA上． ∴S≠1．

（3）如图2所示：连接DF交EG于点M，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．

又∵四边形DEFG为菱形， ∴DM⊥GM，点M为DF的中点．

∵GD平分∠CGE，DM⊥GM，GC⊥OC， ∴MD=CD=4．

∵由（2）可知点F的坐标为4，点D的纵坐标为2， ∴点M的纵坐标为3． ∴ND=1． 在Rt△DNM中，MN=∴点M的坐标为（

，3）．

=

．

设直线DM的解析式为y=kx+2．将（，3）代入得： k+2=3．

解得：k=．

x+b．将（

，3）代入得：﹣15+b=3．

∴设直线MG的解析式为y=解得：b=18．

∴直线MG的解析式为y=﹣将y=6代入得：

x+18． ．

解得：x=．

，6）．

m+2=6．

∴点G的坐标为（将（解得：m=

，6）代入y=mx+2得：．

故答案为：．

【点评】本题考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、全等三角形的性质和判定、待定系数法求一次函数的解析式、角平分线的性质，求得点M的坐标是解题的关键．