易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

第２７卷２００８年第２期　６月　成都大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｅｎｇｄｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ＿ｏ１．２７　Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．２００８　文章编号：１００４—５４２２（２００８）０２—０１０５—０４　易拉罐形状和尺寸的最优设计模型　徐茂良，邓启良，刘　睿，郑　波　（成都大学信息科学与技术学院，９）Ｉ１成都６１０１０６）　摘要：用多元函数极值理论，并灵活运用Ｍａｔｌａｂ、Ｍａｔｈｔｙｐｅ和Ｈｎｇｏ等数学软件，建立了易拉罐形状和尺寸的优　化设计模型．　关键词：易拉罐设计；数学建模；多元函数极值；拉格朗日乘数法　中图分类号：Ｏ１７５．６　文献标识码：Ａ　Ｏ问　题　（１）取一个饮料量为３５５　ｍＬ的易拉罐，测量所　需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚　度等，并把数据列示加以说明．　（２）设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最　优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易　拉罐的形状和尺寸．　合）牢固、耐压，易拉罐顶盖到其圆柱部分的圆台　母线斜率须满足一定的力学和材料等方面的要　求，设其值为ｋ（取３．ｃｒ７）．　（５）罐的厚度是均匀的，且远小于它的高度和　半径．　１．３对问题（４）　新设计的易拉罐的口径与矿泉水瓶的口径相　同（为３　ａｍ）．　（３）设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面　部分是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其　结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状　和尺寸．　（４）利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，　做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计．　２参数说明　设计的易拉罐参数说明如下：Ｃ　，顶盖周长；　Ｃ　，圆柱部分的截面圆周长；６，除易拉罐的顶盖　外，罐的其他地方的材料厚度；　６，顶盖的厚度；Ｒ，　饮料罐底的半径；　，上盖的用材体积；Ｈ，罐的内　部总高；Ｖ，罐的容积；　，侧面部分的用材体积；　１基本假设　１．１对问题１　底面部分的用材体积；　（Ｒ，＾），易拉罐的总　在测量易拉罐的容积时，假设一毫升水和一　毫升的饮料是等容的（实验中我们是将纯净水注　入空的易拉罐来测量它的容积的）．　１．２对问题（２），问题（３）　用材体积；ｒ，顶盖的内半径；ｄ，顶盖直径；｜ｊ｝，圆台　母线与圆柱母线的夹角的正切．Ｚ，圆台部分的母　线长；ｈ，易拉罐的圆柱部分高；　，上盖面积；Ｓ　，　圆台部分面积；Ｓ　，易拉罐圆柱部分面积；Ｓ　，罐底　面积；　（１）除易拉罐的顶盖比较厚外，罐的其他部位　的材料厚度是相同的．　易拉罐上盖用体积；　，易拉罐除上盖　外其他部分的用材体积；　，易拉罐总用材体积；　（２）易拉罐的饮料量为３５５　ｍＬ，并留有１０　ｍＬ　的空间．　易拉罐容积；　，圆台母线与圆柱母线夹角．　（３）问题中假设易拉罐的形状为严格的几何　形状．　３　模型的建立与求解　３．１　对问题（１）的建模与求解　（４）因为要保证与饮料罐薄的部分的焊接（粘　收稿日期：２ＯＯ７—１０—２０．　问题（１）就是要寻找和确定所建模型需要的参　作者简介：徐茂良（１９４７一），男，教授，从事应用数学的教学与科研．　维普资讯 http://www.cqvip.com １０６·　成都大学学报（自然科学版）　第２７卷　考数据，通过实验测量并求平均值如表１所示．　表１　部分参数的测量数据均值　的体积最小为优化目标，建立了一个二元函数，再　用拉格朗日乘数法，解得：砉＝　＝４．ｏ．　实际测量的数据为：急＝　＝３．６．　３．２　问题（２）的分析与建模　３．２．１　问题（２）的分析．　误差分析：　把饮料罐视为正圆柱体，在饮料罐容积一定　时，我们把制作易拉罐所用的材料最省（材料的体　①实际易拉罐不是标准的圆柱体，它的上部　分是截圆台．　积最小）作为优化目标，用＾和Ｒ比值来说明我们　的测量数据，即为所求的最优化．　３．２．２　模型的建立．　②受测量精度局限性，一定的测量误差存在，　此模型结果在合理的误差范围之内．　３．３　问题（３）的分析与建模　３．３．１　问题（３）的分析．　设除顶盖外其他地方的厚度为ｂ，上盖的厚度　为　６，内半径为Ｒ，易拉罐的内部高度为＾．根据　求体积公式得模型：　ｍｉｎｖｚ（Ｒ，＾）＝２：ｒＲｈｂ＋（１＋　）：ｒＲ　ｂ＋２：ｒＲ（１＋　假设易拉罐的上部分是一个正圆台，下部分　是一个正圆柱体，在容积一定的条件下，以用材的　体积最小为优化国标，来实现易拉罐的最优设计．　３．３．２模型的建立．　设罐身的厚度以及罐底的厚度为ｂ，顶盖的厚　度为　６，上顶盖的内半径为ｒ，下底内盖的半径为　Ｒ，罐内的总高度为　，罐身的高度（圆柱部分高）　为＾，易拉罐的用材总体积表达式为：　ｍｉｎＶｓ＝　（ｒ＋６）　６＋［　（Ｒ＋ｒ＋２６）Ｚ＋　２　（尺＋ｂ）＾＋　（Ｒ＋ｂ）　］ｂ　Ｓ．ｔ．：　）ｂ　＋ｈ：ｒｂ　＋　（１＋　）ｂ　（１）　＾＝　＾＞Ｏ　Ｒ＞Ｏ　３．２．３　模型的求解．　模型的简化处理（对式（１）），因为ｂ远小于Ｒ，　所以（１）式中带ｂ　、ｂ　的项都可以舍去，这样可能　简化模型的求解，故又得到：　ｍｉｎ　（Ｒ，ｈ）＝２：ｒＲｈｂ＋（１＋　）：ｒＲ　ｂ（２）　ｈ　ｆ　［Ｉ，　一－ｌ　ｋ（ＴｒＲ　＋　Ｒｒ＋　ｒ　）（Ｒ—ｒ）］　１凡　———————　【—————一　Ｒ＞ｒ＞ｏ　．　：ｒＲ—２　对此模型，还时考虑到ｂ远小于Ｒ，可仿问题　ｈ＞０　Ｒ＞０　．　（２），凡是含ｂ　、ｂ　的项都舍去，最后得到易拉罐的　用材总体积最终模型为：　Ｉ，（Ｒ，ｒ）＝　ｒ　（１＋　）＋２：ｒ（１一　）Ｒ２—２：ｒＲｒ＋　２Ｖ２　１ｏｒ？（Ｒ百一一　＞ｒ，Ｒ＞０＞ｒ，　＞　ｒ＞ｕ　Ｌ４　ＩＪ，ｒ＞Ｏ）（４）　百下面我们用拉格朗日乘数法［２　来解ｍｉｎｖａ　（Ｒ，＾），设拉格朗日函数为：　（Ｒ，ｈ，ｔ）＝：ｒｂ［２Ｒｈ＋（１＋　）Ｒ　］一　ｔ［：ｒＲ　ｈ—Ｖ］　（３）　对（３）式，分别求　对Ｒ、ｈ、ｔ的一阶偏导数，　再将　３，Ｖ＝３６５．０　ｍＬ代入得到：　３厂　３．３．３　问题（３）的求解．　（４）式是一二：元函数，要求的是用材总体积最　小的条件下的Ｒ’ｒ，其实就是一个二元函数的无　条件极值问题．分别对Ｒ，ｒ的一阶偏导数［３】，代入　Ｒ　√　得，　ｈ３·０７　ｍ＿ｒｎ，　已知数据　３，ｋ＝３．０７，Ｖ＝３６５，用Ｍａｔｌａｂ数学　＾＝４Ｒ＝ｌ２．２８　ｉｎｌｎ．　软件ｌ４】解得：　Ｒ＝３．３４８ｚ１．ｒ＝３．２２０７６．　器＝４　验证点（３．３４８４，３．２２０７６）是否是二元函数　３．２．４　问题（２）的模型的验证和误差分析．　Ｉ，（Ｒ，ｒ）取得极小值的驻点．　把Ｉ，（Ｒ，ｒ）分别对Ｒ，ｒ求二阶偏导数：　在圆柱体易拉罐模型中，以所用易拉罐材料　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　徐茂良，等：易拉罐形状和尺寸的最优设计模型　·１０７·　一　＝　＝　２（３／ａｒｒ３—２Ｖ）　Ｒ　枷警　１一３　　７一　２　（１＋　）一４　ｋｚｒｒＯｒ　』Ｌ　设　（Ｒ，ｒ）对Ｒ，ｒ的二阶偏导数以及混偏导　数分别为：Ａ，　，Ｃ，判断如下：　因为，混偏导墼　＝Ｂ＞０，　Ｂ　一ＡＣ＝（　）　一［４ｒｒ（１一喜）一　三查　］［２　（１＋　）４ｋｚｒｒ　］＞０Ｒ　ｐ，’　将　３，ｋ＝３．Ｏ７，Ｖ＝３６５，Ｒ＝３．３４８４，ｒ＝　３．２２０７６代人此式，可以判断二元函数　（Ｒ，ｒ）在　点（３．３４８４，３．２２０７６）取得极小值．　３．３．４对模型的验证．　模型是上部分为圆台，下部分为圆柱组成的　立体图形，还是以所用易拉罐材料的体积最小为　优化目标，用多元函数（这里是二元函数）的无条　件极值求解法，通过求一阶偏导数求得驻点，通过　求二阶偏导数来判断函数　（Ｒ，ｒ）的极值（这里是　极小值），得到惟一的满足基本条件的驻点（Ｒ，ｒ）　（３．３４８４，３．２２０７６）．　实际测量的数据：　测＝２９．９　ｒｔｌｌＴｌ，Ｒ测＝３３．０　验证方法：求得的ｒ，Ｒ相对于ｒ测，Ｒ测存在一　定误差，　Ｒ３．３４８４　０３９鲁：　－１．１ｏ４，　Ｉ　一　Ｉ　定义　：—　，那么，　二　ｒ测　——　二Ｉ　～　ｕ·０．　０５８８：一００．Ｖ％．％。　误差分析：　①产生６％的相对误差的主要原因是由于对　模型的简化造成的，实际测量的罐体上下表面都　不是完全平整的曲面，而是有凹凸的槽，但我们却　将它近似看成规则的圆台体和圆柱体，这是产生　该误差的一个主要因素．　②实际的易拉罐的顶盖到圆柱面部分的焊接　处是拐角圆周，而我们的模型假定它是定角，这个　假设使得用材的体积在计算上存在偏差．　３．４　问题（４）的分析与建模　３．４．１　问题（４）的分析　通过对易拉罐的实际测量，我们发现盖的厚　度是其他部分厚度的３倍左右，这说明了易拉罐盖　是相当耗材的，且不方便饮用．因此我们的饮料罐　应设计成与矿泉水瓶相似的形状，该形状的易拉　罐便于饮用，耗材又少．　３．４．２模型建立．　设易拉罐正圆柱部分的高度为　，表面积为　．ｓ　，体积为Ｖ１；圆台部分的高度为　，表面积为　．ｓ　，体积为　；罐底部分的表面积为．ｓ　，半径为Ｒ；　上盖部分表面积为．ｓ　，总的表面积为．ｓ总．正圆柱　部分的表面积．ｓ　为２：ｒＲｈ　；圆台的侧面积．ｓ　为　（Ｒ＋　）　２；底面的表面积Ｓ３为７ｒＲ　．　根据市场上的矿泉水瓶的口径为３　ａｍ，瓶盖　部分的表面积：　．ｓ　＝罢　．　总的表面：　．ｓ总　Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＋Ｓ４　２：ｒＲｈ１＋　（Ｒ＋３／２）ｚ＋７ｒＲ２＋　．　式中，ｚ为母线长，ｚ＝√（Ｒ一号）　＋　．　正圆柱部分的体积为：　Ｖ１＝７ｒＲ　ｈ１；　圆台部分的体积为：　＝了１（　＋　积＋罟　）　；　整个新易拉罐的体积为：　Ｖ＝　ｈ　＋ｌ（：ｒＲ　＋　＋罟　；　即：　凡　—Ｖ一｛（———积　＋导　＋罟　）—　———～　。　市场易拉罐的容积多为３６５　ｍＬ，由此我们新　设计的产品也以３６５　ｍＬ为标准，即　为定值时用　材最小，也即表面积最小．　维普资讯 http://www.cqvip.com

１０８·　成都大学学报（自然科学版）　第２７卷　ｍｉｎＳ总＝２　＋　（　＋　）ｚ＋　＋号　．　ＤＳ２积（　一　２　＋１）即，ｍｉｎｓ总＝２　１＋　（　＋　３）ｆ＋　８Ｖ＋　９　／￣４　＝０　一　ｚ：　，　１　：　９７ｃ＋　一号）一　１（积　＋　＋　９　）　ｈ１＝　一　Ｉ　４√１＋ｋ　＿－ｏ　３．４．３　模型求解．　将Ｖ＝３６５，代入（８）式，使用Ｍａｔｌａｂ软件解上　新设计的易拉罐的表面积：　述方程组得：Ｒ＝４．０５，ｋ＝１．Ｏ８；将Ｒ，ｋ的值代　入ｌ、ｈ１，得到：ｌ＝３．７７，ｈ１＝５．６６，ｈ２＝２．７７．　０　ｍｉｎＳａ＝２￣ｒＲｈ１＋　（Ｒ＋普）ｚ　＋　（５）　这５个数据就是在表面积最小的情况下得到　易拉罐圆台的高：　的最优解．　，’　ｈ２＝ｋ（Ｒ一　）　（６）　将ｚ、ｈ　及（６）式代入（５）式得：　参考文献：　Ｓ表：百表　——　—一＋　８Ｖ＋９／￣＋　（廊√　＋　‘一　＋１）一　１　一　２ｋ＋１）一　［１］陈纪修．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．　［２］工程数学教材编写组．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育　９１ｒ￣　＋ｋ２　（７）　出版社．２００３．　４　［３］王兵团．Ｍａｔｌａｂ与数学实验［Ｍ］．北京：中国铁道出版　对Ｓ表求关于Ｒ，ｋ的一阶偏导数并令其为零，　社，２ｏ０２．　Ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ　Ｄｅｓｉｇｎ　Ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　Ｐｕｌｌ　Ｃａｎ’Ｓ　Ｓｈａｐｅ　ａｎｄ　Ｓｉｚｅ　ＸＵ　Ｍａｏｌｉａｎｇ，ＤＥＮＧ　Ｑｉｌｉａｎｇ，ＬＩＵ　Ｒｕｉ，ＺＨＥＮＧ　Ｂｏ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ￣ｏｎｎａｆｉｎｅ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈ￣ｇｄｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１０１０６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｖａｌｕｅ　ｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄ￣ｍｂｌｙ　ｕｔｉｌｉｚｉｎｇ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｃｏｔ－　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｓｕｃｈ　ａｓ　Ｍａｔｌｂａ，Ｍａｔｈｔｙｐｅ　ａｎｄ　ｌｉｎｇｏ，ｗｅ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ａｎ　ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｃａｎ　ｓｈａｐｅ　ａｎｄ　ｓｉｚｅ　ｉｎ　ｐｕｌｌ　ｃａｎ’ｓ　ｄｅｓｉｇｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃａｎ　ｄｅｓｉｎｇ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ；ｌａｇｒａｎｇｅ　ｍｕｌｉｆｐｌｉｃａｔｏｒ　ｌａｗ　ｄｕａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｎｕｃｏｎｄｉｉｔｏｎａｌｌｙ　ｅｘ—　ｔｒｅｍｅ　ｖａ１Ｕｅ