中考培优竞赛专题经典讲义第24讲轨迹问题之圆弧轨迹

上一节讲的是直线轨迹问题，本章节将讲解轨迹为圆弧的情况。 模型讲解

动点P到定点o的距离为 d保持不变，则点P的轨迹 为以点O为圆心，d为半径的圆上

/ P保持不变，/ P所对的边长为d保 持不变，则/ P的顶点P的轨迹 为圆弧•（简称：定边定角）

【例题讲解】

例题1、在矩形ABCD中，已知AB = 2cm , BC= 3cm，现有一根长为 2cm的木棒EF紧贴着矩形的边 （即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周， 则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的 图形的面积为 ____________________ cm2.

【分析】我们发现在 EF的运动过程中，EF始终与矩形四个顶点组成一个直角三角形， 不变，所以根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可知斜边中线也不变

EF作为斜边

C

B F—” C

【解析】连接BP ••• BP=- EF = 1

•此时图中点P的运动轨迹为以点 B为圆心，1cm为半径的圆弧上 同理，•点P在各个角上均作弧线运动 •轨迹围成的图形为一个矩形减去四个四分之一圆 易求的围成面积为 6-n

例题2、在正方形ABCD中，AD = 2, E, F分别为边DC , CB上的点，且始终保持 DE = CF，连接 AE和DF交于点P,则线段CP的最小值为

D

.

D

E E

【解析】解：如图，在△ ADE和厶DCF中,

AD DC ADE DCF DE CF

•••△ ADE2A DCF ( SAS •••/ DAE = Z CDF

•••/ DAE + Z AED = 90°

•••/ CDF +Z AED = 90°,「./ DPE =Z APD = 90° ./ APD = 90°保持不变

•••点P的轨迹为以AD为直径的一段弧上

•••取AD中点Q,连接CQ,与该圆弧交点即为点 P,此时CP值最小在Rt△ CQD中，CQ= 5

•- CP = CQ — PQ = ■-/5 — 1

【巩固训练】

1、如图，在△ ABC中，AB = 3, AC = 2.当/B最大时，BC的长是

C

2•如图，一根木棒 AB的长为2m斜靠在与地面垂直的墙上，与地面的倾斜角/ 向下滑动至 A', AA'= 3

2 , B端沿地面向右滑动至点 B'.

ABO为60 °,当木棒沿墙壁

⑴木棒中点P运动的轨迹是—（填线段”或者圆弧”）. ⑵木棒中点从P随之运动至P'所经过的路径长为 ___________ .

B

第2题图

3、如图，0的半径为2,弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC丄AP交直线PB于点C,则△ABC的最 大面积是 ______________ .

A

第3题图

4、如图，在平行四边形 ABCD中，/ BCD=30 ° BC=4, CD = 3^3 , M是AD边的中点，N是AB边上的一 动点，将AAMN沿MN所在直线翻折得到 AAMN，连接A'C，则A'C长度的最小值是 __________ .

第4题图

5、如图，半径为2cm，圆心角为90。的扇形OAB的AB上有一运动的点 P从点P向半径OA引垂线PH交 OA于点H，设AOPH的内心为I，当点P在AB上从点A运动到点B 时，内心I所经过的路径长为 ________ .

6、如图，以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为OG上一动点,CF 丄AE于F,当点E从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所经过的路径长为 __________ .

7、如图，以正方形 ABCD的边BC为一边向内部做一等腰 ABCE , CE=CB，过E做EH丄BC,点P是ABEC 的内心，连接 AP，若AB=2，则AP的最小值为 ____________ .

A E

D

第7题图

8、如图，矩形 ABCD中，AB=2 , AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且 EF=2，点G为EF的中 点，点P为BC上一动点，贝U FA+PG的最小值为 ______________ .

第8题图

9、如图，矩形 OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7,3）,点E在边

AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接 EP,过点O作直线EP的垂线段，垂足为点 H，在点P 从点F （ 0,生）运动到原点 O的过程中，点 H的运动路径长为

4

10. _____________________________________ 如图，Rt△ABC中,AB丄BC,AB=6, BC=4, P是△ABC内部的一个动点，且满足 / FAB=Z PBC,则线段CP长的最小值为.

11. _________________________________ 在Rt△ABC中，/ C=90 ° AC=10, BC=12，点D为线段BC上一动点.以CD为O O直径，作 AD交O O 于点E,连BE，则BE的最小值为 .

A

B

12. 如图，在等腰Rt AABC中，/BAC=90 ° AB=AC,BC=4 2,点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的 圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为 _______ .

13.

各自终点时停止运动，运动过程中线段

是线段BC上的中点，则线段 PH的最小值为 ________ .

如图，等边三角形ABC中，AE、BF相交于点P,点H

AB=6，动点E从点B出发向点C运动，同时动点F从点C出发向点A运动， 点E、F运动的速度相同，当它们到达

第13题图

14•等腰直角 AABC中，/ C=90 °, AC=BC=4, D为线段 AC上一动点，连接 BD，过点C作CH丄BD于H , 连接AH，则AH的最小值为 _________ .

15. __________________________________________ 如图，△ABC> AEFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点 M,当 △EFG绕点D旋转时，则线段BM长的最大值是 .

A

第15题图

16、直线y=x+4分别与x轴、y轴相交与点 M、N,边长为2的正方形OABC —个顶点O,在坐标系的原点，直 线AN与MC相交与点P,若正方形绕着点 O旋转一周，则点P到点（0,2）长度的最小值是 ________________ .

参

1.【解答】解：以 A为圆心，AC为半径作OO,当BC为O O的切线时，即BC丄AC时，/ B最大, 此时BC卡:&:，=

匚 故答案是仃.

2. 解：(1)圆弧.

1 ⑵12

3. 答案：3

4. 答案： 5 5. 答案： 2 2

6. 答案： 3 3 7. 答案：

10

8. 答案： 4 9. 答案：

5 2 4 10. 答案：

5 2 4 11. 答案： 2 12. 答案：

8 13. 答案： 5 2 14. 答案：

21 15.

答案： 2 5 16.答案：3 1 17.

cm

2

2 2 3

2

答案：2 2 2