2010年考研数学一真题及答案

20XX年考研数学一真题

一、选择题（ 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 ） (1) 极限

(A)1

(B)

(C)

(D)

【考点】 C。

【解析】 【方法一】 这是一个“

”型极限

【方法二】 原式 而

(等价无穷小代换 )

则

【方法三】 对于“ 若

”型极限可利用基本结论：

,

,且

则

,求极限

由于

则

【方法四】

综上所述，本题正确答案是 C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷

小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限

(2) 设函数

由方程

确定，其中 为可微函数，且

,则

。

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】 B。 【解析】

因为

,

所以

综上所述，本题正确答案是 (B)。

【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微

分

(3) 设 为正整数，则反常积分 的收敛性

(A)仅与 的取值有关 (C)与

的取值都有关

(B)仅与 的取值有关 (D)与

的取值都无关

【答案】 D。

【解析】

本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在

和

时无界

在反常积分

中，被积函数只在

，

时无界。

由于

已知反常积分

收敛，则

中，被积函数只在

也收敛。

在反常积分

时无界，由于

(洛必达法则 )

且反常积分

收敛，所以

取任何正整数，反常积分

收敛

收敛。

综上所述，无论

综上所述，本题正确答案是 D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分

(4)

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】 D。 【解析】

因为

综上所述，本题正确答案是 C。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概

念、性质、计算和应用

矩阵， 为

,则

(A)秩

(5) 设 为

矩阵， 为 阶单位矩阵，若

秩

(B)秩

秩

(C)秩

秩

(D)秩

秩

【答案】 A。

【解析】

因为 为 阶单位矩阵，知

又因

,故

另一方面， 为

矩阵， 为

可得秩

秩

综上所述，本题正确答案是 A。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩

矩阵，又有

(6) 设 为 4 阶实对称矩阵，且

，若 的秩为 3，则 相似于

(A) (B)

(C)

(D)

【答案】 D。

【解析】

由

知

，那么对于 推出来

所以 的特征值只能是

、

再由 是实对称矩阵必有

，而 是 的特征值，那么由

,

可知 D正确

综上所述，本题正确答案是 D。

【考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵

(7) 设随机变量 的分布函数

,则

(A)0

(B)

(C)

(D)

【答案】 C。 【解析】

综上所述，本题正确答案是 C。

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布

函数的概念及其性质

(8)

设 为标准正太分布的概率密度，概率密度，若

为 上均匀分布得

为概率密度，则 (A) (C)

【答案】 A。 【解析】

应满足

(B) (D)

根据密度函数的性质

为标准正态分布的概率密度，其对称中心在

处，故

为

上均匀分布的概率密度函数，即

，

，其他

所以

,可得

综上所述，本题正确答案是 A。

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变

量的概率密度，常见随机变量的分布

二、填空题（ 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）

(9) 设

，则

。

【答案】 。

【解析】

【方法一】

则

，

【方法二】

由参数方程求导公式知，

代入上式可得

。

【方法三】

由

得， ，则

当

时 ，则

综上所述，本题正确答案是 。

【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(10)

【答案】 【解析】

。

。

令 ,则

综上所述，本题正确答案是

。

【考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法

(11) 已知曲线 的方程为

起点是

，则曲线积分

。

【答案】 。

【解析】

如图所示

,其中

,

所以

综上所述，本题正确答案是 。

-1 O 1

终点是

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性

质及计算

(12) 设

【答案】 。 【解析】

，则 的形心坐标 。

综上所述，本题正确答案是 。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的

概念、性质、计算和应用

(13) 设

，若由

生成的向量空间的维数为

，则 。

【答案】 6。

【解析】

生成的向量空间的维数为

，所以可知，

所以可得

综上所述，本题正确答案是 。

【考点】线性代数—向量—向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩

之间的关系，向量空间及其相关概念

(14) 设随机变量 的概率分布为

。

,则

【答案】 。

【解析】

泊松分布的概率分布为

,

随机变量 的概率分布为

对比可以看出

所以

而

综上所述，本题正确答案是 。

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量

的分布；

概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望

(均值 )、方差、标准差及其性质

三、解答题：

小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤。

(15) 求微分方程 的通解

【解析】

由齐次微分方程

的特征方程

，

所以，齐次微分方程

的通解为

设微分方程

的特解为

则

代入原方程，解得

故特解为

所以原方程的通解为

【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

(16) 求函数

【解析】 函数

的定义域为

，

的单调区间与极值

令

，得

,列表如下

极小

极大

极小

由上可知，

的单调增区间为

和 ；

的单调减

区间为

和 ,

极小值为

极大值为

【考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，函数单调性的判别 函数的极值

高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，积分上限的函数及其导数

(17)

(I) 比较 与

的大小，说明理由；

(II) 记

,求极限

。

【解析】

(I) 当

时，因 所以有

(II) 【方法一】由上可知，

所以

由夹逼定理可得

【方法二】

由于

为单增函数，则当 又

，由夹逼定理知

【方法三】

已知

因为 时，,且,所以

在 ,从而有

上连续，则

在

上有界，从而存在 使得

则

由

及夹逼定理知

【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限存在的两个准则：

单调有界准则和夹逼准则

高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质

(18) 求幂级数

【解析】

的收敛域及和函数。

即

时，原幂级数绝对收敛

时，级数为

，由莱布尼茨判别法显然收敛，故

。

原幂级数的收敛域为

又

令

则

所以

由于

，所以

所以

所以幂级数的收敛域为

，和函数为 。

【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间 (指开区间 )和收敛域，幂级数的和函数， 简单幂级数的和函数的求

法，初等函数的幂级数展开式

(19) 设 为椭球面

上的动点，若

在点 处的

切线平面与

面垂直，求点

,其中

的轨迹 ,并计算曲面积分

是椭圆球面 位于曲线 上方的部

分。

【解析】

求轨迹

令

,故动点

的切平面的

法向量为

由切平面垂直

面，得

又已知 为椭球面

上的动点，所以

为 的轨迹

再计算曲面积分

因为曲线 在

面的投影为

又对方程

两边分别对 求导可得

解之得

于是

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算

(20) 设

.已知线性方程组

存在不同的解

(I)求 ；

(II) 求方程组 的通解。

【解析】

(I) 因为已知线性方程组 存在 2 个不同的解，所以

故

知

当

时，

,

显然

，此时方程组无解，

舍去，

当

时，

因为 有解，所以

2 个

即，

，

(II)

，

时，已知

所以

的通解为

其中 为任意常数。

【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组有解的充分

必要条件，非齐次线性方程组的通解

(21) 已知二次型

在正交变换 下的标准形

为

,且 的第三列为

(I) 求矩阵 ； (II) 证明 【解析】

为正定矩阵，其中

为 3 阶单位矩阵。

(I) 二次型 在正交变换

。

下的标准形为

，可知二次型矩阵 的特征值是

又因为 的第三列为

，可知 是矩阵 在特

征值

的特征向量。

关于

根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设

的特征向量为

，

则 ,即

取

(II) 由于矩阵 的特征值是

的特征值全大于 ，所以

,那么

正定。

的特征值为

，因为

【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示， 二次型的秩，

二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的正定性

(22) 设二维随机变量 的概率密度为

求常数 及条件概率密度 【解析】

。

又

即

当 ,等价于

时，

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—二维连续

型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常用二维随

机变量的分布

(23) 设总体 的概率分布为

其中参数

未知，以 表示来自总体 的简单随机样本 （样

本容量为 ）中等于 的个数

为 的无偏估计量，并求

,试求常数

的方差。

使

【解析】

记

,则

故

要令

为 的无偏估计量，则有

可得

，

,此时

为 的无偏估计量

此时，

,由于 故

因为

， ，所以

【考点】概率论与数理统计—参数估计—估计量的评选标准，区间估计的概念，单个正态总体的均值和方差的区间估计