奶制品的生产与销售模型

奶制品的生产与销售模型

奶制品的生产与销售模型

摘 要

随着社会的发展，人们的生活水平逐渐提高，对奶制品的要求也不断提高，因此，企业生产越来越注重对人们需求的供给，合理分配资源，获取最大利润。

根据本题的基本信息，提出奶制品的生产与销售模型，这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2（也可以时每天生产多少公斤A1，多少公斤A2）,但存在着几个问题的制约，采用最小二乘的模型求解方法，按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到模型最优解，解决实际问题，使资源分配合理，并利用效益最大化。 关键字：生产要求 最优解 最小二乘法

一 问题重述

问题一 一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个

附加问题：

1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资若投资，每天最多购买多少桶牛奶

2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元

3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划

问题二 为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元。试为该厂制订一个生产销售计划，是每天的净利润最大，并讨论以下问题：

1）若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否作这些投资若每天投资150元，可赚回多少

2）每公斤高级奶制品B1，B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响若每公斤B1的获利下降10%，计划应该变化吗

二 问题分析

问题一 这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生

产A2（也可以时每天生产多少公斤A1，多少公斤A2），决策受到3个条件的：原料（牛奶）供应、劳动时间、甲类设备的加工能力。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。

问题二 要求制订生产销售计划，决策变量可以像例1那样，取作每天用多少桶牛奶生产A1、A2，再添上用多少公斤A1加工B1，用多少斤A2加工B2，但是由于问题要分析B1、B2的获利对生产销售计划的影响，所以决策变量取作A1，A2，B1，B2每天的销售量更方便。目标函数是工厂每天的净利润————A1、A2、B1、B2的获利之和扣除深加工费用。约束条件基本不变，只是要添上A1，A2深加工时间的约束。再与例1类似的假定下用线性规划模型解决这个问题。

三 基本假设

1. A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与他们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；

2. A1,A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与他们相互间产量无关的常数；

3. 加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意实数。

四 模型的变量与符号说明

问题一

符号 X1 X2 z 符号说明 每天用来生产A1的牛奶桶数 每天用来生产A2的牛奶桶数 每天的获利 问题二

符号 X1 X2 X3 X4 X5 X6 z

五 模型的建立与求解

模型的建立与求解

问题一 由上述问题分析可建立加工奶制品的生产计划的模型并进行求解：

符号说明 每天销售A1的公斤数 每天销售A2的公斤数 每天销售B1的公斤数 每天销售B2的公斤数 每天用 A1加工B1的A1公斤数 每天用 A2加工B2的A2公斤数 每天的净利润 设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2；每天获利为z元.x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1，x2桶牛奶可生产4x2公斤A2，获利16*4x2，z=72x1+x2；

我们的目标是求出当x1,x2满足下列约束条件时z的最大值，及相应的x1,x2的取值。约束条件为：

1.原料供应：生产A1，A2的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2<=480小时；

2.劳动时间：生产A1，A2的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即x1+x2<=50桶；

3.设备能力：A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3x<=100；

4.非负约束：x1，x2均不能为负值，即x1>=0，x2>=0. 由此得基本模型：

Max z=72x1+x2

S．t．x1+x2<=50 12x1+8x2<=480 3x1<=100 x1>=0,x2>=0.

用LINDO软件求解，可得到如下输出：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4)

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 3

4 INFINITY

上面结果的第3,5,6行明确地告诉我们，这个现行规划的最优解为x1=20,x2=30,最优值为z=3360,即用20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。

问题二 由上述问题分析可建立奶制品生产销售计划的模型并进行求解：

设每天销售x1公斤A1，x2公斤A2，x3公斤B1，x4公斤B2，用x5公斤

A1加工B1，x6公斤A2加工B2。设：

z24x116x244x332x43x53x6

其中z表示的是每天净利润，我们的目标是求出当x1,x2,x3,x4,x5,x6满足下列约束条件时z的最大值，及相应的x1,x2,x3,x4,x5,x6的取值。约束条件为：

1． 原料供应：A1每天生产x1+x5公斤，用牛奶（x1+x5）/3桶，

A2每天生产x2+x6公斤，用牛奶（x2+x6）/4桶，二者之和不得超过每天的供应量50桶；即x1x5xx6250 342． 劳动时间：每天生产A1，A2的时间分别为4（x1+x5）和2

（x2+x6），加工B1，B2的时间分别为2x5和2x6，二者之和不得超过总的劳动时间

4(x1x5)2(x2x6)2x52x6480

480小时；即

3． 设备能力：A1的产量x1+x5不得超过甲类设备每天的加工

能力100公斤；即x1x5100

0

x． 非负约束：x1,x2,……,x6均为非负.即x1,x2,x3,x4,x5.5． 附加约束：1公斤A1加工成公斤B1，故x3=,类似地x4=.

即x30.8x5,x40.75x6

由此得基本模型：

Max z. x124x116x244x332x43x53x6

x5xx6250 34x5)2(x2x6)2x52x6480

4(x1 x1 x3x5100 0.8x5,x40.75x6

0

x6 x1,x2,x3,x4,x5.用LINDO软件求解，可得到如下输出：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2 X3 X4 X5 X6

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) 5) 6)

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 INFINITY X2 X3

X4 INFINITY X5

X6 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 3

4 INFINITY 5 INFINITY 6 INFINITY

最优解为x1=0,x2=168,x3=,x4=0,x5=24,x6=0，最优值为z=.即每天生产销售168公斤A2和公斤B1（不出售A1，B2），可获净利润元.为此，需用8桶牛奶加工成A1,42桶加工成A2，并将得到的24公斤A1全部加工成B1.

模型检验

根据多项式的曲线拟合原理，其本身就体现了最小二乘法，在拟合多项式最高次数的选择上，我们更是多次试验，择优而选择，使其更加逼近以前的数据，所以说，从最小二乘法原理方面检验，它的误差是在ɑ=之内的，模型可行。

六 模型评价与推广

本模型的优点:1.本模型的优点:

1.在进行奶制品的生产与销售模型中，采用最小二乘的方法在奶制品生产问题上，合理建立模型，保证了模型的准确性和正确性。

2.在数据处理上，采用简单的数据处理，解决了实际的奶制品的生产与销售模型。

3.在此题求解过程中，假设多个变量，考虑到多个因素的存在，运用了多种可能的模型，，使得问题的求解的合理性大为提高。

不足点: 本模型采用多项式进行曲线拟合,但并没有论证它的优越性,而且也有可能出现多种最优解，也没有考虑是否有更好的拟合函数

模型推广：企业内部的生产计划有各种不同的情况。从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生

产作业计划。从时间层次看，

若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。

这个模型可以推广到诸多经济领域。经济市场中，各种经济指数在短时间内多呈现出波动性，然而在整个宏观时间区域上，却可以认为这些经济指数是按照一定规律变化的。所以，我们可以采用同样的方法，对各种经济指数进行宏观的分析。首先将影响数据的因数进行分类，然后逐渐对各个因素进行分析，采用最小二乘法拟合找出其随时间变化的函数关系，接着，对所需要预测的问题进行综合的预测，进而求解经济市场中的该类问题。

七 参考文献

[1]姜启源等，数学模型，第三版，高等教育出版社

[2]刘卫国等，Matlab程序设计与应用（第二版），北京：高等教育出版社

附录一

用LINDO软件求解问题一：加工奶制品的生产计划的程序如下

max 72x1+x2 st

2)x1+x2<50

3)12x1+8x2<480 4)3x1<100 end

附录二

用LINDO软件求解问题二：奶制品的生产销售计划的程序如下max 24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6 st

4x1+3x2+4x5+3x6<=600 4x1+2x2+6x5+4x6<=480 x1+x5<=100 =0 =0 end