精品解析：辽宁省本溪市2021年中考数学真题(解析版)

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.－5的相反数是(A.

)B.1515C.5D.-5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定答即可.【详解】-5的相反数是5故选C【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键.2.下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答．【详解】选项A，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；选项B，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；选项C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；选项D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解决问题的关键．3.下列运算正确的是（A.x2x2x2C.x6x3x2【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则逐一计算即可得答案．【详解】选项A，根据同底数幂乘法法则可得x2xx3，选项A错误；选项B，根据积的乘方的运算法则可得(xy3)2x2y6，选项B正确；选项C，根据同底数幂的的除法法则可得x6x3x3，选项C错误；选项D，x2与x不是同类项，不能合并，选项D错误．故选B．【点睛】本题考查了同底数幂乘法法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则及合并同类项法则，熟练运用法则是解决问题的关键．4.如图，该几何体的左视图是（））B.(xy3)2x2y6D.x2xx3

A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】画出从左面看到的图形即可．【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：，故选：D．【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．则这5种疫苗有效率的中位数是（5.如表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，疫苗名称有效率克尔来福79%阿斯利康76%莫德纳95%辉瑞95%卫星V92%）A.79%【答案】B【解析】B.92%C.95%D.76%【分析】根据中位数的定义，对5种新冠疫苗的有效率从小到大（或从大到小）进行排序，取中间（第三个）的有效率即可．【详解】解：根据中位数的定义，将5种新冠疫苗的有效率从小到大进行排序，如下：76%，79%，92%，95%，95%数据个数为5，奇数个，处于中间的数为第三个数，为92%故答案为B．【点睛】此题考查了中位数的定义，求中位数之前不要忘记对原数据进行排序是解决本题的关键．6.反比例函数yA.第一象限【答案】A【解析】k

的图象分别位于第二、四象限，则直线ykxk不经过的象限是（xB.第二象限C.第三象限D.第四象限）【分析】先根据反比例函数y=结论．【详解】解：∵反比例函数y=∴k＜0，k

的图象在第二、四象限内判断出k的符号，再由一次函数的性质即可得出xk

的图象在第二、四象限内，x∴一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数y=的两支分别位于第二、第四象限．7.如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这5天最低气温波动情况是（）k

中，当k＜0，双曲线xA本溪波动大.

B.辽阳波动大D.无法比较C.本溪、辽阳波动一样【答案】C【解析】【分析】分别计算两组数据的方差，比较，即可判断．【详解】解：辽阳的平均数为：1614131313

13.8，51

 [(1613.8)2(1413.8)231313.8)21.36，51513121212

12.8，本溪的平均数为：512221.36，方差为：S2 [(1512.8)(1312.8)31212.8)5方差为：S1

∴S1S2，∴本溪、辽阳波动一样，故选：C．【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．8.一副三角板如图所示摆放，若180，则2的度数是（）A.80°【答案】B【解析】B.95°C.100°D.110°【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．在ABC中，ABBC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的9.如图，中点，连接EF，若BEAC2，则△CEF的周长为（）A.31

B.53

C.51

D.4【答案】C【解析】【分析】根据作图可知BD平分ABC，ABBC，由三线合一，解Rt△BEC，即可求得．【详解】BD平分ABC,ABBC,BEAC2

BEAC,AEEC

BCBE2EC2点F为BC的中点1

AC12

22125EF1BCFC522△CEF的周长为:CEEFFC1

故选C．555122

【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出BC边是解题的关键．10.如图，在矩形ABCD中，BC1，ADB60，动点P沿折线ADDB运动到点B，同时动点Q沿折线DBBC运动到点C，点P,Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】DQ2t，【分析】结合运动状态分段讨论：当点P在AD上，点Q在BD上时，过点P作PEBD，APt，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式；当点P在BD上，点Q在BC上时，BP22t142t，BQt1，过点P作PFBC，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式，利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】解：当点P在AD上，点Q在BD上时，APt，DQ2t，则PD1t，过点P作PEBD，∵ADB60，∴AD1PE3cos60，，sin60BD2PD2∴PE

31t，BD2，2，∴BQ22t，∴△PBQ的面积S

1323BQPEt3t0t1，为开口向上的二次函数；222当t1时，点P与点D重合，点Q与点B重合，此时△PBQ的面积S0；当点P在BD上，点Q在BC上时，BP22t142t，BQt1，过点P作PFBC，则PF33，即PFsin60BP233t，PB22∴△PBQ的面积S故选：D．132

BQPFt3t2，为开口向下的二次函数；22【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是解题的关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.若2x在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________．【答案】x≤2【解析】【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．【详解】解：依题意得2-x≥0解得x≤2．故答案为：x≤2．【点睛】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12.分解因式：2x24x2________．【答案】2x1【解析】【分析】先提公因式2，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：2x4x22x2x12x1，2

2

2

2

故答案为：2x1．【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．13.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着7，1，0，3，2，从中随机抽取一张，则抽出卡片上写的数是3的概率为________．【答案】【解析】【分析】利用概率公式即可求解．【详解】解：抽出卡片上写的数是3的概率为故答案为：2

151．51，5【点睛】本题考查简单事件求概率，掌握概率公式是解题的关键．14.若关于x的一元二次方程3x22xk0有两个相等的实数根，则k的值为________．【答案】．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程3x22xk0有两个相等的实数根，得出关于k的方程，求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程3x22xk0有两个相等的实数根，∴△=243k=4+12k=0，解得k=．故答案为：．2

13

1313【点睛】本题考查了运用一元二次方程根的判别式，当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根．培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在15.为了弘扬我国书法艺术，购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________．【答案】【解析】【分析】设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，300240

x10x

300240

，x10x300240

故答案为：x10x

依题意得：【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．16.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tanADC=________．【答案】【解析】32【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得ABCADC，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：∵ABCADC，∴tanADC=tanABC=故答案为：3．23，2

【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．17.如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A(2,0)，B(0,1)，反比例函数yC，则k的值为________．k(x0)的图象经过点x【答案】【解析】94

【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作CF⊥x轴于点F，求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论．【详解】解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，∵C为半圆的中点，∴CP⊥AB，即∠ADP=90°又∠AOB=90°∴∠APD=∠ABO∵A（2，0），B（0，1）∴AO=2，OB=1∴AB∴AD

AO2BO21222515AB22PDOB1

ADOA2

又tanA∴PD

1155AD222455354255255

)()2424∴PCPDCD

∴APPD2AD2(∴OPAOAP2

5344CFAO2PCAB5过点C作CF⊥x轴于点F，∴sinAPDsinABO∴CFPC25

3523452

352323

)()424

∴PFPC2CF2(33344233∴点C的坐标为（，）22∴OFOPPF∵点C在反比例函数yk(x0)的图象上x339，224

9

故答案为：4

∴k

【点睛】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点C坐标是关键．将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF18.如图，交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG=S△CBES四边形CDQH；③EC平分BEG；④EG2﹣CH2＝GQGD，正确的是________（填序号即可）．【答案】①③④．【解析】【分析】①用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC＋S四边形CDQH；③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE,∠MCG=∠DCG，则∠ECG=∠ECM+∠GCM=1

∠BCD，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，2利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2，由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，通过△CMH≌△CDH，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ·GD，从而说明④成立．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°由折叠可知:∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90∴∠BEP+∠AEG=90°，∵∠A=90°∴∠AEG+∠AGE=90°，∴∠BEP=∠AGE，∵∠FGQ=∠AGE，∴∠BEP=∠FGQ，∵∠B=∠F=90，∴△PBE~△QFG，故①说法正确，符合题意；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得:∠GEC=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠DCE，∠BEC=∠GEC，在△BEC和△MEC中，∵∠B=∠EMC=90°，∠BEC=∠GEC，∴△BEC≌△MEC(AAS)∴CB=CM，S△BEC=S△MBC，∵CG=CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)，∴S△CMG=S△CDG，∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC+S四边形CDQH∴②说法不正确，不符合题意；③由折叠可得:∠GEC=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠DCE，∴∠BEC=∠GEC，即EC平分∠BEG∴③说法正确，符合题意；④连接DH，MH，HE，如图：∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，CE=CE∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=∵EC⊥HP，∴∠CHP=45°，∴GHQ=∠CHP=45°，由折叠可得:∠EHP=∠CHP=45°，∴EH⊥CG∴EG2-EH2=GH2由折叠可知:EH=CH∴EG2-CH2=GH2，∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC=∠EHC=90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC=∠HEC=45°，在△CMH和△CDH中，∵CM=CD，∠MCG=∠DCG，CH=CH∴△CMH≌△CDH(SAS)∴∠CDH=∠CMH=45°，∵∠CDA=90°，∴∠GDH=45°∵∠GHQ=∠CHP=45°，∴∠GHQ=∠GDH=45°，∵∠HGQ=∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴1

∠BCD=45°，2GQGH

，GHGD∴GH2=GQ·GD∴GE2-CH2=GQ·GD故④说法正确，符合题意；综上可得，正确的结论有:①③④故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、三角形的相似的判定与性质．翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19.先化简，再求值：6a2a3

1，其中a2sin303．a29a3

【答案】【解析】2

，2a3

【分析】先把分式化简后，再求出a的值代入求出分式的值即可．【详解】6a2a3

1a29a3

=6aa32a32a9a3a36aa3=（a3)(a3)3a=2a3

a2sin303123

24

当a4时，原式=

2

=2．43

【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键．20.为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生共有________名；（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把条形统计图补充完整；（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．【答案】（1）60；（2）90°，补全条形统计图见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A项目的有9人，占15%，即可求出总人数；（2）作差求出B项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；（3）列出表格，利用概率公式即可求解．（1）915%60；【详解】解：（2）B项目的总人数为609241215人，∴“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为补全条形统计图如下：1

6

1536090，60；（3）列出表格如下：小华小光小艳小萍小华小华，小光小华，小艳小华，小萍小光小华，小光小光，小艳小光，小萍小艳小华，小艳小光，小艳小萍，小艳小萍小华，小萍小光，小萍小萍，小艳共有12种情况，其中恰好小华和小艳的有2种，∴P(恰好小华和小艳)1．6【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？【答案】（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本．【解析】【分析】（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册40a本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x元，每本图片纪念册y元，x4y135根据题意可得：，5x2y225

解得

x35，y25

答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）设购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册40a本，根据题意可得：35a2540a1100，解得a10，∴最多能购买手绘纪念册10本．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．某地为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无22.如图，人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8ms的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，31.73）【答案】（1）无人机的高度AC=603m；（2）AB的长度为382m．【解析】【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函数即可求解；（2）先证明四边形ABFC为矩形，在Rt△BFE中，求得EF138m，即可求解．【详解】（1）根据题意得：CD=815120(m)，在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，∴tan60

AC

，CD∴AC=120

3603(m)，2答：无人机的高度AC=603m；（2）根据题意得：DE=850400(m)，则CE=DE+CD=520(m)，过点B作BF⊥CE于点F，则四边形ABFC为矩形，∴AB=FC，BF=AC=603m，在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，∴tan37

BF

0.75，EF

∴EF=603=138.4138(m)，0.75

∴AB=FC=CE-EF=520-138=382(m)，答：AB的长度为382m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．五、解答题（满分12分）

23.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【解析】【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．【详解】（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；（2）由题意可得，（-2x+220）（x-40）=2400，解得，x170，x280，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得w=（-2x+220）（x-40）=2x2300x8800，当xb75时，w有最大值，最大值为2450，2a∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．六、解答题（满分12分）

24.如图，在RtABC中，ACB=90，延长CA到点D，以AD为直径作O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF=EF．（1）求证：EF是O的切线；（2）若OC=9，AC=4，AE=8，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】65

6【分析】（1）连接OE，通过倒角得到BEFOEABBAC90，即可得证；（2）连接DE、OF，通过证明△ADE∽△ABC求出AB的长度，在RtOCF和Rt△OEF中应用勾股定理，得出方程，即可求解．【详解】解：（1）连接OE，∵OEOA，∴OEAOAEBAC，∵BFEF，∴BEFB，∴BEFOEABBAC90，即OEEF，∴EF是O的切线；（2）连接DE、OF，∵OC=9，AC=4，∴O的半径为5，∴AD10∵AD为直径，∴DEA90，∴DEAACB，∵DAEBAC，∴△ADE∽△ABC，∴AEDEAD，ACBCAB∵AC=4，AE=8，∴AD

2，AB

∵AD10，∴AB5，∴BC

AB2AC23，设BF的长为x，则EFBFx，CFx3，在RtOCF中，OF2OC2CF2x381，在Rt△OEF中，OF2OE2EF2x225，∴x381x225，解得x

2265．6【点睛】本题考查切线的判定、相似三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理、并作出合适的辅助线是解题的关键．七、解答题（满分12分）

25.在▱ABCD中，ÐBAD=，DE平分ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转得线段EP．（1）如图1，当=120时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当=90时，过点B作BFEP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当=120时，连接AP，若BE=

12

1

AB，请直接写出VAPE与CDG面积的比值．2【答案】（1）APAC；（2）AF【解析】2

13

(AD2AB2),理由见解析；（3）42

【分析】（1）延长PE，交CD于点Q，根据已知条件证明△APE≌△ACQ即可；（2）连接FC，过F作FMBC交CB的延长线于点M，由△AFE≌△CBF，得AFFC，在RtFMC由三边关系利用勾股定理可得；（3）证明△AEG∽△CDG，得EG

值，VAPE与CDG的面积分别与△AEG的面积成比例，可得GDVAPE与CDG面积的比值．【详解】（1）如图,延长PE，交CD于点Q，由题意，将线段EB绕点E顺时针旋转，1

2

BEP60=120B60EQ//BC

四边形ABCD是平行四边形AD//BCEQ//AD

四边形AEQD是平行四边形DE平分ADCADECDE

QAB//CD

AEDEDC

ADEAEDAEAD

四边形AEQD是菱形AEEQ

AEDBEP60

△AEQ是等边三角形AEAQ,AQE60AB//CD

CQEAEQ60

AQCAQEEQC120,AEP120

EQ//AD，AD//BC，BE//CQ四边形BCQE是平行四边形CQBE

PE=BEPECQ在VAPE和ACQ中AEAQAEPAQCPECQ△APE≌△ACQ

APAC．（2）连接FC，过F作FMBC交CB的延长线于点M

=90

四边形ABCD是矩形，FEB45BFEP

FBE45，FBFE，FBCFBEABC135，FEA180BEF135

DE平分ADC

ADE

1

ADC452

AEDPEB45

AEAD

四边形ABCD是矩形ADBC

AEBC在△AFE和CFB中AEBCAEFCBFEFBF△AFE≌△CBF

AFFC

设ADa,ABb,AFc则BEABAEABADba

FMBCFBM45

MFMBsinFBMFB

2BE2

2FB2

BFsinFEBEBMFMB在RtFMC中11BE(ba)22FC2FM2MC2即c(2ba2ba)(a)2222整理得：c=12(ab2)2AF2

（3）如图1

(AD2AB2)．2由（1）可知△APE≌△ACQ

BE=

1AB2

PEBEAEDE平分ADC

ADECDE

QAB//CD

AEDEDC

ADEAEDAEAD

PEAD

四边形APED是平行四边形S△APES△ADEAE//CD

△AEG∽△CDG

EGAE

GDCD

11ABCD22AEBEAE1

=CD2EG1

GD2





S△ADE3S△AEGS△CGD4S△AGES△APE:S△CDG3:4．【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，三角形全等的性质与判定，三角形相似，勾股定理，锐角三角函数，相似比的概念，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，知识点比较多，熟练掌握以上知识点是解题的关键．八、解答题（满分14分）

抛物线y26.如图，32

xbxc与x轴交于点A和点C(1,0)，与y轴交于点B(0,3)，连接AB，BC，4

点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PDx轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PFPD于点P，使PF=

1

OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的2

面积是BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．【答案】（1）y【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出直线AB的解析式，表示出P，E的坐标，故可表示出PE的长，再根据矩形PEGF是BOC面积的3倍，得到方程，故可求解；（3）当∠ABQ为直角时，求出直线BQ的解析式，得到n的值，当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出此时n的值，同理求出当∠BAQ为直角时n的值，故可求解．932910326326xx3（2）（1，）或（3，3）；（3）-＜n＜或＜n＜5．443222

3

bc0

B(0,3)C(1,0)【详解】（1）把，代入解析式得4

c39

b解得4c3

∴抛物线的解析式为y（2）对于y解得x=4或-1329

xx3，令y=044

329

xx344

∴A（4,0），则PF=

1

OA=22设直线AB的解析式为y=px+q3

04pqp

把A（4，0），B(0,3)代入得，解得4q3q3

3∴直线AB的解析式为yx34设P（x，

3329

xx3），则E（x，x3）444∴矩形PEGF的面积=PFPE2解得x=1或3∴P点坐标为（1，（3）由y

329133

xx3x3=3SBOC3BOCO31

422449

）或（3，3）；23329b3

xx3可得其对称轴为x=，设Q点坐标为（，n）442a22①当∠ABQ为直角时，如图2-1设BQ交x轴于点H，在Rt△ABO中，tan∠ABO=AO4

，BO3

∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠BHO=90°∴∠BHO=∠ABO∴tan∠BHO=tan∠ABO=43可设直线BQ的解析式为y=∴直线BQ的解析式为y=4x+334x+t，代入B(0,3)可得t=33当x=34时，y=x+3=523故n=5；②当∠BQA为直角时，如图2-2，过点Q作直线MN∥y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN+∠MQA=90°，∠MQA+∠MAQ=90°，∴∠BQN=∠MAQ∴tan∠BQN=tan∠MAQ即BNMQn3，则3NQMA23262

4n32解得n=③当∠BAQ为直角时，同理可设直线AQ的解析式为y=代入A（4，0）得h=-416x-33341610当x=时，y=x-=-323310故n=-；3

∴直线AQ的解析式为y=综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为-1634x+h310326326＜n＜或＜n＜5．322

【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、矩形的特点及面积公式、解直角三角形的方法及数形结合的特点．