化州市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

化州市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知命题p：2≤2，命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A．￢p B．￢p∨q

C．p∧q D．p∨q

，b=

，B=60°，那么角C等于（ ）

2． 已知在△ABC中，a=

A．135° B．90° C．45° D．75° 3． 若方程C：x2+

=1（a是常数）则下列结论正确的是（ ）

B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线

A．∀a∈R+，方程C表示椭圆

C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆 D．∃a∈R，方程C表示抛物线 4． 在△ABC中，若A=2B，则a等于（ ） A．2bsinA A．C．

B．2bcosA

C．2bsinB

D．2bcosB p为（ ）

5． 设命题p：

B． D．

，则

6． 已知集合A{1i,(1i2311),i,i}（其中为虚数单位），B{xx21}，则AB（ ） 1i2222} D．{} 22A．{1} B．{1} C．{1,7． 设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2D．24πa2

8． 已知函数f（x）=m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，则实数m的范围是（ ） A．（﹣∞，]

B．（﹣∞，） C．（﹣∞，0]

D．（﹣∞，0）

9． 若关于x的不等式|x1||x2|m70的解集为R，则参数m的取值范围为（ ） A．(4,) B．[4,) C．(,4) D．(,4]

【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度. 10．双曲线A．

的渐近线方程是（ ） B．

C．

D．

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精选高中模拟试卷

11．若偶函数f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f（﹣1）＜f（lg x）的解集是（ ） A．（0，10）

B．（

，10）

C．（

，+∞）

）

D．（0，

|x﹣2|

）∪（10，+∞） ）

|x﹣2|

，则关于

12．已知α，β为锐角△ABC的两个内角，x∈R，f（x）=（式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（ ） A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（，2）

+（

x的不等

C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） D．（﹣，2）

二、填空题

13．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5

，CD=5，BD=2AD，则AD的长为 ．

14．等比数列{an}的前n项和Sn＝k1＋k2·2n（k1，k2为常数），且a2，a3，a4－2成等差数列，则an＝________． 15．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为_____ .

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题. 16．函数f（x）=x2ex在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为 ．

17．已知正整数m的3次幂有如下分解规律：

131；2335；337911；4313151719；…

若m(mN)的分解中最小的数为91，则m的值为 . 3【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.

18．若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围为 ．

三、解答题

19．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；

（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表： 18 19 20 21 22 周需求量n 频数 1 2 3 3 1 X表示当周的利润以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，（单位：元），求X的分布列及数学期望．

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20．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为

（1）求|MF|+|NF|的值；

，

（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．

21．已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为0），设点A（1，）． （1）求该椭圆的标准方程；

，右顶点为D（2，

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；

（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．

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22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为方程为r=2 ìïx=2+tcosa（[0,]），直线l的参数方程为í（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的直角坐标和曲线C

的参数方程；

（II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

23．已知向量=（x，

y），=（1，0），且（+

）•（﹣

）=0．

（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；

（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．

24．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）求证：AM•MB=DF•DA．

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化州市实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：命题p：2≤2是真命题，

2

方程x+2x+2=0无实根，

2

故命题q：∃x0∈R，使得x0+2x0+2=0是假命题，

故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题， 命题p∨q是真命题， 故选：D

2． 【答案】D

【解析】解：由正弦定理知∴sinA=∵a＜b， ∴A＜B， ∴A=45°，

∴C=180°﹣A﹣B=75°， 故选：D．

3． 【答案】 B

【解析】解：∵当a=1时，方程C：

+

22

即x+y=1，表示单位圆

=，

，

=×=

∴∃a∈R，使方程C不表示椭圆．故A项不正确； ∵当a＜0时，方程C：

表示焦点在x轴上的双曲线

∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确 ∵不论a取何值，方程C：

中没有一次项

∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确 综上所述，可得B为正确答案 故选：B

4． 【答案】D

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【解析】解：∵A=2B，

∴sinA=sin2B，又sin2B=2sinBcosB， ∴sinA=2sinBcosB， 根据正弦定理sinA=

，sinB=

=，

=2R得：

代入sinA=2sinBcosB得：a=2bcosB． 故选D

5． 【答案】A

【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，故答案为：A 6． 【答案】D 【解析】

p为：

。

考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算 7． 【答案】B

【解析】解：根据题意球的半径R满足

22

（2R）=6a， 22

所以S球=4πR=6πa．

故选B

8． 【答案】 B

【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解， ∴mx＜2lnx，即＜令h（x）=

在[1，e]上有解，

，

，则h′（x）=

∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0， ∴h（x）max=h（e）=，

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∴＜h（e）=， ∴m＜．

∴m的取值范围是（﹣∞，）． 故选：B．

【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

9． 【答案】A

10．【答案】B

【解析】解：∵双曲线标准方程为其渐近线方程是整理得y=±x． 故选：B．

=0，

，

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．

11．【答案】D

【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），

因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，

由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜故选：D．

．

【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础 题．

12．【答案】B

【解析】解：∵α，β为锐角△ABC的两个内角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，

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∴f（x）=（）|x﹣2|

+（

）

|x﹣2|

，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，

由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），

2

∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；

故选：B．

二、填空题

13．【答案】 5 ．

【解析】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E， ∵CD⊥BC，∴CD∥AE， ∵CD=5，BD=2AD，∴在RT△ACE，CE=由

得BC=2CE=5

，

=

=10，

，解得AE==

，

=

，

在RT△BCD中，BD=则AD=5， 故答案为：5．

【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．

14．【答案】

【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1， ∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，① 又a2，a3，a4－2成等差数列． ∴2a3＝a2＋a4－2， 即8k2＝2k2＋8k2－2.② 由①②联立得k1＝－1，k2＝1， ∴an＝2n－1.

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答案：2n－1

15．【答案】x2y22

【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线xy2的距离，所以rd|002|2，故圆的方程为2x2y22.

16．【答案】 （﹣3，﹣2）∪（﹣1，0） ．

2xx2x x

【解析】解：函数f（x）=xe的导数为y′=2xe+xe=xe （x+2）， 令y′=0，则x=0或﹣2，

﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增， ∴0或﹣2是函数的极值点，

2x

∵函数f（x）=xe在区间（a，a+1）上存在极值点，

∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1， ∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．

故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．

17．【答案】10

【解析】m的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，2为连续两项和，3为接下来三项和，故m的首个数为mm1.

3∵m(mN)的分解中最小的数为91，∴mm191，解得m10.

23233318．【答案】 a≤﹣1 ．

2

【解析】解：由x﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，

2

若“x＜a”是“x﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，

则a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000， 当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000， ∴

．

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（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400， ∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1， X的分布列为

X 8800 9400 10000 10200 P 0.1 0.2 0.3 0.3 ∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．

20．【答案】

10400 0.1 【解析】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+， ∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；

2

（2）p=2时，y=4x，

若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；

若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则

22

代入利用点差法，可得y1﹣y2=4（x1﹣x2）

∴kMN=，

∴直线MN的方程为y﹣t=（x﹣3）， ∴B的横坐标为x=3﹣

，

222

直线MN代入y=4x，可得y﹣2ty+2t﹣12=0

△＞0可得0＜t＜12，

2

∴x=3﹣∈（﹣3，3），

∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3）．

【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

21．【答案】

【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为∵右顶点为D（2，0），左焦点为∴a=2，

，

．

， ．

，c为半焦距．

∴该椭圆的标准方程为

（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．

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由中点坐标公式可得，解得．（*）

∵点P是椭圆上的动点，∴．

把（*）代入上式可得，可化为．

即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆

（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）． ∴|BC|=2，点A

到y轴的距离为1，∴

=1；

．

②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）． 联立∴∴|BC|=

22

，化为（1+4k）x=4．解得

，

=

． =2

．

又点A到直线BC的距离d=．

∴==，

∴==，

令f（k）=，则

．列表如下：

．

令f′（k）=0，解得

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又由表格可知：当k=

综上可得：当k=

时，函数f（x）取得极小值，即

→1．

，即

取得最大值2，即

．

．

而当x→+∞时，f（x）→0，

时，△ABC的面积取得最大值

【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．

22．【答案】

意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，

（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

22|2k2|1k22

k24k10，k23，k23（舍去）

设点B(2,0)，kAB2022，

22故直线l的斜率的取值范围为(23,22]. 23．【答案】

【解析】解：（1）由题意向量=（x，

y），=（1，0），且（+

）•（﹣

）=0，

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∴化简得

，

．…

，

∴Q点的轨迹C的方程为（2）由

222

得（3k+1）x+6mkx+3（m﹣1）=0，

22

由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m＜3k+1．①…

yP）xM、xN分别为点M、N的横坐标，（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xP，，则从而

，

，…

，

又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN． 则

2

，即2m=3k+1，②

2

将②代入①得2m＞m，解得0＜m＜2，由②得，解得，

故所求的m的取值范围是（，2）．…

22

（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m＜3k+1，

解得﹣1＜m＜1．…

综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2）， 当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…

【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．

24．【答案】

【解析】证明：（1）连接OC，∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA，

∵CA是∠BAF的角平分线， ∴∠OAC=∠FAC ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC∥AD．… ∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…

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2

（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM=AM•MB． 2

又∵DC是⊙O的切线，∴DC=DF•DA．

∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC ∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM， ∴AM•MB=DF•DA…

【点评】几何证明选讲重点考查相似形，圆的比例线段问题，一般来说都比较简单，只要掌握常规的证法就可以了．

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