中考几何题中的新定义型题集锦教学内容

中考几何题中的新定

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中考几何题中的新定义型题集锦

在近年的中考试题中，涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题，为了便于同学们了解掌握这方面的信息，现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借鉴。

一、定义一种新的几何体

例1（2001年泰州市）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图1，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体。

（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A. 两个球体 体

B. 两个圆锥

C. 两个圆柱体 D. 两个长方体 （2）请猜想出相似体的主要性质：

①相似体的一切对应线段（或弧长）的比等于_______； ②相似体表面积的比等于_______； ③相似体体积的比等于_______。

（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m，体重为18kg，到了初三，身高为1.65m，问他的体重为多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）

二、定义一种新的规则

例2 （2003年安徽省）如图2，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。

设等腰三角形的底和腰分别为a、b，底角和顶角分别为、，要求“正度”的值是非负数。

同学甲认为：可用式子|ab|来表示“正度”，|ab|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。

同学乙认为：可用式子||来表示“正度”，||的值越小，表示等腰三角形越接近于正三角形。

探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？

（2）对你认为不合理的方案，请加以改进（给出式子即可）。 （3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。

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三、定义一种新的线段

例3（2003年安徽省附加题）如图3，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边

A3A4的中点，连结A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条

中对线都将五边形的面积分成相等的两部分。

求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行。

例4（2007年连云港市）如图4（1），点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点。

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、

S2，如果S1:SS2:S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线。

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图4（2），则直线CD是△ABC的黄金分割线。你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连结EF，如图4（3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线。请你说明理由。

（4）如图4（4），点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边的黄金分割点。

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四、定义一种新的点

例5（2006年安徽省实验区）如图6，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=，且∠BPC=∠CPD=，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点。

（1）在图8的正方形ABCD内画一个半等角点，且满足。

（2）在图9的四边形ABCD中画一个半等角点，保留画图痕迹（不需写出画法）。 （3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图7），证明线段P1P2上任意一点也是它的

半等角点。

例6（2007年宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两端点的距离相等，则称这个点为这个四边形的准等距点，如图10（1），点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点。

（1）如图10（2），画出菱形ABCD的一个准等距点；

（2）如图10（3），作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）

（3）如图10（4），在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，求证：点P是四边形ABCD的准等距点；

（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）。

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五、定义一种新的三角形

例7 （2005年天津市）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示。

（I）如图11，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠B=60，求证；abbc；

（II）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”，本题第（I）问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对任意的倍角三角

22形ABC，其中∠A=2∠B，如图12，关系式abbc是否仍然成立？并证明你的结论；

（III）试的三条边长，三个连续的正

求出一使这三整数。

个倍角三角形条边长恰好为

六、定义一种新的矩形

例8（2005年资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图13所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个。

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”。

（2）如图14，若△ABC为直角三角形，且∠C=90，在图14中，画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

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（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图15中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形，并加以证明。

七、定义一种新的四边形

例9（2006年北京市）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。

例10（2007年北京市课标卷）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称。

（2）如图18，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A=60，∠DCB=∠EBC=∠A/2。请写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A/2，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的

结论。

八、定

例研究性时，发判定及相似中“圆心

义一种新的相似形 11（2005年嘉兴市）学习小组在研究相似现相似三角形的定其性质可以拓展到扇去。例如，可以定角相等且半径和弧长

某校图形义、形的义：对应

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成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方……

请你协助他们探索这个问题。

（1）写出判定扇形相似的一种方法：若________，则两个扇形相似；

（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为_________；

（3）图20是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB长为

30cm，现要做一个和它形状相同，面积是它一半的纸扇（如图21），求新做纸扇（扇

形）的圆心角和半径。

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