数学软件实验报告-微分法求极值-参考解答

数学建模与创新实验室实验报告

课程名称： 常用数学软件及应用 专业：数学与应用数学 实验题目 学生姓名 指导教师 极值问题求解 学 号 实验日期 班级 成绩 一、实验目的与要求： 掌握微分法求极值的一般思想方法. 二、实验任务： 1.求函数y=2x4−3x3−4x2+5x−6的驻点.并求出它的极值点和极值. 2.求二元函数z=x3−y3+4x2+5y2−12x的极值点和极值。 3.求抛物线y=(x−2)(x+3)到直线y=3(x−10)的最短距离。 三、实验步骤和结果（给出主要过程的文字说明，包含代码、图、表） 1. 解：首先求该函数的导函数，然后求驻点。输入matlab指令 syms x y y=2*x^4-3*x^3-4*x^2+5*x-6; dy=diff(y,x,1) zhudian=solve(dy,x) eval(zhudian) 返回驻点坐标为： ans = 1.5129 -0.8653 0.4774 使用ezplot函数作函数图形观察 ezplot(2*x^4-3*x^3-4*x^2+5*x-6,-2,2) 结合图形验证，可知x= -0.8653，x=1.5129为极小值点， x=0.4774为极大值点。 使用subs函数 subs(2*x^4-3*x^3-4*x^2+5*x-6,x,{1.5129,-0.8653,0.4774}) eval(ans) 得到相应的函数极值约为： x= -0.8653时，y= -10.2566（极小值） x=0.4774时, y=-4.7472(极大值） x=1.5129时，y=-7.5016（极小值）， 2.令二元函数z=x3−y3+4x2+5y2−12x的两个偏导函数为0，求出驻点，然后检验驻点处四个二阶导数的性质。 首先输入以下指令求驻点： syms x y; z=x^3-y^3+4*x^2+5*y^2-12*x; zdx=diff(z,x); zdy=diff(z,y); [zhux,zhuy]=solve(zdx,zdy,x,y) zhudian_x=eval(zhux); zhudian_y=eval(zhuy); [zhudian_x, zhudian_y] 得到四个驻点坐标如下： 2z2z2z2z求出四个二阶偏导函数：2 ，，，2 xxyyxyzxx=diff(z,x,2); zyy=diff(z,y,2); zxy=diff(diff(z,x),y); delta=zxx*zyy-zxy^2; ''zxx在每个驻点处，讨论''zyx''zxy2z以及2的符号 'z'yyx第一个驻点处的分析： subs(zxx,{x,y},{zhudian_x(1),zhudian_y(1)}) subs(delta,{x,y},{zhudian_x(1),zhudian_y(1)}) 结果为 说明第一个驻点(1.0704,0)是一个极小值点， 极小值为z=-7.03 第二个驻点处的分析： 判别式小于0，表明第二个驻点（-3.7370,0）不是极值点 第三个驻点处的分析： 判别式小于0，表明第三个驻点（1.0704,3.3333）不是极值点 说明第四个驻点(-3.7370,3.3333)是一个极大值点， 对应的极大值为67.03 综上得到该函数极值点有两个： (1.0704,0)是极小值点，极小值为z=-7.03 (-3.7370,3.3333)是极大值点，极大值为67.03。 3. 求抛物线y=(x−2)(x+3)到直线y=3(x−10)的最短距离 首先构造抛物线上任一点(x,y)到直线y=3(x−10)的距离函数： d=y−3x+1012+32(y−3x+10)2，为方便计算取D=d=,其中y=(x−2)(x+3)。 102使用matlab首先定义该距离的平方的表达式： syms x y=(x-2)*(x+3); D=(y-3*x+30)^2/10 D=1/10*((x-2)*(x+3)-3*x+30)^2 然后求该函数的驻点 daoshu=diff(D,x,1) zhud=solve(daoshu) 结果为 结合函数的图形判断 该函数在x=1处为极小值也是最小值点，D的最小值为52.9 则抛物线到直线的最短距离为52.97.2732