振动学彭为习题1.doc

2．1 如图所示系统中，已知 m1, m2 , k1 , k2 , a1 , a2 , a3 , a4 , 水平刚杆的质量忽略不计。 以 m 2 的线位移为运动坐标，求系统的等效刚度 ke 。

解：设 m 2 的线位移为 x，由能量法

2

2

U

a 1 k a2 x 2 1 a

4

1 k 2

a3 x

2 a

1 k1a22 k2a32 2 a 2

4 x2又 U

e

1 k x2 2 e

4

故 ke

k1a22 k2 a32

a42

2.2 图示振动系统的弹性元件的质量忽略不计。 求系统的等效刚度（ k1 , k2 为悬臂弹簧的刚度） 。 解： k1 、 k2 串联 keq1

k1k2 k1 k2

keq1 、 k3 并联 k

eq2

k

eq1

kk

eq2

k3

4

keq2 、 k4 串联 keq

k

k

kkeqeq

4 eq2

k4

k1 k2 k2k3 k3k1 k4 k1k2 k1 k2 k3 k4 eq

kk4 2.3 图示振动系统中，弹性元件以及滑轮的质量忽略不计。假定滑轮转动时无摩擦作用，求系统的等效刚度。

解：设滑轮中心位移分别为 x1、 x2

由滑轮系运动分析可知 x 2 x1

x2

设绳中力为 T0，则

2T0 k1 x1 k2 x2 x1

k1 2 k1 k2

2

x

2 2

x2

k2

x k2

2

2 k1 k1k2

由能量法

1

U a U

e

2 1 1 2 2 1 k x2

e

kx

1

kx2 1

2 4 k1 k2 k1k2

4 k k 1 2

x

k

e

2.4 设有一均质等截面简支梁如图。 在中间有一集中质量 m。如把梁本身质量 M 考虑在，试计算此系统的等效质量。 假定梁在自由振动时的动挠度曲线和简支梁中间有集中静载荷作用下的静挠度曲线一样。

解：

y

设 为中点动挠度，即简支梁中点自由振动的位移。

梁在自由振动过程中离端点距离为

2

的截面在垂直方向的位移为 y

3l2

4 l 3

3 则速度为 y&

3l2

4 3 l 3

Ta

2 1

0 2

2

l y

2 3l &

4

3

d

1 2

my

&2117

2 35

l m y

&2 1 17

2 35

M m y

&2

l 3

1 &2

17

me 35

Te

2 my e M m

2.5 若以平衡位置为坐标原点，且令该位置的势能为零，则如图所示各系统中质

量离开静平衡位置的角度为 时的总势能为多少？并写出各自的振动方程。

系统作微振动

sin; 1 cos

1

2

2

解： a： U 1 k a sin

b： U

2

mgl (1 cos 1 ka 2 2

1 k

a sin

2

2

) 1 ka 2 mgl 2

2

2

2

2 2

c： U 1 k a sin

2

ka2 mgl

mgl (1 cos

) 1 ka 2 mgl 2

2 a: ml && 0

2 b: ml & ka2 2 c: ml && 0

ka2 mgl

0

2.6 一只用于流体力学试验室的压力表， 具有均匀径，截面积为 A。装一长度为 L 、密度为ρ的水银柱，如图所示。求液面在其平衡位置附近振动的频率。忽略水银与管壁间的摩擦。 解：

&

LA x 2A gx 0

n

2g L

f

1 2

2g L

2.7 确定图示系统的固有频率。圆盘质量为 m。 k a

r

k

O

x

解：

1

Ta

2

mx

2 &

1

U a 2 k r a

2

d

U a

Ta 1

2

J

2 &

3 4

2

mr

2

2

&

2

2

k r a

0

&&

4k r a 3mr 2

2

2

0f

1 4k r a 2

3mr 2

1 r a 4k 2r3m

t

2.8 两个滑块在光滑的机体槽滑动，机体在水平面绕固定轴 o 以角速度ω转动。 每个滑块质量为 m，各用弹簧常数为 k 的弹簧支承。试确定其固有频率。

解：在离心力作用下系统达到平衡时有：

k x m 2 l0 x

以新平衡位置作为坐标原点，则有 mx&& k ( x

x) m 2 (l0 x x) 0

2 f

mx& kx m

1 k

2 m

x

0

2

2.9 提升机系统如图所示。， 重物重量 W=1.47×105N, 钢

4

丝绳的弹簧刚度 k=5.78 ×10N/cm, 重物以 15m/min的速度均匀下降。绳的上端突然被卡住时， 求：（ 1）重物的振动频率，（ 2）钢丝绳中的最大力。

解： 1）重物的振动圆频率

n

gk W

19.6rad

/ s f

n

3.1Hz

2

2）钢丝绳中的最大力

重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位 置，

x

t 0时， x0 v & t x0 sin n1.28sin19.6 t (cm)

n

&

0, x0

Tmax Ts kA W

kA 1.47 105 5.78 104 1.28 2.21 105 N

2.10 一有粘性阻尼的单自由度系统，在振动时测得周期为 比为 4.2：1。求此系统的固有频率 解：

2

1.8s，相邻两振幅之

2

2

ln 4.2 1.44

1

21 0.05 f =0.57

Td 1.8 T1 Td 1.7

2.11 图示一弹性杆支承的圆盘，弹性杆扭转刚度为 kt，圆盘对杆轴的转动惯量 为 J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为 Td 。求圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系。

解：

J &&

n

& kt

2

0

1

2 T

k

J

t

1

2

4Jk

t

4

T

2

2

d

2 d

4Jk

241J

k T 2

t d

2 Jk 4 2J2

t

T 2

d

t

M

2 Jkt

4 2J 2 &

T 2

d

2.12 在图示振动系统中，假定阻尼为临界阻尼。已知

k=175N/m，m=1.75kg，初位移 x=1cm，初速度 x=-12cm/s。

当 t=0 时放松质量块。求：

（ 1） 第一次到达静平衡位置的时间？

（ 2）过静平衡位置后的最大幅值为多少？所需时间为多少？ 解 :

（ 1）临界阻尼状态下系统自由振动的解为

n

t

x e

x0

& x0 n

n

x

0

t

10rad / s 0.5s

平衡位置 x 0

k m

代入式中， t =- x x 0

&0

n

x

0

（ 2）

最大幅值时 &

x

0

代入式中， t=- x x&0

xmax

&0

0.000496cm

n

x

0.6s

0

2.13 图示振动系统中有一小阻尼，因此

d

n 。质量块

的质量为 9kg，其在自然静止状态的弹簧伸长为 12mm。 在系统的自由振动 20 周观察到振幅由 10mm 衰减到 2．5mm。求： (1)系统的阻尼系数 ?(2)衰减系数； (3)阻尼 比； (4)临界阻尼。 解：

k

9 9.8

7350N / m

n

0.012

k

28.58rad / s m 1

2

2

1

1 10

ln

0.069

0.011

n

n

20 2.5 0.314 c cc 5.66

cc 2 km 514.4

2．14 图示弹簧质量振动系统，假设均质杆杆长为 l，质量为 m，且杆端有集中质量 m。试写出运动微分方程并求出临界阻尼系数和 阻尼固有频率。

解： Ta

1

2

l

mx

&

1 m

x

2

& d

1 4

m

&

x

2

2 4 m 3

2

0

2 l

2

l 2

3

me

U a 1 k b x

2 l

2

1 a

&

Da 2 c l x

1 b

2 k x

2

2

ke

b

2

2 k

2 l 2 a1

2 l 2 k x

&

l a2 ce

l

2

c

4 & a2c & b2k 3 mx l 2 x l 2 x

0

cc 2 mek

2

e

4b km l

3

n

2

ce2

3a4c2

cc2

n

16b2l 2km m

b 3k

2l

f

d

2

1

2.15 一个有阻尼弹簧 -质量系统，受到简谐激励力的作用。求发生加速度共振时的频率比 。

解：设激振力为

F0

k

f t

F0 sin t

2

F0

2

2

x

1

sin(

t

&&

) x

sin( t

)

(1

2 2

) 2

m

(1

2 2

) 2

2

2

即为求 f

(1

2 2

)

当 为何值时取极大值

2

1

2

2

f

1 (1 )2

2

2

1 2122

4 2

1

1 2

1 1 2

时发生加速度共振

2.16 在图示的弹簧 -质量系统中，在两弹簧连接处作用一激励力。试求质量块 m 的振幅。不考虑自由振动。

解：

&& mx kx k x x1

0

k( x1 x)

kx1 F sin t

x1

F sin t kx F sin t x

3

2k

2k

2 &

1

mx

kx F sin

t 2 2

3k n =

2m

1 2

F x

1

F 1

3

2 sin t sin t

F

2 sin t

k 1

3k 1

2m 2

3k 2m

2

3k

B

F 3k 2m

2

2.17 计算初始条件，以使 mx&& kx F0 sin t 的响应只以频率 振动。

解：

x x0 cos n

t

x& t

0 sin

n

B0 2 sin

n

t

B0 2 sin t

&

n

1

1

x cos t

x

0

sin t

B0 sin t 0 0

n

n n

n

1 2

x0 0

x&

0

B0

&

B

0 n

B0

F0

1

x0

n 2

1

2

1

2

k m

2

2．18 图示振动系统的物理参数均为已知。上面 的支座进行简谐振动 xs a0 sin t 求： (1) 质量块稳

态振幅与 a0。的比值； (2)质量块的稳态响应。

解：

&& & & mx cx kx cxs

H

c i

k m 2 c i

(1) B

c

a0 2

k m

2 2 2

c

(2)m

2

k

arctan

c x B sin( t

)

2.19 求系统在图示简谐运动作用下的响应

。 解：

J

&&

kb b

ecos t mga 0

ma2

&&

kb2 mga

kbecos H

1

kb

2

mga ma

2 2

kbe

cos t

kb2 mga ma

2

2

2.20 求系统在图示简谐运动作用下的运动方程。解：

x esin t

a

t

mxa&& kb b

esin t

0 mxa&& kb b x esin t a

esin t

0

&& 2 ma x kb x kb a

2

b esin t

2.21 15 千克的电动机由四个相等的弹簧支承，每个弹簧的刚度为 2.5KN/m 。 电动机组件相对于其轴线的回转半径为 100mm，转速 1800 转/分。分别求垂直和 扭转振动时的隔振率。 解：

2 1800

60

188.5rad / s

①垂直振动：

4k

n

25.8rad / s

7.3

n a

m

1

a

2

0.019

1

100% 98.1%

1

2

2

②扭转振动：

J 4kR

2 n

&

0

4kRJ 1

4 2.5 10

3 2

0.14

2

15 0.10.038

36.1rad / s

5.22

n

a

1

a

100% 96.2%

2

1

2.22 图示振动系统的各物理参数均为己知量。 (1)写出系统的振动微分方程； (2)写出激励函数 的前面四项； (3)写出系统稳态响应的前三项。

解 :

&&

(1)mx

cx

&

(2) x

d(

1

2

2kx kx1

n 1

1

s

s

n

sin n t)

x

s

d

2

d

sin

2

3 H ( )

d sin t d sin t L

T 2 T 3 T

k 1/ 2

t

24

2 T

6

2k c 2 2km

2k

H (n ) sin n t x d d

4 n 1 n

1m c i 1

2 n

2 i

n

n

arctan

2n

m

x d d 4 2

1 1 1

2

2 2

sin 2 t arc tan

1 2 T 2

2

1 n2 2

2

d

4

1 4

2

4

sin 4 t arc tan 4

T 1 4 2 2

L

2.23 用杜哈美积分求无阻尼弹簧质量系统对简谐激励

始条件为零。 x

f(t)=F 0sin ω t的响应。设初

n

F0

t

sin

t

sin

n

t

n

d

n

F0 m n

cos

1

t

m n 0

F0 1

cos

t

2 0

cos

n

t

cos

n td

n

t

d

m n

2 0

n 2 n

F0 m n

2 sin t

sin

n

n t

F0 k 1

2

sin t

sin

n

t

2.24 无阻尼弹簧质量系统受到图示梯形脉冲激励作用。 质量的初始位移为 0，但具有初始速度 v0。求系统在 t=0.03s 时的响应。

解:

0.01

x(t)

v0 sin nt

v0

n

sin

n

t

1 m n

1

n

0

f ( )sin n (t

) d

n (t

0.01

0

n

m

F0 1 50 sin

)d

v0

F0 cos 2

n (t n sin n t m n

n

0.01

) 0

50 cos n (t

n

50

) n sin n (t )

n (t

0.01 0

v0 sin

n

t

F0 m n2

cos n (t 0.01) cos

t

0.5cos

0.01)

50

n

sin n (t 0.01)

50n

sin nt

t 0.03代入 v0 sin 0.03 n

n

F0 2 cos0.02 n cos0.03 n

m n F0 k

0.5cos0.02 n

0.5cos0.02 n

50

n

sin 0.02 n

50n

sin 0.03 n v0 sin 0.03 n

n

cos0.03

50

n

n

sin 0.02 n

50

n

sin 0.03 n

说明：多自由度系统的运动方程都应写成矩阵形式。 3．1 图示不计质量的刚杆，长度为

2l，在其中点和左端附以质量

m1 ,m2 ，两端

的弹簧刚度为 k1 , k2 。求此系统的运动方程。

x 1

x 2

解：

&&

m2 x2 l k2 2x2 x1 2l 0 &&

k1 k2 x1 2k2 x2 0 m1 x1

&&

m2 x2 2k2 x1 4k2 x2 0 &

k1 k2 2k2 m1 0 x1

&&

0 m2 x2 2k2 4k2

m1 x1l k1x1l k2

&&

2x2 x1 l 0

x1 x2

0 0

m1 x1 2l k1x1 2l m2 x2l 0

&&

&&

0

m2 &&xl2 k2 2x2 2m1 x1

x1 2l 2k1 x1 0

&&

&& m2 x2 2k2 x1 4k2 x2 0 2m m &&x 2k 0 x

1

2

m2 x2

&& 1

0 m2

&& x2 1 1

0 0

2k2 4k2 x2

3.2 推导图示系统的运动方

程。

解：

m1 0

0 m2 0 0 0 m3 && &&

x2

x1

k1 k2

k2 0

k2

k2 k3 k5 k6

k3

0 k3 k3 k4 x1 x2 x3

p1 t p2 t p3 t 0 && x3

3.3 推导图示系统的运动方程。绳与圆盘间无相对滑动 .

解：

m r 2 && k r 2 2 2 2

1m1 x k1

&&

x r 0

k r

1

x r 0

m1

0

&&

x

k

1

k r

1

x

1 && 2 0 2 m2 r

k r 1 2

r k k

1

2

0

0