反诉和增加诉讼请求的提出时间是案件受理后、法庭辩论结束前、再审期间，子女抚养权提反诉是不可以的。反诉是被告向原告提出的独立反请求，目的是抵销或并吞原告的诉讼请求。反诉具有独立性和给付内容，能抵销原告的请求。起诉孩子抚养权需考虑子女身心健康和双方抚养能力，以及孩子的意见。
法律分析
反诉和增加诉讼请求的提出时间是：案件受理后，法庭辩论结束前，再审期间子女抚养权提反诉是不可以的。
所谓反诉，是指在已经开始的诉讼活动中，被告向本诉的原告提出了一种独立的反请求，目的是为了抵销或并吞本诉原告的诉讼请求的一种反制诉讼行为，它的对称是本诉，即已经开始的原诉讼。反诉行为具有以下特点：
1、反诉与本诉当事人的诉讼地位具有双重性。
一般而言，本诉的原告则是反诉的被告;反诉的原告则是本诉的被告，第三人无反诉权，其诉讼地位仍然不变。
2、反诉请求是独立的。
反诉的诉讼请求与本诉的诉讼请求是互相牵连，又各自独立的两个不同的诉讼请求。反诉请求是实体上的请求，不同于反诉、反驳;反诉是程序上的请求，是起诉的特殊形式，能够在一定条件下引起诉讼程序的发生或变更;反驳是抗辩的一种方式，即对程序或实体上的请求予以否认或不予认可，不能引起诉讼法律关系的发生或变更。
3、反诉具有给付内容且能抵销、吞并原告的诉讼请求之功能。
本诉与反诉是两个既相似又有区别的审判程序，两者又都是给付之诉，即可以合审理，这样既能简化诉讼程序，又能节约诉讼成本和司法资源，更好地保护当事人的合法权益。
如何去法院起诉孩子抚养权
1、你可以起诉离婚并要求小孩的抚养权，但最终法院会不会把孩子判决给你，要看你们双方抚养孩子哪一方更有利于孩子健康成长。
处理的总原则是：从有利于子女身心健康，保障子女的合法权益出发，结合父母双方的抚养能力和抚养条件等具体情况妥善处理
2、起诉前要考虑好财产分割和子女抚养的方案，很多时候双方为了抚养孩子会在财产方面做些让步。
如果双方的经济条件差不多，就需要看孩子跟谁比较亲近，如果是10周岁以上的孩子，法院一般会采取孩子的意见
结语
根据法律规定，反诉和增加诉讼请求的提出时间有限。反诉是一种独立的反请求行为，具有双重性和独立性。它能够抵销、吞并原告的诉讼请求，从而保护当事人的合法权益。对于孩子抚养权的起诉，法院将综合考虑子女身心健康和父母的抚养能力等因素，以保障子女的权益为出发点。在起诉前，双方应考虑好财产分割和子女抚养方案，尤其要重视孩子的意见，以达到更好的解决方案。
法律依据
《中华人民共和国民事诉讼法（2017修订）》第一百四十条
《关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》