九年级上直接开平方法教案

22.2.1 直接开平方法

    教学内容

    运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

    教学目标

    理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

    提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax²+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）²+c=0型的一元二次方程．

    重难点关键

    1．重点：运用开平方法解形如（x+m）²=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．

    2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x²=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）²=n（n≥0）的方程．

    教学过程

    一、复习引入

    学生活动：请同学们完成下列各题

    问题1．填空

    （1）x²-8x+______=（x-______）²；（2）9x²+12x+_____=（3x+_____）²；（3）x²+px+_____=（x+______）²．

问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm²？

    老师点评：

    问题1：根据完全平方公式可得：（1）16  4；（2）4  2；（3）（）²  ．

    问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm²

    则PB=x，BQ=2x

    依题意，得：x·2x=8

    x²=8

    根据平方根的意义，得x=±2

    即x₁=2，x₂=-2

    可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．

    所以2秒后△PBQ的面积等于8cm²．

    二、探索新知

    上面我们已经讲了x²=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）²=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？

    （学生分组讨论）

    老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2

    即2t+1=2，2t+1=-2

    方程的两根为t₁=-，t₂=--

    例1：解方程：x²+4x+4=1

    分析：很清楚，x²+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）²=1．

    解：由已知，得：（x+2）²=1

    直接开平方，得：x+2=±1

    即x+2=1，x+2=-1

    所以，方程的两根x₁=-1，x₂=-3

    例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m²提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

    分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）²

    解：设每年人均住房面积增长率为x，

    则：10（1+x）²=14.4

    （1+x）²=1.44

    直接开平方，得1+x=±1.2

    即1+x=1.2，1+x=-1.2

    所以，方程的两根是x₁=0.2=20%，x₂=-2.2

    因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x₂=-2.2应舍去．

    所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

    （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

    共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．

    三、巩固练习

    教材P₃₆  练习．

    四、应用拓展

    例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

    分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）²．

    解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．

    那么1+（1+x）+（1+x）²=3.31

    把（1+x）当成一个数，配方得：

    （1+x+）²=2.56，即（x+）²=2．56

    x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6

    方程的根为x₁=10%，x₂=-3.1

    因为增长率为正数，

    所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．

    五、归纳小结

    本节课应掌握：

    由应用直接开平方法解形如x²=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）²=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．

    六、布置作业

    1．教材P₄₅  复习巩固1、2．

    2．选用作业设计:

一、选择题

    1．若x²-4x+p=（x+q）²，那么p、q的值分别是（  ）．

      A．p=4，q=2     B．p=4，q=-2     C．p=-4，q=2    D．p=-4，q=-2

    2．方程3x²+9=0的根为（  ）．

      A．3      B．-3      C．±3     D．无实数根

    3．用配方法解方程x²-x+1=0正确的解法是（  ）．

      A．（x-）²=，x=±

      B．（x-）²=-，原方程无解

      C．（x-）²=，x₁=+，x₂=

      D．（x-）²=1，x₁=，x₂=-

    二、填空题