北师大版九年级上册花边有多宽教案

§2.1花边有多宽（一）

授课教师：宁夏石嘴山市第八中学  李晓红

教材：北师大版九年级数学上册第二章第一节的第一课时

教学目标：

1．能根据具体问题列出一元二次方程，并能理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式

2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，体会方程的模型思想，培养学生的归纳、分析能力

3．在探索和交流的活动中，体验与他人合作的重要性，激发学生对数学的热情及用数学的意识                                       

重点：一元二次方程的概念及其一般形式

难点：根据现实问题列出一元二次方程

教法：探索—引导发现相结合

教具：多媒体课件

教学过程

（一）创设情境，发现新知

[出示问题]：

1：已知两个连续整数的积为132，求这两个数

若设较小的一个数为x，则另一个数为　　　　.根据题意，可得方程　　　　　　　　　　　

2：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯（如图），它的长为8m，宽为5m，如果地毯长方形图案的面积为18m²，那么花边有多宽？

3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么

（1）猜一猜：梯子的底端也滑动1m吗？

（2）列出梯子的底端滑动的距离所满足的方程

[教法说明及设计意图：对于这三个问题，以鼓励学生尝试解决为出发点：问题（1）简单，意在让学生争先恐后地说出显而易见的答案，以此来消除学生对应用题的惧怕心理，增强学好数学的愿望和自信心；问题（2）由学生先思考，然后再同桌交流并汇报：说出所用的方法、思路及注意事项，还有题中涉及到的已知量、未知量、等量关系，从而列出方程，引出本课课题，使新知的发生有了生长点；问题（3），对学生而言，有一定的挑战性，学生可能出现的问题有：①梯子的底端误认为也滑动1m；② 虽能理解题意，但不能正确列出梯子的底端滑动的距离所满足的方程。为此，在学生交流讨论前提下，以多媒体动画演示，验证猜想；在学生互相补充、纠正基础上，针对学生回答不完善之处，引领学生分析，给出正确解答，并有意识设置悬念：发现不是1m，到底是多少，我们下节课再看，为后续学习做好铺垫。

考虑到本节的重点，对于这三个问题，如学生提出其它设法，则应给予鼓励，而若学生未提出其它做法，则也不故意引导。

本环节通过两个现实生活问题，一个数学问题，既让学生体会到了一元二次方程是数学内部发展和实际问题解决的必然结果，也让学生意识到了已有的方程知识已经不能满足学习的需要，必须进一步学习新知，使学生自然产生学习新知的心向。]

（二）启发诱导，探索新知

1．板书上述问题得到的三个方程：

① x（x+1）=132

②（8-2x）（5-2x）=18

③ (x+6)²+7²＝10²

问：你能化简它们吗?（引导学生把方程化为右边为0的形式）  

即：① x²＋x-132=0

② 2x²-13x＋11=0

③ x²＋12x-15=0

2.让学生观察它们有什么共同的特点? （四人一组议一议）

深入到学生讨论中，以“边听—边问—边导”形式，适时对各小组进行点拨

在学生观察、思考、讨论、描述、补充、完善的基础上，让学生类比一元一次方程，让学生用自己的语言尝试说明他们的新发现。并对学生所说的各个情况进行点拨：注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的要点；注意一元二次方程概念的内涵：一元─二次─方程（概念中划线的部分），特别是整式方程的强调；注意各项及各项系数，都是方程在一般形式下定义的，要准确找出它们，不管题目有没有要求，都必须把方程先化为一般形式等。

3．启发学生给出一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式

上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax²+bx+c=0（a、b、为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

我们把ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax²、bx、c分别称为二次项、一次项、常数项；a、b 分别称为二次项系数和一次项系数。

4．深化概念

想一想：（1）一元二次方程与一元一次方程有什么异同？（2）一元二次方程的二次项系数为什么是不等于0的实数？一次项系数，常数项是否也有？

[教法说明及设计意图：这一环节是本课的重心，所以每个问题都由学生口答并互相补充、纠正，在学生讨论、归纳的基础上，抽象出一元二次方程的概念，完成学生认知结构中的一次新的建构。

通过对上述问题的讨论，旨在培养学生的自主探索与合作交流的良好学习习惯，意在培养学生的归纳能力，使学生的自豪感与成功感在活动中能得以升华。]

（三）反馈练习，应用新知

1．基础训练

（1）下列方程中，哪些是一元二次方程？并说明理由.

① 5x² ＝6x

② 2x²－5xy＋6y＝0      

③ x（3 x+1）=2

④ 7x²＝0  

⑤  x²＋2x－3＝1＋x²  

（2）把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项

① 9x²-6x=2x+1

② 3x(x-1)＝2(x+2)

③ 5x²-4=(x+1)²

2．拓展训练

（1）请写出一个一元二次方程：使它满足一元二次方程的一般形式且二次项系数为5、常数项为二次项系数的相反数.

（2）关于x的方程（a-2）x² +bx+1=0,

在什么条件下，此方程为一元二次方程？

在什么条件下，此方程为一元一次方程？

（3）做一做

用一块长25cm，宽20cm的硬纸片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成一个底面积为50cm²的没有盖的粉笔盒，问截去的小正方形边长是多少？

[教法说明：第1题简单，以赛一赛形式进行（1）口答；（2）在练习本上练一练（可任选题的数量）；第2题有一定的灵活性，能助于学生抓住关键点，澄清易错点（1）虽是一个开放题，但预测学生几乎都会做，所以抽查一组，了解学生做的情况；（2）分别请两名同学板演，其他同学在座位上练习，后选学生当“小老师”登台讲解并点评。（3）让学生做一做.这里可把它弹性处理，如果时间允许，请做得快的同学下座位与老师一道关心帮助学有困难的学生，并借助动画演示，得出结论；如果时间不允许，可把它留做作业，正好给学生课后留有思考的余地。这些练习，可针对学生的解答情况，及时恰当对学生进行评价，采取措施及时弥补和调整。]

[设计意图：满足不同层次学生学习需求，检测学生对本课目标的达成情况，有效地开发各层次学生的潜能及上进心，使学生对本节课所形成的概念有更深刻的理解。]

（四）归纳小结，反思提高

今天这节课你有什么收获与体会？

（如：你学到了什么？懂得了什么？ 你发现了什么？困惑的是什么？应该注意什么？还想知道什么?）…

[设计意图：这样有利于强化学生对知识的理解和记忆，提高分析和小结能力，达到知识的概括、提升，激发学生学习成就感。]

（五）推荐作业，分层落实

必做题：课本P44习题2.1： 1、2；练习1、2

选做题：1.预习内容：P45-P47

2.请你链接生活，编一道符合实际的应用题，使列出来的方程是一元二次方程

[设计意图：落实“学有价值的数学”，达到“人人都能获得必需数学”，让“不同的人在数学上得到不同的发展” ]

（六）课后反思：

附：板书设计

  教学设计说明

本教学设计，使学生经历了由浅入深，由表及里的过程。学生通过自己的分析，走向了一元二次方程的概念，强化了学生的思维品质，渗透了数学的转化思想。本节课以启发式的问题解决模式，牵引学生一步步由问题开始，到问题深化，让学生的思维始终处于积极主动的状态，充分体现了学生是数学学习的主人。

主要着力于以下三个方面：

1、关于教学过程

采用了“创设情境——建立模型——解释——应用”的模式，具体实施如下：

通过创设情境：一个数学问题（问题1）和两个现实生活问题（问题二、问题三），引发学生思考（上述问题列出的方程），类比联想（一元一次方程的概念），概括出了一元二次方程的概念。最后，又围饶概念进行演练，让学生充分感受到了知识的生成、发展过程。学生在平等愉悦的课堂氛围中探究学习，更利于新知的理解与掌握。

2、关于教与学

本着“数学教学是数学活动的教学”我为学生提供了更多探索、交流的机会，让学生亲身经历方程模型化的过程，助于学生攻克难点。

①通过“猜一猜”“赛一赛”中问题设置，吸引学生参与活动。

②通过开放性问题设置，以及学生当“小老师”讲解、点评，鼓励学生参与活动。

③通过“想一想”“做一做”“议一议”中启发性问题的设置，促进学生参与活动。

3、关于素材

通过素材的学习，让学生领悟一元二次方程是数学内部发展和实际问题解决的必然结果。考虑到本课容量大，除了可根据学生实际情况调整习题数量外，还采用了电脑多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高教学效果。

总之，期望这样的设计，能使学生在知识、能力、情感三个维度得到提高。