法律分析：没签劳动合同被开除可以向公司提出赔偿。1，固定被解聘的证据和事实。也就是继续上班交涉取证。2，仲裁诉求未签订劳动合同二倍工资差额赔偿是可以的。3，社保补缴要先投诉举报要求补缴，指定期限未补缴，方能仲裁补偿或赔偿。4，因为没有劳动合同，社保补缴投诉不会受理。那么需要二倍工资之诉胜诉生效后，再投诉。
法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。