在转正申请书中展现学习能力和进步速度是非常重要的，可以通过以下几点来展示：
详细描述自己在工作中所学到的新知识和技能，以及如何应用到实际工作中。可以列举具体的例子，说明学习的内容和成果。
强调自己参加过的培训和学习机会，包括公司内部培训、外部培训、自主学习等。说明参加培训的目的、内容和收获，以及如何将所学应用到工作中。
描述自己在工作中遇到的挑战和问题，以及如何通过学习和努力克服这些困难。可以举例说明面对挑战时的解决方案和改进措施。
强调个人的进步和成长，可以通过比较入职初期和现在的表现来展示自己的进步速度。可以列举具体的案例和数据，说明自己在工作中取得的成绩和进步。
最后，可以表达对未来学习和发展的计划和期望，说明自己对学习的态度和方法，并展示持续学习的意愿和能力。
通过以上几点的展示，可以让管理者更清晰地了解到申请人的学习能力和进步速度，从而更有信心地决定是否给予转正。同时，建议在申请书中尽量客观真实地描述自己的学习情况和进步情况，避免夸大或虚假宣称，以保持自身的专业和诚信形象。